Przy założeniach poprzedniego zadania podaj przedział ufności dla θ

Statystyka I semestr zimowy 2017, seria IX

1. Niech X1, . . . , Xn, . . . będzie próbką z rozkładu Unif([0, θ]), gdzie θ > 0 jest nieznanym parame- trem.

(a) Znajdź estymator największej wiarygodności ˆθn parametru θ.

(b) Znajdź rozkłady graniczne następujących ciągów: n(ˆθ_n− θ) oraz√

n(ˆθ_n− θ).

2. Przy założeniach poprzedniego zadania podaj przedział ufności dla θ.

3. Rozważmy model liniowy

y = Xβ + ε ,

gdzie y jest wektorem długości n, X jest macierzą wymiaru n × p, oraz ε ∼ N (0, σ²In). Załóżmy, że det(X^TX) > 0 oraz n > p. Podaj przedział ufności dla β1 w obu przypadkach, gdy σ² jest znane/nieznane.

4. Niech X1, X2, ..., Xn będzie próbką z Exp(λ).

(a) Znajdź rozkład T = λPn i=1Xi. (b) Podaj przedział‚ ufności dla λ.

5. Niech X ∼ Bin(n, p). Podaj dokładny i asymptotyczny przedział ufności dla p.

1