• Nie Znaleziono Wyników

Procesy stochastyczne 2. Martyngały — zadania do samodzielnego rozwiązania

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Procesy stochastyczne 2. Martyngały — zadania do samodzielnego rozwiązania"

Copied!
1
0
0

Pełen tekst

(1)

Procesy stochastyczne

2. Martyngały — zadania do samodzielnego rozwiązania

Zad. 2.1 Wykaż, że

1. jeżeli ciąg {(Xn, Fn)}n∈N jest nieujemnym martyngałem, to ciąg {(√

Xn, Fn)}n∈N jest nadmartyngałem,

2. jeżeli ciąg {(Xn, Fn)}n∈N jest martyngałem całkowalnym w p-tej potędze, to ciąg {(|Xn|p, Fn)}n∈N, gdzie p ­ 1, jest podmartyngałem,

3. jeżeli ciąg {(Xn, Fn)}n∈N jest martyngałem, to ciąg {(Xn∨ a, Fn)}n∈N, gdzie a ∈ R, jest podmartyngałem.

Zad. 2.2 (J. S., Zad. 1 str. 235) Niech Z0, Z1, Z2, . . . będą niezależnymi zmiennymi losowy- mi o tym samym rozkładzie i zerowej średniej. Niech Fn = σ(Z0, Z1, . . . , Zn), X0 = Z0 i Xn=Pnk=1Zk−1Zk. Udowodnij, że ciąg {(Xn, Fn)}n∈N∪{0} jest martyngałem.

Zad. 2.3 (K., Ex. 50.1 p. 255) Niech X1, X2, . . . będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jed- nakowym rozkładzie N (0, 1), Sn = Pni=1Xi, a Fn = σ(X1, . . . , Xn). Wykaż, że Sn, Sn2 − n, Sn3− 3nSn są martyngałami względem filtracji {Fn}n∈N.

Zad. 2.4 (B. M. P., Ex. 3.1 p. 34) Niech {(Xn, Fn)}n∈N będzie nadmartyngałem, dla którego EXn = c (c ∈ R) dla każdego n ∈ N. Udowodnij, że {(Xn, Fn)}n∈N jest martyngałem.

Zad. 2.5 (S., Ex.5.22(6) p. 221) Niech X1, X2, . . . będzie ciągiem niezależnych zmiennych loso- wych o jednakowym rozkładzie z funkcją tworzącą momenty M (t) = EetX1 < ∞. Niech Sn = Pnk=1Xk. Wykaż, że ciąg Mn = etSn(M (t))−n jest martyngałem względem filtracji Fn= σ(S1, . . . , Sn).

Zad. 2.6 (S. Ex. 5.26 p. 224) Trzej gracze, posiadający odpowiednio a, b i c żetonów, grają w następującą grę. W każdej partii gry losuje się dwóch graczy, a następnie jeden z nich, wybrany znów losowo, daje drugiemu 1 żeton. Gra jest kontynuowana do momentu, gdy jednemu z graczy zabraknie żetonów. Niech Xn, Yn, Zn oznaczają liczby żetonów będące w posiadaniu każdego z graczy po n-tej partii. Pokaż, że ciąg

Mn = XnYnZn+1

3n(a + b + c)

jest martyngałem względem filtracji {Fn}n∈N, gdzie Fn = σ({X1, Y1, Z1, . . . , Xn, Yn, Zn}).

Zad. 2.7 (S. Ex. 5.26(3) p. 224) Trzej gracze, posiadający odpowiednio a, b i c żetonów, grają w następującą grę. W każdej partii gry jeden z nich, wybrany losowo, otrzymuje od graczy będących jeszcze w grze po jednym żetonie. Niech Xn, Yn, Zn oznaczają liczby żetonów będące w posiadaniu każdego z graczy po n-tej partii, Fn= σ({X1, Y1, Z1, . . . , Xn, Yn, Zn}).

Pokaż, że ciągi

Mn = XnYnZn+ n(a + b + c − 2), Vn= XnYn+ YnZn+ ZnXn+ 3n

są martyngałami, przy założeniu, że gra jest kontynuowana do momentu, gdy jednemu z gra- czy zabraknie żetonów. Pokaż, że w przypadku, gdy gra jest kontynuowana do momentu, gdy jeden graczy zdobędzie wszystkie żetony, ciąg

Un= Vn 2Mn a + b + c − 2 jest martyngałem.

Zad. 2.8 Niech X1 ma rozkład jednostajny na [0, 1]. Definiujemy ciąg {Xn}n∈N następująco: jeśli X1 = x1, . . . , Xn−1 = xn−1, to Xnjest zmienną losową o rozkładzie jednostajnym na [0, xn−1].

Wykaż, że ciąg {Xn}n∈N jest nadmartyngałem i oblicz limn→∞EXn.

Cytaty

Powiązane dokumenty

Zbadać zbieżność ciągu (a n ) określonego podanym wzorem; obliczyć granice ciągów zbieżnych, rozstrzygnąć czy ciągi rozbieżne mają granicę niewłaściwą.. 165.. Zadania

Załóżmy, że liczba log 2 3 jest wymierna i niech m/n będzie jej przedstawieniem w postaci ilorazu liczb naturalnych (zauważmy, że jest to liczba dodatnia).. Otrzymana

Wyznacz rozkład stacjonarny tego łańcucha oraz znajdź średnią częstość przebywania łańcucha w każdym z

Procesy z czasem ciągłym — zadania do samodzielnego

Zad. 310) Wykaż, że jeśli W jest procesem Wienera, to procesami Wienera są

Zad. 373) Niech W będzie procesem Wienera. 310) Wykaż, że jeśli W jest procesem Wienera, to procesami Wienera są

Dla każdej funkcji z poprzedniego zadania napisz tożsamość Parse-

1.3 Opisz algebrę i σ-algebrę podzbiorów N generowane przez wszystkie zbiory jed-