………..
Imię i nazwisko ucznia
………
Pełna nazwa szkoły
KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW SZKOŁY PODSTAWOWEJ
ZESTAW ZADAŃ KONKURSOWYCH ROK SZKOLNY 2020/2021
ETAP DRUGI Instrukcja dla ucznia
1. Na rozwiązanie wszystkich zadań masz 90 minut.
2. Zestaw konkursowy zawiera 18 zadań.
3. Przed rozpoczęciem pracy sprawdź, czy zestaw zadań jest kompletny.
Jeżeli zauważysz usterki, zgłoś je Komisji Konkursowej.
4. Zadania czytaj uważnie i ze zrozumieniem.
5. Zadania zapisane w brudnopisie nie będą oceniane.
6. Rozwiązania zapisuj długopisem lub piórem. Rozwiązania zapisane ołówkiem nie będą oceniane.
7. Nie używaj korektora i długopisu ścieralnego.
8. W nawiasach obok numerów zadań podano liczbę punktów możliwych do uzyskania za dane zadanie.
9. Nie używaj kalkulatora.
POWODZENIA!
Maksymalna liczba punktów 40
Uzyskana liczba punktów
2
W każdym z zadań od 1. do 5. tylko jedna z podanych odpowiedzi jest poprawna.
Zaznacz właściwą odpowiedź.
Zadanie 1. (1 p.)
Siedemnastą cyfrą rozwinięcia dziesiętnego ułamka 4
7 jest
A. 1 B. 4 C. 8 D. 2
Zadanie 2. (1 p.)
Wyrażenie „kwadrat sumy liczb 𝑎 i 𝑏 pomniejszony o iloczyn różnicy liczb 𝑎 i 𝑏 przez ich sumę” po uproszczeniu ma postać
A. 2𝑏2 B. 2𝑎𝑏 C. 2𝑎𝑏 + 2𝑏2 D. 0
Zadanie 3. (1 p.)
Cyfrą jedności liczby 514+ 711+ 1012 jest
A. 8 B. 3 C. 7 D. 5
Zadanie 4. (1 p.)
Pole trójkąta prostokątnego równoramiennego wynosi 32 𝑐𝑚2. Obwód tego trójkąta wynosi A. 24√2 𝑐𝑚 B. (16 + 8√2) 𝑐𝑚 C. (8+8√2) 𝑐𝑚 D. 24 𝑐𝑚
Zadanie 5. (1 p.)
W trójkącie równoramiennym wysokości poprowadzone do ramion tego trójkąta tworzą kąt o mierze 100°. Miara kąta przy podstawie tego trójkąta wynosi
A. 50° B. 80° C. 40° D. 60°
Zadanie 6. (3 p.)
Dane są liczby: 𝑎 = 3200, 𝑏 = 975∙ 350, 𝑐 = 2780: 920, 𝑑 = 3198+ 3198+ 3198.
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
Liczba 𝑎 jest trzy razy większa od liczby 𝑑. P F
Liczba 𝑎 jest mniejsza od liczby 𝑏. P F
Liczba 𝑑 jest trzy razy mniejsza od liczby 𝑐. P F
3
Bok 𝐵𝐶 prostokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest 4 razy krótszy od boku 𝐴𝐵. Na bokach 𝐴𝐵 i 𝐵𝐶 zbudowano na zewnątrz prostokąta kwadraty (rysunek). Połączono odcinkiem najbardziej odległe wierzchołki tych kwadratów. Długość tego odcinka wynosi 45 𝑐𝑚.
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
Długość krótszego boku prostokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷 wynosi 4,5√2 𝑐𝑚. P F
Pole powierzchni prostokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest o 486 𝑐𝑚2 mniejsze od pola
powierzchni większego z dorysowanych kwadratów. P F
Pole powierzchni większego z dorysowanych kwadratów jest 4 razy większe
od pola powierzchni mniejszego kwadratu. P F
W zadaniach od 8. do 11. zapisz odpowiedzi na postawione pytania (nie musisz zapisywać wykonanych obliczeń).
Zadanie 8. (1 p.)
Przyjaciółki spotkały się w domu Pauliny. Hania przyszła 4 minuty wcześniej niż Ola, ale 2 minuty później niż Kasia. Ze spotkania pierwsza wyszła Hania. Opuściła przyjaciółki 3 minuty wcześniej niż Ola i 9 minut wcześniej niż Kasia. O ile minut krócej w spotkaniu uczestniczyła Ola niż Kasia?
Odpowiedź: ……….
Zadanie 9. (1 p.)
Ania mieszka w odległości 3 km od szkoły. W środę pojechała do szkoły i wróciła z niej rowerem, jadąc ze stałą prędkością. Droga w obie strony zajęła jej łącznie 18 minut.
W czwartek również pojechała do szkoły rowerem z tą samą prędkością, co w środę. Wróciła jednak ze szkoły pieszo. Droga w obie strony zajęła jej w czwartek 45 minut. Z jaką średnią prędkością szła Ania ze szkoły? Wynik podaj w km/h.
Odpowiedź: ……….
4 Zadanie 10. (1 p.)
W prostokącie 𝐴𝐵𝐶𝐷 przekątna 𝐴𝐶 tworzy z bokiem 𝐴𝐵 kąt, którego miara jest o 20%
mniejsza od miary kąta, jaki przekątna 𝐴𝐶 tworzy z bokiem 𝐵𝐶. Ile wynosi miara kąta rozwartego między przekątnymi prostokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷?
Odpowiedź: ……….
Zadanie 11. (1 p.)
W trapezie 𝐴𝐵𝐶𝐷 podstawa 𝐴𝐵 jest 4 razy dłuższa od podstawy 𝐶𝐷. Jaką częścią pola powierzchni trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest pole powierzchni trójkąta 𝐴𝐵𝐷?
Odpowiedź: ……….
Zadanie 12. (4 p.)
Osiem lat temu ojciec był 5 razy starszy od syna. Za cztery lata ojciec będzie 2,6 razy starszy od syna.
Uzupełnij luki w poniższych zdaniach – wpisz w puste miejsca odpowiednie liczby.
a) Ojciec jest starszy od syna o ……….. lata.
b) Syn ma obecnie ……….. lat.
c) Ojciec był dziewięć razy starszy od syna ……….. lat temu.
d) Syn będzie dwa razy młodszy od ojca za ……….. lat.
Zadanie 13. (4 p.)
Obwód trapezu równoramiennego wynosi 68 cm, a jego ramię ma długość 13 cm. Przez środki obu podstaw trapezu poprowadzono prostą, która podzieliła trapez na dwa czworokąty.
Obwód każdego z tych czworokątów wynosi 46 cm.
Uzupełnij luki w poniższych zdaniach – wpisz w puste miejsca odpowiednie liczby.
a) Wysokość trapezu ma długość ……….. cm.
b) Różnica długości podstaw trapezu wynosi ……….. cm.
c) Krótsza podstawa trapezu ma długość ……….. cm.
d) Przekątna trapezu ma długość ……….. cm.
5
W równoległoboku 𝐴𝐵𝐶𝐷 wysokość 𝐷𝐸 ma długość 16 𝑐𝑚. Punkt 𝐸 dzieli bok 𝐴𝐵 równoległoboku na odcinki o długości: |𝐴𝐸| = 9 𝑐𝑚 i |𝐸𝐵| = 12 𝑐𝑚.
Uzupełnij luki w poniższych zdaniach – wpisz w puste miejsca odpowiednie liczby.
a) Dłuższa przekątna równoległoboku ma długość ……….. cm.
b) Pole powierzchni trójkąta 𝐸𝐵𝐶 jest o ……….. cm2 większe od pola powierzchni trójkąta 𝐴𝐸𝐷.
c) Pole powierzchni trójkąta 𝐷𝐸𝐶 jest o ……….. % większe od pola powierzchni trójkąta 𝐸𝐵𝐶.
W zadaniach od 15. do 18. zapisz wszystkie obliczenia oraz odpowiedzi.
Zadanie 15. (3 p.)
We wrześniu w klasie VIII było siedem razy więcej uczniów uczęszczających na zajęcia sportowe, niż uczniów nieuczęszczających na te zajęcia. W październiku jedna osoba zrezygnowała z udziału w zajęciach sportowych i wtedy osoby, które nie uczęszczały na te zajęcia stanowiły 20% uczniów uczęszczających na zajęcia sportowe. Liczba wszystkich uczniów w klasie VIII się nie zmieniła.
a) Ilu uczniów było w klasie VIII?
b) O ile procent liczba uczniów uczestniczących w zajęciach sportowych we wrześniu była większa od liczby uczniów uczęszczających na te zajęcia w październiku?
6
Odpowiedź: ……….
………...
………...
7
Dane są dwie liczby naturalne dodatnie, z których jedna jest o 438 większa od drugiej. Jeżeli większą z danych liczb podzielimy przez mniejszą, to otrzymamy iloraz 19 i resztę 6.
Wyznacz te liczby.
Odpowiedź: ……….
………...
8 Zadanie 17. (4 p.)
W trójkącie prostokątnym najdłuższy bok jest o 4,5 𝑐𝑚 dłuższy od najkrótszego boku. Średni bok ma długość 7,5 𝑐𝑚. Oblicz długość najkrótszej wysokości tego trójkąta.
Odpowiedź: ……….
………...
9
Kąt ostry trapezu równoramiennego 𝐴𝐵𝐶𝐷 ma miarę 45°, a jego wysokość ma długość 3√2 𝑐𝑚. Każde z ramion 𝐴𝐷 i 𝐵𝐶 tego trapezu przedłużono tak, że te przedłużenia przecięły się w punkcie 𝐸. Odległość punktu 𝐸 od każdego z wierzchołków krótszej podstawy trapezu wynosi 4 𝑐𝑚. Oblicz obwód trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷.
Odpowiedź: ……….
………...
10 BRUDNOPIS
11
12 BRUDNOPIS
13
KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW SZKOŁY PODSTAWOWEJ
ROK SZKOLNY 2020/2021 ETAP DRUGI
ODPOWIEDZI I SCHEMAT OCENIANIA
Numer
zadania Odpowiedź Liczba punktów
1. D 1
2. C 1
3. A 1
4. B 1
5. A 1
6.
P 1
F 1
P 1
7.
P 1
P 1
F 1
8. 12 minut 1
9. 5 km/h 1
10. 100o 1
11. 0,8 1
12.
32 1
16 1
12 1
16 1
13.
12 1
10 1
16 1
3√65 1
14.
34 1
24 1
75 1
Numer
zadania Etap rozwiązania Odpowiedź Liczba
punktów
15.
Ułożenie równania,
z którego można wyznaczyć liczbę wszystkich uczniów w klasie VIII (albo liczbę uczniów uczestniczących, albo liczbę uczniów
np. 𝑥 − 𝑙𝑖𝑐𝑧𝑏𝑎 𝑢𝑐𝑧𝑛𝑖ó𝑤 𝑤 𝑘𝑙𝑎𝑠𝑖𝑒 𝑉𝐼𝐼𝐼 1
8𝑥 + 1 = 20%(7
8𝑥 − 1) 1
nieuczestniczących w zajęciach sportowych).
Obliczenie liczby wszystkich uczniów w klasie VIII.
𝑥 = 24 2
Obliczenie, o ile procent liczba uczniów
uczęszczających na zajęcia sportowe we wrześniu była większa od liczby uczniów uczęszczających na te zajęcia w październiku.
5% 3
16.
Ułożenie równania lub układu równań, z którego można wyznaczyć szukane liczby.
np.
𝑥 − 𝑤𝑖ę𝑘𝑠𝑧𝑎 𝑙𝑖𝑐𝑧𝑏𝑎 𝑦 − 𝑚𝑛𝑖𝑒𝑗𝑠𝑧𝑎 𝑙𝑖𝑐𝑧𝑏𝑎
{𝑥 − 𝑦 = 438 𝑥 = 19𝑦 + 6
1
Obliczenie jednej z szukanych liczb.
np.
𝑥 = 462 2
Obliczenie drugiej liczby. 𝑦 = 24 3
17.
Ułożenie równania, z którego można obliczyć długość jednego
z brakujących boków trójkąta.
np.
𝑥 − 𝑑ł𝑢𝑔𝑜ść 𝑛𝑎𝑗𝑘𝑟ó𝑡𝑠𝑧𝑒𝑔𝑜 𝑏𝑜𝑘𝑢
(𝑥 + 4,5)2 = 𝑥2+ 7,52 1 Obliczenie długości
brakujących boków trójkąta. 4 𝑐𝑚 i 8,5 𝑐𝑚 2
Zapisanie równania
prowadzącego do obliczenia najkrótszej wysokości trójkąta.
np.
8,5 ∙ ℎ = 4 ∙ 7,5 3
Obliczenie długości najkrótszej wysokości
trójkąta. ℎ = 3 9
17 𝑐𝑚 4
18.
Obliczenie długości
ramienia trapezu. 6 𝑐𝑚 1
Obliczenie długości krótszej
podstawy trapezu. 4√2 𝑐𝑚 2
Obliczenie długości dłuższej
podstawy trapezu. 10√2 𝑐𝑚 3
Obliczenie obwodu trapezu. (12 + 14√2) 𝑐𝑚 4
Za poprawne rozwiązanie zadań inną metodą niż podana powyżej przyznaje się odpowiednią liczbę punktów.
