• Nie Znaleziono Wyników

Udowodnij, że każdy niemalejący i ograniczony z góry ciąg jest zbieżny

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Udowodnij, że każdy niemalejący i ograniczony z góry ciąg jest zbieżny"

Copied!
1
0
0

Pełen tekst

(1)

21.4.2020, kl 2b Granica ciągu III

Zadanie 1. (a) Udowodnij, że jeśli ciąg (an) jest zbieżny do liczby g, to ciąg bn = sin an też jest zbieżny, a jego granicą jest sin g. (Zrób to zadanie najpierw w przypadku g = 0.)

(b) Udowodnij, że jeśli ciąg (an) jest zbieżny do liczby g, to ciąg bn=

an jest zbieżny do g.

Zadanie 2. Udowodnij, że każdy niemalejący i ograniczony z góry ciąg jest zbieżny.

Zadanie 3. Ciągi (an) i (bn) są zbieżne. Oznaczmy, A = limn→∞an, B = limn→∞bn. Udowodnij, że ciągi (an+ bn), (anbn) są zbieżne i

lim an+ bn = A + B, lim anbn= A · B.

Zadanie 4. Oblicz granice ciągów:

(a) 3n−25n+3, (b) p

n +√3 n −√

n, (c) n

3n− 2n, (d) 1 +n+1n cos2 ,

(e) 1+4+7+...+(3n−2)

n2 ,

(f) 10·11·12·...·(n+9) 1·3·5·...·(2n−1) , (g) 22n+14n−n+100·n2+13 , (h) n

n!.

Zadanie 5. Wykaż, że dla dostatecznie dużych liczb n wyrazy an, bn są do- datnie:

an = 5n−1− 7 · 22n−1− 100, bn = n58n− n8· 5n.

Zadanie 6. Niech an =

 1 + 1

n

n

, bn = 1 + 1 1!+ 1

2!+ . . . + 1 n!.

Udowodnij, że ciągi (an), (bn) są zbieżne i to do tej samej granicy. Granicę tę oznacza się literą e. Uzasadnij, że e < 3.

Zadanie 7. Niech (Fn) będzie ciągiem Fibonacciego. Oblicz granice ciągów:

(a) FFn+1

n (b) n Fn.

Zadanie 8. Oblicz granicę ciągu sin (2 + 3)nπ.

Zadanie 9. Oblicz granicę ciągów:

(a) an= 1 +1+ 11 ...+ 1

1+ 1 1+1

(n kresek ułamkowych),

(b) (an) : a1= 1/10, an+1= an− a3n.

Zadanie 10. Udowodnij, że istnieje a > 0 że części ułamkowe liczb a, a2, a3, . . . należ do przedziału [1/3, 2/3].

Zadanie 11. Ciąg (an) jest zbieżny do g. Udowodnij, że

n→∞lim

a1+ a2+ . . . + an

n = g.

Definicja. Funkcja f : A → R jest ciągław punkcie a ∈ A, jeśli dla każdego ciągu xn ∈ A takiego, że limn→∞xn = a i takiego, że xn6= a przy każdym n, ciąg yn:= f (xn) jest zbieżny do f (a).

Zadanie 12. Sformułuj definicję ciągłości funkcji f w terminach „-δ”

Powodzenia !

Cytaty

Powiązane dokumenty

Podobnie jeśli udowodnimy, że iloraz między następnym a poprzednim wyrazem ciągu jest stały to ciąg jest geometryczny.. Przeanalizuj przykład 2 na

Co więcej, powyższe rozwinięcia przyjmiemy za definicję funkcji sin i cos dla argumentów

Udowodnij, że pole jednego z nich jest 16 razy większe od drugiego..

W jednym rzędzie ustawiono n słupków monet tak, że między każdymi dwoma słupkami tej samej wysokości znajduje się co najmniej jeden słupek wyższy.. Najwyższy słupek zawiera

Niech punkt I będzie środkiem okręgu wpisanego w trójkąt ABC, zaś D, E, F niech będą punktami przecięcia dwusiecznych kątów A, B, C trójkąta ABC odpowiednio z bokami BC, AC

Punkty te połączono między sobą i z wierzchołkami trójkąta nieprzecinającymi się odcinkami tak, iż ”duży” trójkąt podzielono na mniejsze trójkąty.. Udowodnij, że

Udowodnij, że możemy tak położyć drugiego tetrisa, aby suma liczb w polach, które on przykrył, była nieujemna...

Udowodnij, że możemy tak położyć drugiego tetrisa, aby suma liczb w polach, które on przykrył, była nieujemna...