Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2016/17
Kolokwium nr 53: poniedziałek 20.03.2017, godz. 8:15-9:00, materiał zad. 1–167, 501–545.
Całka oznaczona - podstawy.
Zadania do omówienia na ćwiczeniach w poniedziałek 13.03.2017 (grupa 1 LUX).
Obliczyć następujące całki poprzez konstrukcję ciągu podziałów przedziału całkowa- nia oraz obliczenie granicy ciągu sum Riemanna:
536.
Z4
2
x10dx (Wsk. 2 · 2k/n) 537.
e
Z
1
lnx
x dx (Wsk. ek/n) 538.
Z1
0
√3
x dx (Wsk. nk33)
539.
2
Z
1
dx
x (Wsk. 2k/n) 540.
4
Z
0
√x dx (Wsk. 4kn22)
Udowodnić następujące nierówności:
541.
π/2
Z
0
sinx
x dx < 2 542. 2√
2 <
4
Z
2
x1/xdx
543. 19 3 <
3
Z
2
xxdx <65
4 . Wsk. Oszacować xx przez xa.
544. Przedstawić na rysunku następujące wzory zachodzące dla funkcji ciągłej f na przedziale [a,b]:
b
Z
a
f (x)dx = lim
n→∞
b − a n
n
X
k=1
inf
x∈[a+(k−1)b−an , a+kb−an ]
f (x) (A)
b
Z
a
f (x)dx = lim
n→∞
b − a n
n
X
k=1
sup
x∈[a+(k−1)b−an , a+kb−an ]
f (x) (B)
Zb
a
f (x)dx = lim
n→∞
b − a n
n−1
X
k=0
f a + kb − a n
!
(C)
b
Z
a
f (x)dx = lim
n→∞
b − a n
n
X
k=1
f a + kb − a n
!
(D)
b
Z
a
f (x)dx = lim
n→∞
b − a n
n
X
k=1
f a + (k − 1/2)b − a n
!
(E)
Zb
a
f (x)dx = lim
n→∞
b − a n
f (a) + f (b)
2 +
n−1
X
k=1
f a + kb − a n
!!
(F )
545. Zastosować każdy ze wzorów z poprzedniego zadania do obliczenia całki
1
Z
−1
x2. Porównać błędy przybliżenia tej całki przez tysięczne wyrazy ciągów (n = 1000) wystę- pujących w powyższych wzorach.
Lista 53 - 53 - Strona 53
