Udowodnij, że każdy niemalejący i ograniczony z góry ciąg jest zbieżny

21.4.2020, kl 2b Granica ciągu III

Zadanie 1. (a) Udowodnij, że jeśli ciąg (an) jest zbieżny do liczby g, to ciąg bn = sin an też jest zbieżny, a jego granicą jest sin g. (Zrób to zadanie najpierw w przypadku g = 0.)

(b) Udowodnij, że jeśli ciąg (an) jest zbieżny do liczby g, to ciąg bn=√

an jest zbieżny do√ g.

Zadanie 2. Udowodnij, że każdy niemalejący i ograniczony z góry ciąg jest zbieżny.

Zadanie 3. Ciągi (an) i (bn) są zbieżne. Oznaczmy, A = limn→∞an, B = limn→∞bn. Udowodnij, że ciągi (an+ bn), (anbn) są zbieżne i

lim an+ bn = A + B, lim anbn= A · B.

Zadanie 4. Oblicz granice ciągów:

(a) ³ⁿ⁻²_5n+3, (b) p

n +√³ n −√

n, (c) √ⁿ

3ⁿ− 2ⁿ, (d) 1 +_n+1ⁿ cos^nπ₂ ,

(e) 1+4+7+...+(3n−2)

n² ,

(f) 10·11·12·...·(n+9) 1·3·5·...·(2n−1) , (g) ²²ⁿ⁺¹_4n−n^+100·n₂₊₁₃ , (h) √ⁿ

n!.

Zadanie 5. Wykaż, że dla dostatecznie dużych liczb n wyrazy an, bn są do- datnie:

an = 5ⁿ⁻¹− 7 · 2²ⁿ⁻¹− 100, bn = n⁵8ⁿ− n⁸· 5ⁿ.

Zadanie 6. Niech an =

 1 + 1

n

n

, bn = 1 + 1 1!+ 1

2!+ . . . + 1 n!.

Udowodnij, że ciągi (an), (bn) są zbieżne i to do tej samej granicy. Granicę tę oznacza się literą e. Uzasadnij, że e < 3.

Zadanie 7. Niech (F_n) będzie ciągiem Fibonacciego. Oblicz granice ciągów:

(a) ^F_Fⁿ⁺¹

n (b) √ⁿ F_n.

Zadanie 8. Oblicz granicę ciągu sin (2 +√ 3)ⁿπ
.

Zadanie 9. Oblicz granicę ciągów:

(a) an= 1 +₁₊ ¹1 ...+ 1

1+ 1 1+1

(n kresek ułamkowych),

(b) (an) : a1= 1/10, an+1= an− a³_n.

Zadanie 10. Udowodnij, że istnieje a > 0 że części ułamkowe liczb a, a², a³, . . . należ do przedziału [1/3, 2/3].

Zadanie 11. Ciąg (an) jest zbieżny do g. Udowodnij, że

n→∞lim

a1+ a2+ . . . + an

n = g.

Definicja. Funkcja f : A → R jest ciągław punkcie a ∈ A, jeśli dla każdego ciągu xn ∈ A takiego, że limn→∞xn = a i takiego, że xn6= a przy każdym n, ciąg yn:= f (xn) jest zbieżny do f (a).

Zadanie 12. Sformułuj definicję ciągłości funkcji f w terminach „-δ”

Powodzenia !