PRZYKàADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

(1)

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY

Z MATEMATYKI

POZIOM PODSTAWOWY

Czas pracy 170 minut

Instrukcja dla pisz!cego

1. Sprawd , czy arkusz zawiera 17 stron.

2. W zadaniach od 1. do 20. s! podane 4 odpowiedzi: A, B, C, D, z których tylko jedna jest prawdziwa. Wybierz tylko jedn!

odpowied i zaznacz j! na karcie odpowiedzi.

3. Zaznaczaj!c odpowiedzi w cz"#ci karty przeznaczonej dla zdaj!cego, zamaluj pola do tego przeznaczone. B$"dne zaznaczenie otocz kó$kiem i zaznacz w$a#ciwe.

4. Rozwi!zania zada% od 21. do 29. zapisz starannie i czytelnie w wyznaczonych miejscach. Przedstaw swój tok rozumowania prowadz!cy do ostatecznego wyniku.

5. Pisz czytelnie. U&ywaj d$ugopisu/pióra tylko z czarnym tuszem/atramentem.

6. Nie u&ywaj korektora. B$"dne zapisy przekre#l.

7. Pami"taj, &e zapisy w brudnopisie nie podlegaj! ocenie.

8. Obok numeru ka&dego zadania podana jest maksymalna liczba punktów mo&liwych do uzyskania.

9. Mo&esz korzysta' z zestawu wzorów matematycznych, cyrkla i linijki oraz kalkulatora.

10. Wype$nij t" cz"#' karty odpowiedzi, któr! koduje zdaj!cy.

Nie wpisuj &adnych znaków w cz"#ci przeznaczonej dla egzaminatora.

yczymy powodzenia!

Zestaw P2

Za rozwi!zanie wszystkich zada%

mo&na otrzyma'

$!cznie 50 punktów

(2)

W zadaniach od 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi jedn!

poprawn! odpowied".

Zadanie 1. (1 pkt)

Liczba 2²⁰ 4⁴⁰ jest równa

A. 2⁶⁰ B. 4⁵⁰ C. 8⁶⁰ D. 8⁸⁰⁰

Zadanie 2. (1 pkt)

Zbiór rozwi!za% nierówno#ci x"3 !1 jest przedstawiony na rysunku A.

B.

C.

D.

Zadanie 3. (1 pkt)

O zdarzeniach losowych A, B wiadomo, &e: P

# $

A %0,5, P

# $

B %0,3 i P

#

A& B

$

%0,7. Prawdopodobie%stwo iloczynu zdarze% A i B spe$nia warunek

A. P A( 'B)%0, 2 B. P A( 'B)(0,3 C. P A( 'B))0, 2 D. P A( 'B)%0,3

Zadanie 4. (1 pkt)

Wska& liczb", której 6% jest równe 6.

A. 0,36 B. 3,6 C. 10 D. 100

Zadanie 5. (1 pkt)

Ró&nica miar dwóch s!siednich k!tów wewn"trznych równoleg$oboku jest równa 30* . K!t rozwarty tego równoleg$oboku jest równy

A. 105* B. 115* C. 125* D. 135*

Zadanie 6. (1 pkt)

Funkcja f jest okre#lona wzorem

# $

+, -

( .

"

/

"

% 2 dla 3

3 dla 4

x x

x x x

f

Ile miejsc zerowych ma ta funkcja?

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

"4 0 4 x

4 x

0

2 4 x

0

2 4 x

0

(3)

55

BRUDNOPIS

(4)

K!t 0 jest ostry i

4

sin0 % 3. Wówczas

A. 0)30ô B. 0%30ô C. 0%45ô D. 0(45ô

Zadanie 8. (1 pkt)

Liczba ³ ³ ⁵

4

7

7 jest równa

A. ⁵

4

7 B. 7 ³ C. ⁹

20

7 D. 7 ²

Zadanie 9. (1 pkt)

Dana jest funkcja y % f

# $

x okre#lona dla x1 "1,8 , której wykres jest przedstawiony na rysunku:

Wska& zbiór warto#ci tej funkcji.

A.

2

"1,0,1,2,3,4,5,6,7,8

3

B.

#

"1,4

$

C. "1,4 D. "1,8

Zadanie 10. (1 pkt)

Trzeci wyraz ci!gu geometrycznego jest równy 4, a pi!ty wyraz tego ci!gu jest równy 1.

Pierwszy wyraz tego ci!gu jest równy

A. 4 B. 4 2 C. 16 D. 16 2

Zadanie 11. (1 pkt)

Pewien wielo#cian ma 6 kraw"dzi. Liczba jego #cian jest równa

A. 4 B. 5 C. 6 D. 9

Zadanie 12. (1 pkt)

Wykres funkcji kwadratowej f

# $ #

x ^{% x}^"³

$

²^"² nie ma punktów wspólnych z prost! o równaniu

A. y%"3 B. y%"1 C. y%1 D. y%3

0 1 1

x y

(5)

57

BRUDNOPIS

(6)

Odcinki AB i CD s! równoleg$e. D$ugo#ci odcinków AB, CD i AD s! podane na rysunku.

D$ugo#' odcinka DE jest równa

A. 44 B. 40 C. 36 D. 15

Zadanie 14. (1 pkt)

Wska& równanie okr"gu o #rodku S %

#

1 ", 2

$

i promieniu r%2. A.

#

x^"¹

$ #

²^. y^.²

$

² ^%²

B.

#

x^.¹

$ #

²^. y^"²

$

² ^%²

C.

#

x^"¹

$ #

²^. y^.²

$

² ^%⁴

D.

#

x^.¹

$ #

²^. y^"²

$

² ^%⁴

Zadanie 15. (1 pkt)

Równanie x

x x 1 3

2 . %

A. ma dwa rozwi!zania: , 1

3

1 %

"

% x

x .

B. ma dwa rozwi!zania: , 1

3

1 %

% x

x .

C. nie ma &adnego rozwi!zania.

D. ma tylko jedno rozwi!zanie: x%1.

Zadanie 16. (1 pkt)

Suma d$ugo#ci wszystkich kraw"dzi sze#cianu jest równa 24. Obj"to#' tego sze#cianu jest równa

A. 64 B. 27 C. 24 D. 8

E

A C B

D

32

24 20

(7)

59

BRUDNOPIS

(8)

Ci!g

# $

an jest okre#lony wzorem ^an %

# $

"1ⁿ

#

ⁿ²"2ⁿ

$

dla n!1. Wtedy

A. a₃ (3 B. a₃ %3 C. a₃ )2 D. a₃ %2

Zadanie 18. (1 pkt)

Liczba log12 jest równa

A. log 3 log4 B. log .3 log4 C. log16"log4 D. log10.log2

Zadanie 19. (1 pkt)

Zbiorem rozwi!za% nierówno#ci x² (4x jest A.

#

"4 "^{, 4}

$ #

& ^0,. 4

$

B.

#

^{4, 4}

$

C.

#

"4,"2

$ #

& 2,4

$

D.

#

^"⁴^,⁰

$ #

^& ⁴^,^.⁴

$

Zadanie 20. (1 pkt)

Prosta l ma równaniey%"7 .x 2. Równanie prostej prostopad$ej do l i przechodz!cej przez punkt ^{P %}

# $

^0,1 ma posta'

A. y%7x" 1 B. y% x7 .1 C. 1

7

1 .

y% x D. 1

7 1 y% x"

(9)

61

BRUDNOPIS

(10)

Rozwi!zania zada# o numerach od 21. do 29. nale$y zapisa% w wyznaczonych miejscach pod tre&ci! zadania.

Zadanie 21. (2 pkt)

Punkty A%

#

"3 ", 5

$

, B%

#

^{4 "}^, ¹

$

, C%

#

"²^,³

$

s! wierzcho$kami trójk!ta równoramiennego.

Oblicz d$ugo#' ramienia tego trójk!ta.

Odpowied : ………..….. .

(11)

63

Zadanie 22. (2 pkt)

Rozwi!& równanie x³"4x²"3x.12%0.

Odpowied : ………..….. .

Zadanie 23. (2 pkt)

W trójk!cie prostok!tnym przyprostok!tne maj! d$ugo#ci 2 i 4, a jeden z k!tów ostrych ma miar" 0. Oblicz sin0 cos0.

Odpowied : sin0 cos0 %...

(12)

Ucze% otrzyma$ pi"' ocen: 5, 3, 6, x, 3. (rednia arytmetyczna tych ocen jest równa 4.

Oblicz x i median" tych pi"ciu ocen.

Odpowied : x%... , a mediana tych pi"ciu ocen jest równa …….. .

Zadanie 25. (2 pkt)

Liczby x"2,3,x.6 s! w podanej kolejno#ci pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ci!gu arytmetycznego. Oblicz x.

(13)

65

Zadanie 26. (6 pkt)

Do zbiornika o pojemno#ci 700m mo&na doprowadzi' wod" dwiema rurami. W ci!gu jednej ³ godziny pierwsza rura dostarcza do zbiornika o 5m wody wi"cej ni& druga rura. Czas ³ nape$niania zbiornika tylko pierwsz! rur! jest o 16 godzin krótszy od czasu nape$niania tego zbiornika tylko drug! rur!. Oblicz, w ci!gu ilu godzin pusty zbiornik zostanie nape$niony, je#li woda b"dzie doprowadzana przez obie rury jednocze#nie.

(14)

Rzucamy dwa razy symetryczn!, sze#cienn! kostk!, której jedna #ciana ma jedno oczko, dwie

#ciany maj! po dwa oczka i trzy #ciany maj! po trzy oczka. Oblicz prawdopodobie%stwo zdarzenia: liczby oczek otrzymane w obu rzutach ró&ni! si" o 1.

(15)

67

Zadanie 28. (5 pkt)

Podstaw! ostros$upa ABCS jest trójk!t równoboczny ABC o boku d$ugo#ci 8. Punkt D jest

#rodkiem kraw"dzi AB , odcinek DS jest wysoko#ci! ostros$upa. Kraw"dzie AS i BS maj!

d$ugo#' 7. Oblicz d$ugo#' kraw"dzi CS tego ostros$upa.

(16)

Punkt M le&y wewn!trz prostok!ta ABCD (zob. rysunek). Udowodnij, &e

2 2

2

2 CM BM DM

AM . % . .

A B

C D

M

(17)

69

BRUDNOPIS

(18)

Wype$nia pisz!cy

Nr

zadania A B C D

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

Wype$nia sprawdzaj!cy

Nr

zadania X 0 1 2

21.

22.

23.

24.

25.

Nr

zadania X 0 1 2 3 4 5 6

26.

27.

28.

29.

Suma

punktów 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Cyfra

dziesi!tek

Cyfra

jednostek

D J

(19)

71

Odpowiedzi do zada zamkni!tych.

Nr zadania ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ ¹⁰ ¹¹ ¹² ¹³ ¹⁴ ¹⁵ ¹⁶ ¹⁷ ¹⁸ ¹⁹ ²⁰ Odpowied B A C D A A D B C C A A B C A D C B D C

Odpowiedzi do zada otwartych.

Numer zadania Odpowied"

21 AB AC 65

22 x 4, x ! 3, x 3

23 5

cos 2 sin#" #

24 x 3, mediana jest równa 3

25 x 1

26 23 godziny 20 minut

27 9

4

28 CS 9

29 Dowód