Wstęp do statystycznej analizy danych (3 inf, 2014/2015)
4. Zmienne losowe
Zad. 4.1 Niech X oznacza liczbę orłów w trzech rzutach monetą.
a) Wyznacz rozkład, dystrybuantę (wzór i wykres) zmiennej losowej X.
b) Oblicz P(X ¬ 1), P(X > 2), P(X = 1, 5), P(X = 1), P (2 ¬ X ¬ 3), P(X < 3).
Zad. 4.2 Wyznacz rozkład zmiennej losowej, której dystrybuanta wyraża się następują- cym wzorem:
F (t) =
0, t < −1, 0.2, −1 ¬ t < 12, 0.4, 12 ¬ t < 3, 1, t 3.
Zad. 4.3 Niech X będzie zmienną losową określającą ilość sukcesów w schemacie Berno- ullego. Obliczyć EX, V ar(X).
Zad. 4.4 Niech X ∼ P oiss(λ). Oblicz a) P(X = 2),
b) wartość oczekiwaną zmiennej losowej Y = eX.
Zad. 4.5 Dobierz stałe A i B tak, aby funkcja określona dla x ∈ R wzorem F (x) = A + Barctgx, była dystrybuantą zmiennej losowej X. Wyznacz gęstość X.
Zad. 4.6 Niech X będzie zmienną losową o gęstości f (t) =
( 0; t /∈ [−2, 2]
a(4 − t2); t ∈ [−2, 2].
a) Wyznacz parametr a i narysuj wykres f .
b) Wyznacz dystrybuantę zmiennej X i narysuj jej wykres.
c) Oblicz E(X), V ar(X).
d) Wyznacz E(3X + 2)2.
e) Oblicz prawdopodobieństwo, że X > 1 lub X < −1.
f) Zinterpretuj P (X < −1) na wykresie gęstości i dystrybuanty.
Zad. 4.7 Niech X ma rozkład N (1, 2). Oblicz P(X < 0), P(X < 1), P(X > −1), P(|X| >
1).
Zad. 4.8 Wiedząc, że X ma rozkład wykładniczy z parametrem λ > 0 i P(X < 2) = 34, znajdź
a) dystrybuantę zmiennej losowej E(λ), b) λ;
c) wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej e−X.
1
Wstęp do statystycznej analizy danych (3 inf, 2014/2015)
4’. Zadania do samodzielnego rozwiązania
Zad. 4’.1 Z partii zawierającej 100 wyrobów, z których 10 jest wybrakowanych, losuje- my 5 wyrobów do sprawdzenia (bez zwracania). Znaleźć rozkład zmiennej losowej określającej liczbę braków w wylosowanej próbce.
Zad. 4’.2 Zmienne losowe X, Y są niezależne i mają rozkład geometryczny z parametrem p, 0 < p < 1. Niech Z = min(X, X − Y ). Znaleźć P(Z = −1).
Zad. 4’.3 Pokaż, że zmienna losowa o rozkładzie geometrycznym posiada tzw. własność braku pamięci (własność Markowa), tzn.
P(X > t + s|X > t) = P(X > s), dla t, s ∈ N ∪ {0}.
Zad. 4’.4 Zmienna losowa X ma gęstość daną wzorem:
f (x) = ax(x − 3)
1
(0,3)(x).(a) Wyznacz parametr a i narysuj wykres gęstości.
(b) Wyznacz dystrybuantę zmiennej X i narysuj jej wykres.
(c) Oblicz P (X > 1).
Zad. 4’.5 Zmienna losowa X ma gęstość f (x) =
( αxα−1, x ∈ (0, 1),
0, w p.p. .
a) Wyznacz dystrybuantę zmiennej losowej X.
b) Oblicz wariancję zmiennej X oraz wartość oczekiwaną zmiennej (1 − X)2. Zad. 4’.6 Znaleźć wartość oczekiwaną pola prostokąta, którego obwód jest równy 20,
a jeden bok jest zmienną losową X o rozkładzie jednostajnym na [1, 10].
Zad. 4’.7 Znajdź wartość oczekiwaną pola trójkąta, którego wysokość jest dwa razy krót- sza niż podstawa będąca zmienną losową X o rozkładzie U [1, 4].
Zad. 4’.8 Wiadomo, że E(X + Y ) = a, E(X − Y ) = b, V ar(X − Y ) = V ar(X + Y ).
Oblicz E(XY ).
Zad. 4’.9 Zmienne losowe X i Y są niezależne i mają rozkład normalny N (0, 1). Czy zmienne losowe 2X + Y i X + 2Y są niezależne?
2
