Algebra dla MSEM I, 2019/2020 ćwiczenia 24.
10 stycznia 2020
Zadania
1. Które z poniższych odwzorowań ϕ : V → W są przekształceniami liniowymi?
a) V = R3, W = R2, ϕ((x, y, z)) = (x + 3y − 1, 4x + 2y + 6),
b) V = R3, W = R2, ϕ((x, y, z)) = (x + 3y − z, 4x + 2y + 6z),
2. Dla jakich wartości parametru t ∈ R odwzoro- wanie ϕ : R2 → R2 zadane wzorem ϕ((a, b)) = (a + b + (t2− 9)ab, 5a + 3(b − 1) + t) jest prze- kształceniem liniowym?
3. Które z poniższych odwzorowań ϕ : V → W są przekształceniami liniowymi?
a) V = F (R, R), W = R, ϕ(f ) = 4f (5) − 5f (4).
b) V = W = F (R, R), ϕ(f ) = |f |,
4. Znaleźć wzór na przekształcenie zadane poda- nymi warunkami: ϕ : R3 → R3, ϕ((1, 0, 1)) = (5, 1, 3), ϕ((0, 1, 1)) = (2, 3, 4), ϕ((1, 0, 0)) = (6, 7, 7).
5. Niech ϕ, ψ : R3 → R2, będą przekształceniami liniowymi zadanymi następująco: ϕ((1, 1, 1)) = (3, 7), ϕ((1, 1, 0)) = (2, 5), ϕ((1, 0, 0)) = (1, 6) oraz ψ((2, 2, 1)) = (3, 3), ψ((2, 1, 0)) = (5, 0), ψ((2, 1, 1)) = (4, 2). Znaleźć wzór na prze- kształcenie ϕ + ψ oraz na przekształcenie 5ϕ.
6. Niech ponadto φ : R2 → R2 będzie takie, że φ((1, 2)) = (1, 1) oraz φ((−1, −1)) = (1, 0).
Znajdź wzór na przekształcenie φ ◦ ϕ.
7. Dla poniższych przekształceń znaleźć bazę i wy- miar jego obrazu oraz bazę i wymiar jego jądra.
a) ϕ : R3 → R2, ϕ((x, y, z)) = (2x + y − 3z, x + 4y + 2z),
b) ϕ : R3→ R4, ϕ((x, y, z)) = (4x + 3y + 5z, x + 2y + z, 2x − y + 3z, 6x + 7y + 7z),
8. W poniższych przypadkach sprawdzić, czy istnie- je takie przekształcenie liniowe ϕ : R4→ R3. Jeśli tak, znaleźć przykład takiego przekształcenia po- dając jego wzór.
a) ker ϕ = {(x, y, z, t) ∈ R4: x − y + 6z + 2t = 0}, imϕ = lin((2, 3, 1)),
b) ker ϕ = lin((1, 0, 3, 3)), imϕ = {(x, y, z) ∈ R3: 4x + 5y − z = 0},
9. Dla jakich wartości parametru r ∈ R, przekształ- cenie
a) ϕ : R3 → R5 ϕ((x1, x2, x3)) = (x1 + x2 + 2x3, 2x1+ x2+ x3, x1+ 3x2+ rx3, 5x1+ 3x2+ 4x3, x1+ 2x2+ 5x3) jest monomorfizmem?
b) ϕ : R4→ R3 ϕ((x1, x2, x3, x4)) = (4x1+ x2+ rx3+ x4, 3x1+ 2x2+ x3+ x4, 2x1+ 3x2+ 3x3+ x4) jest epimorfizmem?
c) ϕ : R4→ R4 ϕ((x1, x2, x3, x4)) = (5x1− x2+ rx3+5x4, 2x1−3x2−6x3+rx4, 3x1+2x2+x3+ 4x4, x1+ 5x2+ 7x3+ 3x4) jest izomorfizmem?
Zadania domowe
1. Niech ϕ : R2 → R3 będzie zadane następują- co ϕ((1, −1)) = (1, 1, 2), ϕ((−1, 0)) = (−1, 1, 0).
Znaleźć wzór na 2ϕ.
2. Znaleźć bazy i wymiar jądra oraz obrazu ϕ z po- przedniego zadania.
3. Niech ϕ będzie jak wyżej. Rozstrzygnij, czy ist- nieje przekształcenie liniowe ψ : R2→ R2, takie, że ϕ ◦ ψ jest:
a) monomorfizmem?
b) izomorfizmem?
c) epimorfizmem?
Odpowiedź uzasadnij, a w przypadku pozytywnej odpowiedzi wskaż przykład takiego przekształce- nia ψ.
4. Znajdź przekształcenie liniowe φ : R4 → R2, ta- kie, że ker φ = lin((1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 1)) oraz imφ = lin((1, 1)).
5. Niech φ będzie przekształceniem znalezionym w poprzednim zadaniu, zaś ϕ przekształceniem z pierwszego zadania. Znajdź wzór przekształcenie ϕ ◦ φ.
1
