Na ile sposobów można ustawić w ciąg n różnokolorowych kul, wśród których jest ki kul i-tego koloru, i = 1, 2

13.11.2018, kl 1b

Permutacje z powtórzeniami, binarne naszyjniki.

Permutacje z powtórzeniami. Na ile sposobów można ustawić w ciąg n różnokolorowych kul, wśród których jest ki kul i-tego koloru, i = 1, 2, . . . , r, k1+ . . . + kr= n? Takie ustawienia nazywamy permutacjami z powtórzeniami. Jest ich

 n

k1, . . . , kr



:= n!

k1!k2! . . . kr! Twierdzenie. (Uogólniony wzór Newtona)

(x1+ x2+ . . . + xr)ⁿ =X n k1, . . . , kr



x^k₁¹x^k₂². . . x^k_r^r.

Zadanie 1. Na ile sposobów można podzielić n-elementową populację na k części mające odpowiednio k1, k2, . . . , kr

elementów?

Zadanie 2. Uzasadnij, żeP n

k₁,...,k_r
= n^r. Typowe błędy przy zliczaniu.

Rozwiązując zadania z kombinatoryki często warto sprawdzić:

1. Czy odpowiedź się zgadza dla początkowych parametrów zadania?

2. Czy faktycznie otrzymujemy wszystkie żądane układy?

3. Czy przypadkiem dwie z pozoru różne ścieżki nie prowadzą do tego samego układu?

Zadanie 3. n rozróżnialnych kul umieszczono w n komórkach. W ilu przypadkach (na nⁿwszystkich) dokładnie jedna komórka będzie pusta?

Zadanie 4. Cyfry 0, 1, . . . , 9 ustawiamy w ciąg tak by ani 0, 1 ani 8, 9 nie występowały obok siebie. Sposobów jest 6! · 7 · 6 · 9 · 8 czy 8! · 7 · 8?

Naszyjniki. Na ile sposobów można ustawić na okręgu n różnokolorowych kul, wśród których jest ki kul i- tego koloru, i = 1, 2, . . . , r, k1+. . .+kr= n? Dwa układy kul uważamy za równoważne, jeśli jeden można uzyskać z drugiego przez obrót okręgu. Problem jest dosyć złożony. Rozważymy tylko kilka szczególnych przypadków:

Zadanie 5. Korali mamy:

(a) 3 białe i 2 czerwone,

(b) 7 żółtych, 4 czerwone, 3 białe, (c) n czerwonych i n białych,

(d) n + 1 czerwonych i n − 1 białych.

Na ile sposobów można je nawlec na okrąg? (Można obracać, ale nie można odwracać okręgu.) Kilka dodatkowych zadań.

Zadanie 6. Na ile sposobów można połączyć 2n osób w pary?

Zadanie 7. Liczby całkowite an, bn, cn, dn spełniają an+ bn

√ 2 + cn

√ 3 + dn

√ 6 = (√

2 +√ 3)ⁿ. (a) Dla jakich n liczby an, bn, cn, dn są podzielne przez 6?

(b) Znajdź zwarte wzory na a_n, b_n, c_n, d_n.

Zadanie 8. Udowodnij następujący wzór na n-ty wyraz ciągu Fibonacciego:

Fn= 1 2√

5(αⁿ− βⁿ), gdzie α = ¹⁺

√ 5

2 , β = ¹⁻

√ 5 2 . Zadanie 9. Obliczyć sumę

j

X

j=0

(−1)^jn j

 n k − j

 .