Ćwiczenia nr 2 Kognitywistyka: Wstęp do matematyki Elementy teorii zbiorów i kombinatoryki, 14.10.2019 Zadanie 1. A, B, C oznaczają zbiory. Udowodnić, że (a) A \ (B \ C) = (A \ B) ∪ (A ∩ C), (b) A ÷ B = (A ∪ B) \ (A ∩ B)

Ćwiczenia nr 2

Kognitywistyka: Wstęp do matematyki

Elementy teorii zbiorów i kombinatoryki, 14.10.2019 Zadanie 1. A, B, C oznaczają zbiory. Udowodnić, że

(a) A \ (B \ C) = (A \ B) ∪ (A ∩ C), (b) A ÷ B = (A ∪ B) \ (A ∩ B)¹

(c) A ÷ (B ÷ C) = (A ÷ B) ÷ C, (d) A ∪ B = A ÷ B ÷ (A ∩ B).

Zadanie 2. O zbiorach A, B, X wiadomo, że A ⊂ X i B ⊂ X. Które z poniższych zdań jest prawdziwe? Odpowiedź proszę dokładnie uzasadnić.

(a) (A ∪ B) \ B = A,

(b) A ∪ B ∪ A = B ∪ A ∪ B, (c) Jeśli A ⊂ B, to A ∪ B = B,

Zadanie 3. A₁, . . . , A_n są podzbiorami zbioru X. Uzasadnić prawa de Morgana:

(a) (A1∪ A2∪ . . . ∪ An)⁰ = A⁰₁∩ A⁰₂∩ . . . ∩ A⁰_n², (b) (A1∩ A2∪ . . . ∩ An)⁰ = A⁰₁∪ A⁰₂∪ . . . ∪ A⁰_n.

Zadanie 4. Niech A, B, C będą zbiorami skończonymi. Uzasadnić, że

|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − (|A ∩ B| + |B ∩ C| + |C ∩ A|) + |A ∩ B ∩ C|).

Zadanie 5. Znaleźć wzór na liczbę elementów zbioru A ÷ B ÷ C.

Zadanie 6. Czy

(a) (A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C), (b) A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C),

(c) (A × B) ÷ (C × D) = (A ÷ C) × (B ÷ D).

Zadanie 7. Proszę wypisać wszystkie dwu- i trzy-elementowe podzbiory zbioru {1, 3, 5, 7, 9}.

Których podzbiorów jest więcej?

Zadanie 8. Grupa składa się z 15 małżeństw. Na ile sposobów można spośród nich wybrać czteroosobową delegację, jeśli w skład delegacji nie może wchodzić żadne małżeństwo?

Zadanie 9. Ile jest ciągów

(a) zero-jedynkowych złożonych z m zer i n jedynek?

(b) ciągów złożonych z k zer, l jedynek i m dwójek.

1A÷B oznacza różnicę symetryczną zbiorów A i B, czyli zbiór złożony z elementów, które należą do dokładnie jednego ze zbiorów A, B.

2A⁰ oznacza dopełnienie zbioru A w X czyli zbiór X \ A

Zadanie 10. Ile jest liczb 99-cyfrowych, w których cyfra 9 występuje 11 razy, a 0 nie występuje ani razu.

Zadanie 11. Na ile sposobów można ustawić k wież na szachownicy 8 × 8, by żadne dwie nie biły się.

Zadania domowe (nieobowiązkowe) na 21.10.2018

Zadanie 1. Proszę uzasadnić, że element x należy do zbioru A₁ ÷ A₂ ÷ . . . ÷ A_n wtedy i tylko wtedy, gdy liczba zbiorów spośród A₁, A₂, . . . , A_n do których należy x jest liczbą nieparzystą.

Zadanie 2. Na ile sposobów można ustawić w rzędzie 7 pingwinów i 7 kotów tak, aby żadne dwa koty i żadne dwa pingwiny nie stały obok siebie?

Zadanie 3. Każde pole tabeli o 2 wierszach i 10 kolumnach kolorujemy jednym z 10 kolorów.

Ile jest pokolorowań tabeli takich, że pola w każdym wierszu są różnych kolorów?