IDENTYFIKACJA KSZTAŁTU
DLA BEZELEMENTOWEJ REPREZENTACJI BRZEGU PRZESTRZENNYCH KONSTRUKCJI LINIOWO SPRĘŻYSTYCH
W METODZIE PURC
Krzysztof Szerszeń
1a, Eugeniusz Zieniuk
1b, Andrzej Kużelewski
1c1Zakład Metod Numerycznych, Wydział Matematyki i Informatyki, Uniwersytet w Białymstoku
akszerszen@ii.uwb.edu.pl, bezieniuk@ii.uwb.edu.pl, cakuzel@ii.uwb.edu.pl
Streszczenie
Celem pracy jest identyfikacja położenia punktów kontrolnych w płatach powierzchni stosowanych do modelo- wania brzegu w odwrotnych zagadnieniach brzegowych rozwiązywanych za pomocą parametrycznych układów równań całkowych (PURC). Zaletą prezentowanego podejścia jest możliwość efektywnego sterowania identyfiko- wanymi punktami kontrolnymi kreującymi kształt brzegu w rozwiązywanych zagadnieniach bezpośrednio w PURC. Ogranicza to liczbę identyfikowanych danych do minimum przy jednoczesnej dużej swobodzie modyfi- kacji kształtu brzegu. Proces identyfikacji jest sterowany algorytmem genetycznym. Strategia daje możliwości identyfikacji kształtu brzegu niedostępne do uzyskania w przypadku klasycznych metod elementowych.
Słowa kluczowe: Parametryczne Układy Równań Całkowych (PURC), identyfikacja, liniowa sprężystość
IDENTIFICATION OF SHAPE FOR NON-ELEMENT
BOUNDARY REPRESENTATION OF 3D LINEAR ELASTIC STRUCTURES IN THE PIES METHOD
Summary
The aim of the paper is the identification of location of the control points of the surface patches used for model- ing the boundary in the inverse boundary value problems solved by the parametric integral equation systems (PIES). The advantage of the approach is the ability to effectively steer of control points creating the shape of the boundary in the solved problems directly in the PIES. This reduces the number of identified data to a minimum with considerable ability to change the shape of the boundary. The identification process is steered by genetic al- gorithm. This strategy gives the possibilities of identifiaction boundary shape unavailable to achieve with classical element methods.
Keywords: Parametric Integral Equation Systems (PIES), identification, linear elasticity
1. WSTĘP
Komputerowa identyfikacja kształtu konstrukcji me- chanicznych wymaga opracowania matematycznego modelu obliczeniowego, który uwzględni zarówno ich kształt oraz założone właściwości mechaniczne powiąza- ne ze sobą w postaci sformułowanego odwrotnego za-
gadnienia brzegowego. Zagadnienia te, określane jako źle uwarunkowane, charakteryzują się trudnością uzyskania jednoznacznych rozwiązań [1,2]. Do rozwiązywania tego typu zagadnień najczęściej wykorzystywane są metody oparte na analizie wrażliwości określające wpływ para-
metrów geometrycznych na zmianę odkształceń i naprę- żeń konstrukcji. Do ich uzyskania można zastosować podejście oparte na minimalizacji przyjętej funkcji celu, co w praktyce sprowadza się do iteracyjnego rozwiązy- wania zagadnień analizy ze zmodyfikowanym kształtem brzegu.
Rozwiązanie numeryczne zagadnienia analizy może być otrzymane na podstawie istniejących metod kompu- terowych stosowanych do rozwiązywania zagadnień brzegowych mechaniki, np. metody elementów skończo- nych (MES) [3]. Inną metodą predysponowaną do roz- wiązywania zagadnień analizy z ruchomym brzegiem jest metoda elementów brzegowych (MEB), w której uwzględnienie kształtu opiera się na dyskretyzacji wy- łącznie brzegu obszaru [4,5]. Metody te nie spełniają wymogu prostoty definiowania i modyfikacji obszaru (lub brzegu), co jest szczególnie ważne w przypadku problemów dotyczących optymalizacji czy identyfikacji kształtu. Takie uwarunkowanie MES i MEB powoduje gwałtowny wzrost liczby zmiennych projektowych utożsamianych z węzłami siatki elementowej. Stąd też obecne w literaturze próby globalnego opisu obszarów, np. w sposób parametryczny w zagadnieniach odwrot- nych. Taki opis dotyczy jedynie wstępnego zamodelowa- nia obszarów w sposób parametryczny. Następnie dla takiego opisu brzegu przeprowadzana jest już właściwa dla metod elementowych klasyczna dyskretyzacja w oparciu o elementy skończone [6] lub brzegowe [7,8].
W związku z tym faktem celowym jest poszukiwanie alternatywnego i bardziej efektywnego sposobu opisu kształtu identyfikowanego brzegu, co jest przedmiotem niniejszej pracy. W prezentowanym w pracy podejściu identyfikowany brzeg został wykreowany za pomocą popularnych w grafice komputerowej płaskich i krzywo- liniowych parametrycznych płatów powierzchni. Jedno- cześnie poprzez bezpośrednie wkomponowanie płatów w wykorzystany do rozwiązywania zagadnień analizy aparat matematyczny parametrycznych układów równań całkowych (PURC) uniknięto konieczności dyskretyzacji tak wykreowanego brzegu. Wykreowany w oparciu o parametryczne płaty powierzchni brzeg nie jest już w żaden sposób dzielony na jakiekolwiek elementy, lecz w takiej formie bezpośrednio użyty w trakcie rozwiązy- wania zagadnienia analizy. W praktyce deklaracja brzegu reprezentowanego płatami powierzchni sprowa- dza się do zadania współrzędnych punktów kontrolnych, a ich liczba zależy od złożoności kształtu rozpatrywane- go brzegu. Procesem bardzo prostym okazuje się w takim przypadku modyfikacja jego kształtu sprowa- dzająca się do zmiany położenia wybranego lub wybra- nych punktów kontrolnych. Możliwe jest zatem sprowa- dzenie informacji o identyfikowanym kształcie brzegu do określenia położenia punktów kontrolnych. Pozwala to wydatnie zmniejszyć zbiór identyfikowanych danych, przy jednoczesnej dużej swobodzie zmiany kształtu brzegu. Takie podejście wykorzystano w prezentowanych
w pracy badaniach dotyczących identyfikacji nieznanego fragmentu brzegu.
Rozwiązywanie zagadnienia identyfikacji sprowadzo- no do wielokrotnego rozwiązywania zagadnień analizy za pomocą PURC z modyfikowanym kształtem brzegu reprezentowanym płatami powierzchni. Przyjęte podej- ście generuje wiele alternatywnych rozwiązań problemu, spośród których należy wyłonić te, które na podstawie wprowadzonych kryteriów oceny można uznać za roz- wiązania poszukiwane. Z racji powstałej w ten sposób konieczności przeszukiwania dużych przestrzeni rozwią- zań zadanie sterowania procesem identyfikacji oparto na algorytmie genetycznym, który steruje położeniem punktów kontrolnych w celu odtworzenia optymalnej nieznanej części brzegu.
2. MODELOWANIE
I MODYFIKACJA BRZEGU PŁATAMI POWIERZCHNI W PURC
Zastosowanie PURC pozwala na uproszczenie sposo- bu modelowania kształtu brzegu w rozwiązywanych zagadnieniach brzegowych w porównaniu z tradycyjną MEB. Związane jest ono z wyeliminowaniem konieczno- ści podziału brzegu na elementy w trakcie rozwiązywa- nia zagadnienia brzegowego za pomocą PURC. Kształt brzegu w PURC w przypadku zagadnień przestrzennych jest matematycznie opisywany za pomocą parametrycz- nych płatów powierzchni, które w praktyce są definio- wane za pomocą punktów kontrolnych. W rozważaniach wykorzystano biliniowe płaty Coonsa oraz bikubiczne płaty Béziera. Punkty kontrolne określające kształt płatów są bezpośrednio uwzględnione w ich formule matematycznej.
Kształt prostokątnego biliniowego płata powierzchni Coonsa jest określony przez 4 punkty kontrolne , , , usytuowane w narożach płata. Położenie dowolnego punktu na płacie Coonsa jest uzależnione od dwóch parametrów 0 , 1 zgodnie z następującą zależnością [9]
, 1 1 . (1)
Z kolei kształt prostokątnego bikubicznego płata Bé- ziera określa tablica 16 punktów kontrolnych ,…, . Położenie punktu na płacie Béziera podobnie jak dla płata Coonsa zależy od parametrów 0 , 1 i określane jest formułą [9]
,
1 ! "
1
", (2)
gdzie #
1 3
0 3 3 1
0 0 6 3
0 0 3 3
0 1
&.
Na rys. 1a przedstawiono obszar ograniczony brze- giem zamodelowanym po połączeniu 6 płatów po- wierzchni.
a)
b)
Rys. 1. Reprezentacja brzegu 6 płatami powierzchni w PURC (a), modyfikacja jego kształtu po przesunięciu punktu
kontrolnego ! (b)
Pięć z nich reprezentuje prostokątne biliniowe płaty Coonsa. Natomiast górny fragment obszaru modelowana jest bikubicznym płatem Béziera zdefiniowanym za pomocą 16 punktów kontrolnych. Pełna deklaracja powyższego kształtu brzegu w PURC ograniczyła się do zadania jedynie 20 punktów kontrolnych.
W przypadku tradycyjnej MEB należy dokonać po- działu brzegu rozpatrywanego obszaru na elementy brzegowe. Na rys. 2a przedstawiono modelowanie analo- gicznego kształtu brzegu w MEB za pomocą 360 trój-
kątnych elementów brzegowych (w tym 200 elementów dla fragmentu krzywoliniowego).
a)
b)
Rys. 2. Definiowanie analogicznego kształtu brzegu przy pomocy 360 elementów brzegowych (a) i jego modyfikacja po
redefinicji 114 elementów brzegowych (b)
Liczba wprowadzonych elementów brzegowych jest wielokrotnie większa w porównaniu z 6 płatami po- wierzchni opisujących taki brzeg w PURC. Wprowadze- nie punktów kontrolnych w PURC upraszcza zarazem sposób modyfikacji kształtu brzegu w porównaniu z jego opisem przy pomocy elementów brzegowych. Przedsta- wiony na rys. 1b kształt brzegu uzyskano po przesunię- ciu tylko jednego punktu kontrolnego !, który na rysunku jest niewidoczny, ponieważ fizycznie znalazł się on wewnątrz obszaru. Analogiczna modyfikacja kształtu brzegu w przypadku MEB (rys. 2b) wymagała redefinicji 114 elementów brzegowych.
2.1. PARAMETRYCZNE UKŁADY RÓWNAŃ CAŁKOWYCH
DLA RÓWNAŃ NAVIERA-LAMÉGO
Określony płatami powierzchni brzeg jest jednocze- śnie bezpośrednio uwzględniony w matematycznej formule PURC zapisywanej w następującej postaci [10]
0.5() , ∑ + + ,-.12 )/0 1234 52 5234
6/7 , , , 8/ ,
.)/0 , , , (/ , 9:/ , ; ; , (3) przy czym
)< = = ), )< = = ),
/< /, /< /, > 1,2,3,…, @.
Funkcje -.)/0 , , , ,.)/0 , , , w (3) dla rozpatrywanych ośrodków liniowo sprężystych modelo- wanych równaniami Naviera-Lamégo przedstawiane są w postaci:
-.)/0 , , , C <B DEAB FG G G
G G G
G G G H, (4)
gdzie
G 3 4J KEE4LL ,G EE4ELL ,G E4EELM , G EELEL4 , G 3 4J KEELLL ,G EELELM, G EEMEL4 , G EMEELL , G 3 4J KEEMLL , natomiast
.)/0 , , , C <B E< LFN N N
N N N
N N N H, (5)
gdzie
N 1 2J K 3EE4LL OEO6, N 3EE4ELLOE
O6 1 2J E4EL<EE LE4, N 3EE4ELMOEO6 1 2J E4EM<EE ME4, N 3EELEL4OEO6 1 2J ELE4<EE 4EL, N 1 2J K 3EELLL OEO6,
N 3EELELMOE
O6 1 2J ELEM<EE MEL, N 3EEMEL4OE
O6 1 2J EME4<EE 4EM, N 3EEMELLOEO6 1 2J EMEL<EE LEM, N 1 2J K 3EEMLL OEO6.
Bezpośrednie wkomponowanie płatów w funkcjach (4,5) realizowane jest za pośrednictwem następującego przypisania
P N/ , N) , , (6)
P N/ , N) , ,
P N/ , N) , ,
P QP K P K P ,
gdzie NR , określają przebieg płatów powierzchni Coonsa lub Béziera reprezentowanych przez funkcje (1) lub (2) w rozbiciu na składowe S 1,2,3.
W celu rozwiązania PURC należało określić postać funkcji brzegowych (/ , , 8/ , z formuły (3) wyrażających w interpretacji fizycznej przemieszczenia oraz siły powierzchniowe na brzegu. Przyjęto, że funkcje brzegowe zostaną określone na każdym formujących brzeg płatów powierzchni w formie szeregów z funkcjami bazowymi Czebyszewa. Ich postać zamieszczono w [11].
W takim przypadku poprawa dokładności rozwiązań sprowadza się do wzrostu liczby wyrazów w tych szere- gach bez jakiejkolwiek ingerencji w uformowany płatami powierzchni brzeg.
W przypadku MEB poprawa dokładności rozwiązań realizowana jest w wyniku podziału brzegu na większą liczbę elementów brzegowych lub wprowadzenia elemen- tów wyższego rzędu. Zastosowanie MEB do zagadnień identyfikacji kształtu powoduje wzrost liczby identyfi- kowanych zmiennych utożsamianych z węzłami siatki elementowej.
Po rozwiązaniu (3) otrzymano rozwiązanie zagadnie- nia brzegowego tylko na jego brzegu. W celu znalezienia wartości pola przemieszczeń w obszarze skorzystano z następującej tożsamości całkowej
( T ∑ + + ,-U.12 )/0 1234 52 5234
6/7 T, , 8/ , (7)
U.)/0 T, , (/ , 9:/ , ; ; .
Wykorzystuje ona otrzymane uprzednio rozwiązanie na brzegu w PURC przedstawione w postaci szeregów (/ , ,8/ , . Funkcje podcałkowe -U.)/0(T, , ), U.)/0(T, , ) w (7) są wizualnie bardzo podobne do funk- cji (4,5). Różnica polega na tym, że w funkcjach (7) poza płatami powierzchni definiującymi geometrię brzegu występują współrzędne punktu w obszarze T ,V ,V ,V 9, w którym interesuje nas rozwiązanie. Ich pełną postać przedstawiono w [10].
3. IDENTYFIKACJA KSZTAŁTU BRZEGU Z WYKORZYSTANIEM ALGORYTMÓW
GENETYCZNYCH
Uwidocznione powyżej zalety modelowania i modyfi- kacji brzegu określonego płatami powierzchni wydają się szczególnie istotne w zastosowaniu do poruszanych w pracy zagadnień identyfikacji kształtu. Zadanie iden- tyfikacji sprowadzono do poszukiwania takiego kształtu brzegu określonego zbiorem punktów kontrolnych W (X 1, …, Y, gdzie Y jest globalną liczbą punktów kon- trolnych) składowych płatów powierzchni, aby prze- mieszczenia ( TZ, W uzyskane za pomocą (7) w [ punktach TZ obszaru były jak najbardziej zbliżone do wartości wzorcowych (\ TZ, W . Wartości wzorcowe uzyskano w wyniku symulacji numerycznej dla znanego
kształtu brzegu. Został on uformowany tym samym zbiorem płatów powierzchni i przy znanym położeniu wszystkich punktów kontrolnych W. Rozwiązanie za- gadnienia sprowadza się do minimalizacji funkcji celu zdefiniowanej jako
] Q∑^ ( TZ, W (\ TZ, W
_7 . (8)
We wszystkich przypadkach analizowany proces identyfikacji odbywał się bez wprowadzania dodatko- wych zaburzeń wartości (\ TZ, W .
Minimalizację funkcji (8) przeprowadzono z wyko- rzystaniem AG. W ramach przestawionych testów zastosowano AG bazujący na klasycznym schemacie Goldberga i zaimplementowany w bibliotece C++ GAlib [12]. Jest on reprezentowany w wykorzystanej bibliotece przez wbudowaną klasę GASimpleGA. W fazie dostoso- wania AG do sterowania procesem identyfikacji należało wybrać:
Strukturę chromosomu. W prezentowanym podejściu reprezentuje on współrzędne identyfikowanych punktów kontrolnych W. Zostały one zakodowane w postaci binarnej przy wykorzystaniu dostępnej w bibliotece klasy GABin2DecPhenotype. Metody tej klasy pozwalają na łatwe dostosowanie binarnej struktury chromosomu do aktualnej liczby identyfikowanych współrzędnych punktów kontrolnych, wyboru szerokości przedziału poszukiwań identyfikowanych współrzędnych oraz liczby bitów, na których są kodowane. W testach przyjęto kodowanie każdej z identyfikowany współrzędnych na 16 bitach.
Funkcję przystosowania. Miarę dopasowania po- szczególnych osobników w populacji określono na pod- stawie funkcji celu (8). Zgodnie ze schematem Goldberga w każdej kolejnej iteracji generowana jest nowa popula- cja osobników na podstawie oceny funkcji przystosowa- nia przy wykorzystaniu klasycznej selekcji ruletki oraz zastosowaniu operatorów krzyżowania i mutacji.
Parametry AG. W testach przyjęto następujące pa- rametry AG: liczba osobników - 30, prawdopodobień- stwo krzyżowania - 60%, prawdopodobieństwo mutacji – 3%. Określenie współrzędnych identyfikowanych punk- tów kontrolnych odbywało się na podstawie uśrednienia wyników uzyskanych dla 3 niezależnych wywołań AG.
W ramach testów przyjęto warunek stopu AG realizo- wany po wykonaniu 50 iteracji w każdej próbie.
4. PRZYKŁADY TESTOWE
Założenia i efektywność zaproponowanego podejścia przetestowano w ramach badań symulacyjnych.
W przykładzie pierwszym rozpatrywano identyfikację kształtu dla brzegu zbudowanego wyłącznie z bilinio- wych płatów Coonsa. W przykładzie drugim powrócono do zaprezentowanego już na rys. 1 kształtu, w przypad- ku którego testowano identyfikację krzywoliniowego fragmentu brzegu reprezentowanego bikubicznym pła- tem Béziera.
4.1. PRZYKŁAD 1
Rozpatrywano brzeg określony 14 płatami Coonsa, który został przedstawiony na rys. 3a. W badaniach testowych, założono pełną początkową znajomość za- równo kształtu brzegu określonego poprzez 16 punktów kontrolnych , …, , jak również zadanych warunków brzegowych przedstawionych na rys. 3b. Przy pełnej informacji o brzegu uzyskano za pomocą PURC wartości przemieszczeń w 9 punktach pomiarowych TZ w obsza- rze oznaczonych na rys. 3b przez „×”. Następnie, frag- ment brzegu określony punktami , , , potrak- towano jako nieznany i poddano procesowi identyfikacji.
a)
b)
Rys. 3. Identyfikowany kształt brzegu w widoku 3D (a) oraz rzucie górnej podstawy (b) z zaznaczonymi warunkami brze- gowymi, przedziałem przeszukiwań punktów kontrolnych oraz
usytuowaniem punktów pomiarowych TZ w obszarze W ramach testów przyjęto symetrię identyfikowane- go brzegu względem płaszczyzny 0V V , co prowadzi określenia wartości zmiennych określonych jako V ,V i wchodzących w skład współrzędnych identyfikowanych punktów V ,V ,5 , V ,V ,5 , V ,V ,0 , V ,V ,0 . Przedział przeszukiwań określono odpo- wiednio na 2.8 V 7.2 oraz 4.2 V 8.6 . Wyniki identyfikacji przedstawiono w tabeli 1.
Tab. 1. Rezultaty identyfikacji w zależności od przyjętych wartości V , V dla identyfikowanych punktów kontrolnych
, , ,
Założone wartości V , V
Średnia wartość funkcji celu (8)
Zidentyfikowane współrzędne V , V
Wartość średnia
Wartość najlepsza
5.0, 6.0 0.0134 5.0361, 5.9547 5.0188, 5.9797 5.5, 6.5 0.0151 5.4799, 6.5242 5.4861, 6.5153
W ramach testów rozpatrywano dwa warianty kształtu brzegu utożsamianego ze znanym położeniem identyfikowanych współrzędnych punktów odpowiednio dla V 5.0, V 6.0 oraz V 5.5, V 6.5. Wartości te stały się podstawą odtworzenia współrzędnych V ,V na podstawie minimalizacji funkcji (8) z użyciem AG.
Uśrednione wartości funkcji celu oraz współrzędnych zidentyfikowanych punktów wskazują na zbieżność i dokładność procesu identyfikacji.
4.2. PRZYKŁAD 2
W kolejnym przykładzie powrócono do brzegu przed- stawionego na rys. 1 modelowanego za pomocą 5 bili- niowych płatów prostokątnych Coonsa oraz jednego bikubicznego płata Béziera. Celem identyfikacji jest znalezienie kształtu fragmentu brzegu, modelowanego płatem Béziera, poprzez ustalenie położenia składowej V dla dwóch centralnych punktów kontrolnych , !
płata przy znanych wartościach pola przemieszczeń w 9 równomiernie rozmieszczonych punktach pomiarowych TZ w obszarze. Przykładową modyfikację kształtu powierzchni w wyniku przesunięcia punktu kontrolnego
! pokazano już wcześniej na rys 1b.
Rys. 4. Identyfikowany kształt brzegu wraz z zadanymi warun- kami brzegowymi
Analizowano dwa różne warianty docelowego kształ- tu brzegu utożsamiane z przyjętym początkowym położeniem identyfikowanych punktów , ! dla obszaru przeszukiwań zawężonego do detekcji współ- rzędnej V tych punktów kontrolnych (w przedziale 0.1 V 2.9). Założone oraz zidentyfikowane współ- rzędne V punktów kontrolnych, jak również parametry AG przedstawiono w tabeli 2.
Tab. 2. Rezultaty identyfikacji w zależności od założonych współrzędnych identyfikowanych punktów kontrolnych Założone
wartości V dla punktów
, !
Średnia wartość funkcji celu (8)
Zidentyfikowane współrzędne V punktów , !
Wartość średnia
Wartość najlepsza
1.25, 1.5 0.0028 1.2491, 1.5004 1.2491, 1.5001 1.5, 2.0 0.0015 1.4995, 2.0007 1.4999, 2.0006
Zidentyfikowane wartości punktów kontrolnych po- krywają się z założonym położeniem współrzędnych wzorcowych.
5. WNIOSKI
Praca przedstawia połączenie PURC oraz algoryt- mów genetycznych do identyfikacji nieznanej części brzegu w odwrotnych zagadnieniach brzegowych opisy- wanych równaniem Naviera-Lamégo. Postawione zada- nie sprowadzono do wyboru z sekwencji takiego kształtu brzegu, dla którego zdefiniowana funkcja celu osiąga minimum. Algorytm genetyczny steruje wielokrotnym rozwiązywaniem zagadnienia brzegowego za pomocą PURC, wyznaczając pole pomieszczeń dla każdego zmodyfikowanego kształtu brzegu. Ważną zaletą strate- gii jest to, że modyfikacja kształtu brzegu fizycznie odbywa się po przesunięciu punktów kontrolnych, a PURC automatycznie dostosowuje się do zmodyfikowa- nego kształtu brzegu.
Zastosowanie AG, w porównaniu z algorytmami kla- sycznymi, posiada duży potencjał rozwoju, szczególnie w wyborze bardziej zaawansowanych schematów AG, czy też w dalszej kolejności wyboru algorytmów ewolucyj- nych.
Praca finansowana ze środków na naukę w latach 2010- 2013 jako projekt badawczy.
Literatura
1. Tikhonov A.N., Arsenin V.Y.: Solution of Ill-posed problems. New York: John Wiley & Sons, 1977.
2. Liu G.R., Han X.: Computational inverse techniques in non-destructive evaluation. London: CRC Press, 2003.
3. Annicchiarico W., Cerrolaza M.: Structural shape optimization 3D finite-element models based on genetic algo- rithms and geometric modeling. “Finite Elements in Analysis and Design” 2001, 5 Vol. 37, p. 403 - 415.
4. Burczyński, T.; Beluch, W.: The identification of cracks using boundary elements and evolutionary algorithms.
“Engineering Analysis with Boundary Elements” 2001, 4-5 Vol. 25, p. 313 - 322.
5. Burczyński T., Beluch W., Długosz A., Kokot G., Kuś W., Orantek P.: Evolutionary BEM computation in shape optimization problems. In: IUTAM/IACM/IABEM Symposium on Advanced Mathematical and Computational Mechanics Aspects of the Boundary Element Method”. Dortrecht: Kluwer Academic Publishers, 2001, p. 37 - 49.
6. Annicchiarico W., Cerrolaza M.: Structural shape optimization 3D finite-element models based on genetic algo- rithms and geometric modeling. “Finite Elements in Analysis and Design” 2001, 5 Vol. 37, p. 403 - 415.
7. Annicchiarico W., Martinez G., Cerrolaza, M.: Boundary elements and -spline surface modeling for medical applications. “Applied Mathematical Modelling” 2007, 2 Vol. 31, p. 194 - 208.
8. Mera N.S., Lesnic D.: A three-dimensional boundary determination problem in potential corrosion damage.
“Computational Mechanics” 2005, 2 Vol. 36, p. 129 - 138.
9. Farin G.: Curves and surfaces for computer aided geometric design: a practical guide. New York: Academic Press, 1990.
10. Zieniuk E., Bołtuć A., Szerszeń K.: Modeling complex homogeneous regions using surface patches and reliability verification for Navier-Lame boundary problems. In: Proceedings of the 2012 International Conference on Scien- tific Computing, Las Vegas, USA, p. 166 - 172.
11. Zieniuk E., Szerszeń K.: Analiza wpływu rozmieszczenia i liczby punktów kolokacji na dokładność metody PURC dla zagadnień teorii sprężystości w obszarach wielościennych 3D. “Modelowanie Inżynierskie” 2013, nr 46, t. 15, s. 127 - 133.
12. Wall M.: GAlib: A C++ library of genetic algorithm components. Version 2.4. Mechanical Engineering Depart- ment, Massachusetts Institute of Technology, 1996.
