12. Przestrzenie funkcji caªkowalnych  zadania do samodzielnego rozwi¡zania

12. Przestrzenie funkcji caªkowalnych  zadania do samodzielnego rozwi¡zania

Zad. 12.1 Obliczy¢ normy L^∞ oraz Lp, p ≥ 1, dla funkcji f : ([0, 1], B[0,1]) → R danych przez

1. 1Q, 2. sin(2πx), 3. |x − 1/2|.

Zad. 12.2 Policzy¢ iloczyny skalarne w L2([0, 1], B_[0,1], l_[0,1]) : 1. h1A, 1_Bi,dla A, B ∈ B[0,1],

2. hx − 1/2, |x − 1/2|i.

Zad. 12.3 (*) Pokaza¢ »e »adna z przestrzeni Lp(R, BR, l), Lq(R, BR, l), 1 ≤ p < q < ∞, nie zawiera si¦ w drugiej.

Zad. 12.4 Sprawdzi¢ ortogonalno±¢ poni»szych par funkcji w sensie iloczynu skalarnego w L2([0, 1], B_[0,1], l_[0,1])

1. f(x) = e^2iπnx, g(x) = e^2iπmx, k, m ∈ N, k 6= m;

2. f(x) = sin(2kπx), g(x) = sin(2mπx), k, m ∈ N, k 6= m.

Zad. 12.5 Liczby nieujemne x1, . . . , x_n speªniaj¡ warunek x1+ . . . + x_n= 1. Korzystaj¡c z nierówno±ci Schwarza na przestrzeni L²(R, B, µ), gdzie µ =

n

P

k=1

δ_xk, udowodnij

nierówno±¢ _n

X

i=1

px_i(1 − x_i) ≤√ n − 1.

Zad. 12.6 Udowodnij nierówno±¢

Z ∞ 1

1 x√

1 + x² ≤

√π 2 .