Zestaw zadań z analizy matematycznej dla IFT i IF
3. Ciągi liczbowe
1. Znaleźć wzór ogólny ciągu na podstawie wartości kilku wyrazów początkowych a)
( ) (
an = 7,3,−1,−5,...)
;b)
( ) (
bn = 8,12,18,27,...)
; c)( ) (
cn = 1,0,1,0,...)
.2. Zbadać, czy podane ciągi są ograniczone
a) 3 2
3 +
= n n
an ;
b) bn =1000− n;
c) cn =
(
−n)
n; d) dn =4 n4+4.3. Zbadać, czy podane ciągi są monotoniczne od pewnego miejsca a) an n1
= ; b) bn =n2;
c) = +1 n cn n ;
d) dn n
cos2π
= .
4. Obliczyć granice ciągów
a) n n
n n
n 4 3
2 lim3
−
−
∞
→ ;
b) 6
4 6
10 5
2 3 lim5
n n n
n −
+
−
∞
→ ;
c) n
n
n 3 2
lim +1
∞
→ ;
d)
( )
(
1)
log 1 limlog
3 2
+ +
∞
→ n
n
n ;
e) lim
(
2+ −4 4+1)
∞
→ n n n
n ;
f)
( ) ( )
(
2 1)
! 1! 1 2 lim 1
2
+ +
− +
∞
→ n
n n
n ;
g)
(
n n)
n + −
∞
→ 4 4
16
lim ;
h)
+ + −
∞
→ n n n
nlim 6 1 ;
i)
( )
n n
n 2 4 ... 2
1 2 ...
3 lim1
+ + +
− + + +
∞
→ ;
j)
n n
n
3 ... 1 3
1 3 1 1
2 ... 1 2
1 2 1 1 lim
2 2
+ + + +
+ + + +
∞
→ .
5. Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach znaleźć granice
a) 3 1
4 limsin
2
− +
∞
→ n
n n
n ;
b) n n n n
nlim 3 +4 +5
∞
→ ;
c) n
n n 3
lim +
∞
→ ;
d) limn2 1
n n +
∞
→ ;
e) 3 1
sin lim2
+
∞
→ n
n
n
n;
f)
+ + + +
+ +
∞
→ n n n n
n 2 2 2
... 1 2 1 1
lim 1 ;
g) n
n n n2 n3 n4
4 3 2
lim 1 + + +
∞
→ .
6. Korzystając z definicji liczby e oraz z twierdzenia o granicy podciągu obliczyć granice a)
n
n n
6
3 2 1 1
lim
+ +
∞
→ ; b)
n
n n
−
∞
→ 2
1 1
lim ;
c)
n
n n
+
∞
→ 2
1 1
lim ;
d)
n
n n
n
+
∞
→ 4 1
lim 4 ;
e)
n
n n
n 15 1 5
2
lim 5
+ +
∞
→ ;
f)
2
1 3
1 lim
−
∞
→
+
n
n n .
7. Korzystając z twierdzenia o dwóch ciągach znaleźć podane granice a)
[
n( )
nn]
n 1
lim 4+ −
∞
→ ;
b) n n
n
n sin
lim 1
2
−
−
∞
→ ;
c)
[
n( )
n]
n 3 2
lim + −
∞
→ ;
d) lim3 sinn n
n −
∞
→ ;
e) n n
n n
n 5 3
5 lim7
+ +
∞
→ ;
f) lim
[ (
sinn 2)
n2]
n −
∞
→ .