Ćwiczenia nr 10, RP, 20.5.2020 Warunkowa wartość oczekiwana Zadanie 1. Zmienna losowa (X, Y ) ma rozkład łączny podany w tabelce
Y \ X X = 1 X = 3
Y = 0 0.2 0.3
Y = 2 0.1 0.4
Znajdź E(X|σ(Y )) i EX.
Zadanie 2. Niech Ω = [0, 1], P— miara Lebesgue’a na [0, 1]. Znajdź E(f |F), jeśli (a) f (x) =√
x, F jest σ-ciałem generowanym przez zbiory [0, 1/4) i ([1/4, 1].
(b) f (x) = −x, F jest σ-ciałem generowanym przez zbiory [0, 1/2) i ([1/3, 1].
Zadanie 3. Rzucamy monetą asymetryczną, dla której prawdopodobieństwo wypadnięcia orła wynosi p. Oblicz wartość oczekiwaną liczby rzutów do momentu uzyskania
(a) orła i reszki pod rząd;
(b) serii OOR.
Zadanie 4. Rzucamy kostką sześcienną do momentu uzyskania wszystkich wartości. Oblicz wartość oczekiwaną liczby rzutów.
Zadanie 5. Zmienne losowe X1, X2, . . . , X20 sa niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym N (µ, σ2). Niech Y = X1+ . . . + X15, Z = X6+ . . . + X20. Oblicz warunkową wartość oczekiwaną E(Z|Y ).
Zadanie 6. X, Y są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie (a) Poissona z parametrami λ, µ, odpo- wiednio; (b) tym samy rozkładzie Bernoulliego z parametrami n, p. Znajdź E(X|X + Y ).
Zadanie 7. X ma rozkład jednostajny na przedziale [0, n]. Oblicz E(X| bXc).
Zadanie 8. Udowdonić, że dla dowolnych zmiennych losowych X, Y na (Ω, F , P) i dowolnego σ-ciała G ⊂ F mamy
E(X · E(Y |G)) = E(Y · E(X|G)).
Zadanie 9. X, Y są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie jednostajnym na przedziale [0, 1]. Wyznacz (a) E(X + Y |X − Y ), (b) E(X − Y |X + Y ).
Zadanie 10. Rzucamy kostką sześcienną aż uzyskamy szóstkę. Niech N oznacza liczbę wyrzyconych piątek.
Oblicz EN .
Zadanie 11. W urnie znajduje się a kul białych, b–czarnych i c czerwonych. Losujemy ze zwracaniem po jednej kuli do momentu wyciągnięcia kuli czerwonej. Wyznacz wartość oczekiwaną liczby losowań, w których wyciągnięto kulę białą.
Zadanie 12. W urnie znajduje się a kul białych, b–czarnych i c–czerwonych. Losujemy n-krotnie ze zwraca- niem po jednej kuli. Niech A, B, C oznaczają odpowiednio liczbę wyciągniętych kul biłych, czarnych i czerwonych. Udowodnij, że E(A|A + B) = a+ba (A + B).
Zadanie 13. Wiadomo, że prawdopodobieństwo wylosowania monety fałszywej, tj. z orłem po obu stronach, wynosi p. Losujemy ze zwracaniem n monet i każdą z nich wykonujemy rzut. Niech F oznacza liczbę losowań, w których wyciągnięto monetę fałszywą, K-liczbę wyrzuconych orłów. Udowodnij, że E(F |K) =
2p 1+pK.
Zadanie 14. Zmienna losowa (X, Y ) ma gęstość
f (x, y) = x3
2 e−x(y+1)1x>0,y>0. Wyznacz E(Y |X), E(Y2|X2) oraz P(Y > 1|X3+ 1).
Zadanie 15. X, Y są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach: X ∼ Exp(1), Y ∼ U ([0, 1]). Oblicz E(YX|Y ).
1
