Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna 14. Estymacja punktowa
Ćw. 14.1 W celu oszacowania wartości przeciętnego czasu bezawaryjnej pracy maszyny z partii tych maszyn wybrano losowo 7 maszyn i mierzono czas ich pracy do pierwszej awarii. Uszkodzenia wystąpiły w chwilach: 51, 115, 150, 190, 217, 228, 351. Wiedząc, że czas bezawaryjnej pracy maszyny ma rozkład wykładniczy E(λ) znaleźć ocenę wartości przeciętnego czasu bezawaryjnej pracy oraz oszacować parametr λ.
Ćw. 14.2 W celu wyznaczenia dokładności przyrządu pomiarowego dokonano 8 niezależ- nych pomiarów pewnej stałej wielkości uzyskując rezultaty: 171, 175, 182, 178, 173, 180, 179, 174. Wyznaczyć ocenę wariancji błędów tego przyrządu, jeśli
a) wartość mierzonej wielkości jest znana i równa 176, b) wartość mierzonej wielkości nie jest znana.
Ćw. 14.3 Niech X1, . . . , Xn będzie próbą z rozkładu wykładniczego E(λ). Pokaż, że sta- tystyka
T = 1 2n
n
X
i=1
Xi2
jest nieobciążonym estymatorem wariancji rozkładu wykładniczego E(λ).
Ćw. 14.4 Niech ˆθn : Rn → [0, 1],
θˆn(x1, . . . , xn) = n −Pni=11I{m}(xi) n
będzie estymatorem parametru θ = 1 − pm rozkładu dwumianowego B(m, p).
a) Sprawdzić, czy ˆθn jest zgodnym estymatorem parametru θ.
b) Pokazać, że ryzyko kwadratowe estymatora 1 − ˆθn w punkcie θ jest równe
1
npm(1 − pm).
Ćw. 14.5 Niech X1, . . . , Xn będzie próbą prostą z rozkładu jednostajnego U (a, a + 1).
Sprawdź, czy estymator
T = 1 n
n
X
i=1
Xi− 1 2
jest nieobciążonym estymatorem parametru a i znajdź ryzyko tego estymatora w punk- cie a.
Ćw. 14.6 Niech X1, . . . , Xnbędzie próbą prostą z rozkładu wykładniczego E(λ). Pokazać, że estymator
T = nX(1) parametru 1/λ jest nieobciążony, ale nie jest zgodny.
Ćw. 14.7 Niech X1, . . . , Xnbędzie próbą prostą z rozkładu Poissona P (λ). Czy estymator
T = n − 1 n
1 − a n
Pn i=1Xi
, a 6= 0,
funkcji f (λ) = exp(−aλ) jest asymptotycznie nieobciążony?
Ćw. 14.8 Pokazać, że ciąg {ˆθn}, gdzie
θˆn: (0, ∞)n→ (0, ∞), θˆn(x1, . . . , xn) = exp
− 1
¯ xn
,
jest mocno zgodnym ciągiem estymatorów parametru θ = P (X > 1) zmiennej losowej o rozkładzie wykładniczym.
Ćw. 14.9 Niech X1, . . . , Xn będzie próbą prostą z rozkładu o gęstości f (x) = 12(1 + θx)1I(−1,1)(x),
gdzie θ ∈ (−1, 1) nie jest znane. Wyznaczyć zgodny estymator parametru θ.
