Xn)wielko±ci g(θ) jest asymptotycznie normalny, je»eli ∀θ∈Θ ∃σ2(θ

Asymptotyczna normalno±c i asymptotyczna efektywno±¢ estymatorów Denicja 1. Estymator ˆg(X1, . . . , X_n)wielko±ci g(θ) jest asymptotycznie normalny, je»eli

∀θ∈Θ ∃_σ²_(θ) √

n(ˆg(X1, . . . , Xn) − g(θ)) −→^dN (0, σ²(θ)), n −→ ∞,

tzn. rozkªad statystyki ˆg(X1, . . . , X_n)jest (dla du»ych n) zbli»ony do rozkªadu N(g(θ),^σ2_n^(θ)). Ozn. ˆg(X) ∼ AN(g(θ),^σ2_n^(θ)). Wielko±¢ ^σ2_n^(θ) nazywamy asymptotyczn¡ wariancj¡ esty- matora ˆg(X1, . . . , X_n).

Twierdzenie (Metoda delta) Je»eli dla ci¡gu zmiennych Tn mamy √

n(T_n− µ) −→^d N (0, σ²)przy n −→ ∞ i h : R −→ R jest funkcj¡ ró»niczkowaln¡ w punkcie µ, to

√n (h(T_n) − h(µ)) −→^dN (0, σ²· (h⁰(µ)²).

Denicja 2. Je»eli ˆg jest asymptotycznie normalnym estymatorem g(θ). Wówczas asymptotyczn¡ efektywno±¢ estymatora okre±lamy jako

as.ef(ˆg) = (g⁰(θ))²n

σ²(θ)I_n(θ) = (g⁰(θ))² σ²(θ)I₁(θ).

Jest to modykacja 'zwykªej' efektywno±ci: rol¦ wariancji estymatora nieobci¡»onego przejmuje tu asymptotyczna wariancja estymatora normalnego.

Denicja 3. Estymator ˆg nazywamy asymptotycznie efektywnym, je»eli

∀_θ∈Θ as.ef(ˆg) = 1.

Twierdzenie Je»eli ci¡g zmiennych losowych Tn jest AN(µ, σn²), σn −→ 0oraz h : R −→

Rjest m-krotnie ró»niczkowalna w µ i h^(m)(µ) 6= 0, h⁽ⁱ⁾(µ) = 0 dla i < m, to h(T_n) − h(µ)

1

m!h^(m)(µ)σ_n^m −→^dN (0, 1)^m Fakt Je»eli ci¡g zmiennych losowych Tn jest AN(µn, σ²_n) oraz

¯ µ_n− µ_n

σ_n → 0, ¯σ_n σ_n → 1, to Tn jest AN(¯µn, ¯σ_n²).

Fakt Je»eli ci¡g zmiennych losowych Tn jest AN(µn, σ²_n) oraz

a_n → 1, µ_n(a_n− 1) + b_n

σ_n → 0,

to anTn+ bn jest równie» AN(µn, σ_n²).

1