Analiza wyboczenia MES

Analiza wyboczenia MES

Jerzy Pamin i Marek Słoński e-mails: {JPamin,MSlonski}@L5.pk.edu.pl

Podziękowania:

M. Radwańska, A. Wosatko

ANSYS, Inc. http://www.ansys.com ROBOT http://www.autodesk.com

Zjawisko wyboczenia

Założenia liniowej analizy wyboczenia:

I obciążenie jest jednoparametrowe, zmieniające się proporcjonalnie do parametru obciążenia λ

P = λP^∗

I obciążenie jest zachowawcze, tzn. nie zmienia kierunku podczas odkształcania się konstrukcji

I ustrój (pręt, tarcza, powłoka) jest idealny, bez geometrycznych, materiałowych czy obciążeniowych imperfekcji, które zaburzają idealny stan przedwyboczeniowy

Zjawisko wyboczenia c.d.

Obciążenie Pkr = λkrP^∗ to obciążenie krytyczne, po osiągnięciu którego następuje wyboczenie, gdzie przez P^∗ oznaczono tzw. obciążenie konfiguracyjne odpowiadające λ = 1.

Cechą charakterystyczną utraty stateczności przez wyboczenie jest zasadnicza zmiana formy deformacji układu konstrukcyjnego z naprężeniami ściskającymi w całym układzie lub jego części.

Źródło: E. Ramm, Buckling of Shells, Springer-Verlag, Berlin 1982

Przykłady zjawiska wyboczenia

Kryterium statyczne utraty stateczności (przez wyboczenie) polega na badaniu równowagi bliskich stanów przed- i powyboczeniowych. Zjawisko wyboczenia zostanie pokazane dla:

I pojedynczego pręta przegubowo podpartego,

I wysokiej belki wspornikowej,

I tarczy jednokierunkowo ściskanej, przegubowo podpartej na obwodzie,

I powłoki walcowej z ciśnieniem normalnym, utwierdzonej na dolnym konturze.

Wyboczenie pojedynczego pręta

Przed wyboczeniem:

pręt:

I ma prostoliniową oś,

I jest wyłącznie ściskany (nie zginany).

Po wyboczeniu:

pręt:

I ma zakrzywioną oś,

I jest ściskany i zginany.

Wyboczenie wysokiej belki wspornikowej

Przed wyboczeniem:

I belka zginana w płaszczyźnie z obciążeniem siłą prostopadłą do osi belki, przyłożoną na swobodnym końcu

X

Y

Rysunek:Przemieszczenia belki w stanie przedwyboczeniowym

Po wyboczeniu:

I następuje zwichrzenie (giętno-skrętna deformacja)

Wyboczenie wysokiej belki wspornikowej c.d.

Z X

Rysunek:Postacie wyboczenia

Wyboczenie tarczy jednokierunkowo ściskanej

Przed wyboczeniem:

mamy idealny stan tarczowy:

I tarcza o idealnej płaszczyźnie środkowej,

I obciążenie jednokierunkowo ściskające, działające idealnie w płaszczyźnie środkowej.

Po wyboczeniu:

powstaje stan giętny:

I z niezerowymi przemieszczeniami prostopadłymi do płaszczyzny środkowej,

I z krzywiznami i momentami zginającymi.

Wyboczenie tarczy jednokierunkowo ściskanej (ANSYS, [3])

Rysunek:Pierwsza i druga forma wyboczenia

Rysunek:Trzecia i czwarta forma wyboczenia

Wyboczenie powłoki walcowej

ściskanej radialnym ciśnieniem zewnętrznym

Przed wyboczeniem:

panuje w powłoce:

I stan osiowo symetryczny,

I w większości obszaru powłoki długiej stan bezmomentowy,

I w sąsiedztwie konturu utwierdzonego stan giętny.

Po wyboczeniu:

następuje zasadnicze zaburzenie osiowej symetrii:

I powstają pofalowania w kierunku obwodowym,

I liczba półfal jest różna dla kolejnych wartości mnożników krytycznych obciążenia.

Wyboczenie powłoki c.d. (ANSYS, [3])

Rysunek:Kolejne formy wyboczenia

Ogólna analiza wyboczenia [1,2]

Kryterium energetyczne wyboczenia

Kryterium energetyczne polega na analizie przyrostu energii potencjalnej Π przy przejściu od stanu przed- do powyboczeniowego. Rozważamy dwa sąsiednie stany:

I stan (I) równowagi, dla którego:

δΠ^{(I )}= 0

I stan (II) równowagi, dla którego:

δΠ^{(II )}= δΠ^{(I )}+ δ∆Π = 0

I energetyczne kryterium stanu krytycznego: δ∆Π = 0.

Algorytm analizy wyboczenia MES

Równanie macierzowe dla całego układu opisujące utratę stateczności przez wyboczenie:

[K0+ λKσ(s^∗)]v = 0 lub

{K0+ λ[Kσ(s^∗) + Ku1(g^∗)]}v = 0

gdzie:

I macierz liniowej sztywności układu K0

I macierz sztywności naprężeniowej Kσ(s^∗) oraz macierz sztywności przemieszczeniowej K_u1(g^∗)

I poszukiwany mnożnik krytyczny obciążenia λkr

I poszukiwana postać deformacji powyboczeniowej, opisana za pomocą wektora v = ∆u^g

Statyka stanu przedwyboczeniowego

Algorytm etapu I:

1. Obliczamy globalną macierz sztywności K₀

2. Obliczamy wektor węzłowych zastępników obciążenia

konfiguracyjnego P^∗, dla parametru obciążenia λ = 1, przy założeniu obciążenia jednoparametrowego P = λP^∗

3. Uwzględnieniamy kinematyczne warunki brzegowe 4. Rozwiązujemy układ równań K₀· u^∗g = P^∗, otrzymując

przemieszczenia węzłowe w stanie przedwyboczeniowym:

u^∗g = K⁻¹₀ · P^∗

5. Na podstawie przemieszczeń całego układu u^∗g i danego elementu u^∗e - obliczamy wewnątrz elementu:

I gradienty przemieszczeń g^∗e oraz

I uogólnione naprężenia s^∗e.

Analiza wyboczenia

Algorytm etapu II:

1. Generujemy:

- macierze sztywności naprężeniowej dla wszystkich elementów K^e_σ(s^∗e) i całej konstrukcji K_σ(s^∗)

- ewentualnie macierz sztywności przemieszczeniowej K_u1(g^∗) 2. Formułujemy niestandardowy (uogólniony) problem własny,

odpowiadający

problemowi zlinearyzowanemu: [K0+ λ(Kσ+ Ku1)]v = 0 lub problemowi początkowemu: [K₀+ λK_σ]v = 0 3. Rozwiązujemy problem własny, wyznaczając pary

(λ1, v1), . . ., (λN, vN) gdzie:

I N – liczba stopni swobody układu

I λi – wartość własna - parametr krytycznego obciążenia

I v_i= ∆u^g_i – wektor własny - postać powyboczeniowej deformacji

Wyboczenie idealnej tarczy – dane

I wymiary: L_x = L_y = 1.16 m, h = 0.012 m

I stałe materiałowe: E = 2.05 · 10⁸kN/m², ν = 0.3

I konfiguracyjne tarczowe obciążenie konturowe odpowiadające płaskiemu zginaniu: |px ,max ,min^∗ | = 1.0 kN/m

I dwa przypadki warunków podparcia płyty na obwodzie:

a) przegubowe podparcie (na rysunku z prawej) b) utwierdzenie (na rysunku z lewej)

Wyboczenie tarczy

Założenia:

I tarcza ma idealną płaszczyznę środkową,

I obciążenie leży idealnie w płaszczyźnie środkowej,

I obciążenie jest jednoparametrowe, zmieniające się przez parametr λ.

Analiza wyboczenia dla tarczy w stanie czystego zginania tarczowego

Rysunek:Obciążenie wywołujące stan czystego zginania tarczowego przed wyboczeniem

Obliczenia:

I numeryczne MES (ANKA i ROBOT): rozwiązania przybliżone

I analityczne: rozwiązania dokładne

Wyboczenie przy zginaniu tarczowym

Obliczenie wartości obciążenia krytycznego:

Obciążenie i deformacja w stanie przedwyboczeniowym

Rozwiązania analityczne dla tarczy:

I przegubowo podpartej: p_kr^{zg ,analit}= ^25.6·π_L2^2·Dm

x = 6077 kN/m

I utwierdzonej: p_kr^{zg ,analit}= ^39.0·π_L2^2·Dm

x = 9259 kN/m

Rozwiązania numeryczne (ANKA, siatka 8 × 8 ES) dla tarczy:

I przegubowo podpartej: p_kr^{zg ,MES}= 6028 kN/m

I utwierdzonej: p_kr^{zg ,MES}= 11304 kN/m

Rozwiązania numeryczne (ROBOT, siatka 12 × 12 ES) dla tarczy:

I przegubowo podpartej: p_kr^{zg ,MES}= 6241 kN/m

Zginanie tarczowe w stanie przedwyboczeniowym

Rysunek:Rozkład siły tarczowej nx dla tarczy przegubowo podpartej (z lewej) i utwierdzonej (z prawej)

Zginanie tarczowe,

postacie powyboczeniowe

Rysunek:Dwie pierwsze postacie powyboczeniowe dla tarczy przegubowo podpartej (ROBOT)

Zginanie tarczowe,

postacie powyboczeniowe

Rysunek:Dwie pierwsze postacie powyboczeniowe dla tarczy utwierdzonej (ROBOT)

Wyboczenie blachownicy – dane

I wymiary: L_x = L_y = 1.16 m, h_s = 0.012 m, h_p= 0.018 m

I stałe materiałowe: E = 2.05 · 10⁸kN/m², ν = 0.3

I konfiguracyjne tarczowe obciążenie konturowe:

|p_{x ,min,max}^∗ | = 1.0 kN/m

I dwa warianty analizy wyboczenia blachownicy:

wariant 1: badanie lokalnego wyboczenia środnika

wariant 2: wyboczenie dźwigara składającego się ze środnika i dwóch półek

Wariant 1: wyboczenie środnika

Lokalne wyboczenie środnika:

I wyizolowany środnik, współpracujący w rzeczywistości z półkami i żebrami, może mieć zadane różne warunki brzegowe na liniach połączenia z półkami oraz z pionowymi żebrami

I w skrajnych przypadkach można na całym obwodzie przyjąć linie:

a) przegubowo podparte b) zamocowane

I stan rzeczywisty jest stanem pośrednim

I przykłady rozwiązane poprzednio służą ilustracji wyboczenia samego środnika

Wariant 2: wyboczenie blachownicy c.d.

Analiza wyboczenia dźwigara:

I wykonując obliczenia przy użyciu programu ROBOT zbudowano model dyskretny:

dźwigara składającego się ze środnika (12 × 12) i dwu półek (4 × 12) przy obciążeniu wywołującym zginanie dźwigara

I wyniki numeryczne (ROBOT):

I p_kr^{bl ,MES}= 9068 kN/m

I porównanie wartości sił krytycznych obliczonych MES (ROBOT):

I dla wyizolowanego środnika:

- przegubowo podpartego (pp) - utwierdzonego (ut)

I całego dźwigara (bl)

p^{zg ,pp,MES} < p^{bl ,MES} < p^{zg ,ut,MES}

6241 kN/m < 9068 kN/m < 11666 kN/m

Zginanie blachownicy w stanie przedwyboczeniowym

Rysunek:Rozkład siły tarczowej nx dla blachownicy

Postacie powyboczeniowe blachownicy

Rysunek:Dwie postacie powyboczeniowe zginanej blachownicy (ROBOT)

Geometrycznie i materiałowo nieliniowa analiza [5]

Schemat strategii obliczeniowej realizowanej na wielu poziomach:

I konstrukcji

I elementu skończonego I warstwy

I punktu Uwzględnione efekty:

I śledzenie wytężenia w przekroju I zarysowanie betonu

I sprężysto-plastyczne zbrojenie I duże przemieszczenia i ich

gradienty Cele:

I wyznaczenie ewolucji przemieszczeń I określenie mechanizmu

uszkodzenia I oszacowanie nośności

Model powłoki żelbetowej

I Zdegenerowany element powłokowy 8-węzłowy (teoria Mindlina-Reissnera)

I Model warstwowy powłoki żelbetowej (5 warstw betonu, 4 warstwy stali reprezentujące 2 siatki zbrojenia)

I Model sprężysty z rozmazanym zarysowaniem dla warstwy betonu (osłabienie betonu, redukcja sztywności na ścinanie)

I Model sprężysto-plastyczny dla warstw stali

Analiza numeryczna powłoki chłodni kominowej [5]

Analiza numeryczna powłoki chłodni kominowej

Zależności λ − wK otrzymane dwoma pakietami MES przy sterowaniu siłą lub przemieszczeniem dla obciążenia g + λ(w + s)

Obciążenia chłodni:

I ciężar własny g

I wiatr w

I ssanie wewnętrzne s

I obciążenia termiczne

I osiadania podłoża

Analiza numeryczna żelbetowej powłoki

- wyniki analizy powłoki z otworem technologicznym

Deformacja Mapa warstwicowa membranowych sił południkowych

Analiza numeryczna żelbetowej powłoki

Kierunki naprężeń głównych w warstwie zewnętrznej Wizualizacja rozmazanych rys

Katastrofa World Trade Center

Katastrofa World Trade Center

Wybudowany w latach 1966-77, 110 kondygnacji o wys. ok. 3.7m, konstrukcja ramowa stalowa zgodnie z koncepcją „rura w rurze”, rdzeń 26.5×41.8m (47 słupów połączonych krótkimi belkami, przenosił 60% ciężaru własnego), rama zewnętrzna (240 słupów skrzynkowych 356x356 co 1m na obwodzie, przenosiła 40% ciężaru własnego), stropy zespolone na dźwigarach kratowych połączonych przegubowo ze rdzeniem i ramą zewnętrzną, stężenie szczytowe na kondygnacjach

Uproszczony mechanizm katastrofy WTC [6,8]

Efekt dynamiczny wysokiej tempera- tury, która obniżyła granicę plastycz- ności stali i spowodowała wyboczenie słupów w warunkach pełzania

1. Konstrukcja zostaje osłabiona, pożar paliwa powoduje wzrost temperatury do ok. 600C

2. Następuje redystrybucja naprężeń i lepkoplastyczne wyboczenie słupów na krytycznej kondygnacji

3. Kratownice stropowe się uginają, postępuje wyboczenie słupów, niszczą się węzły ram, połowa słupów przestaje przenosić ciężar części budynku powyżej

4. Część ta spada na niższy strop z rosnącą energią kinetyczną, uderzenie stanowi obciążenie dynamiczne, którego kontrukcja poniżej nie jest w stanie przenieść i zaczyna się proces zniszczenia 5. Górna część wieży stopniowo zapada się,

jej masa i energia rośnie

Szacunkowe obliczenia energetyczne dają współczynnik przeciążenia P /mg = 30 − 60.

Odpowiedź wież World Trade Center na obciążenie wyjątkowe [7]

Uproszczony model dynamiczny (110 elementow belkowych) z masami skupionymi (ciężar stropów

Wyniki dla uproszczonego modelu dynamicznego

Przemieszczenia i siły w momencie uderzenia nie przekroczyły wynikających z projektowanego obciążenia wiatrem, dlatego wieże przetrzymały początkowo obciążenie wyjątkowe.

Model MES do oceny szczegółowej zniszczeń (LS-DYNA [7])

Model strefy uderzenia i samolotu o masie 140 ton,

Model krytycznego segmentu - wyniki

Siły osiowe w słupach zewnętrznych przed i po uderzeniu Redystrybucja obciążeń pionowych po uderzeniu, zniszczonych 122/113 słupów odpowiednio dla WTC1/WTC2, granica plastyczności osiągana w pozostałych słupach, pozytywny wpływ stężeń szczytowych.

Literatura

[1] M. Radwańska. Ustroje powierzchniowe, podstawy teoretyczne oraz rozwiązania analityczne i numeryczne. Wydawnictwo PK, Kraków, 2009.

[2] Z. Waszczyszyn, C. Cichoń, M. Radwańska. Stability of Structures by Finite Elements Methods. Elsevier, 1994.

[3] M. Bera. Analiza utraty stateczności wybranych tarcz i powłok sprężystych metodą elementów skończonych. Praca dyplomowa, Politechnika Krakowska, Kraków, 2006.

[4] M. Radwańska, E. Pabisek. Zastosowanie systemu metody elementów skończonych ANKA do analizy statyki i wyboczenia ustrojów powierzchniowych. Pomoc dydaktyczna PK, Kraków 1996.

[5] Z. Waszczyszyn, E. Pabisek, J. Pamin, M. Radwańska. Nonlinear analysis of a RC cooling tower with geometrical imperfections and a technological cut-out. Engineering Structures, 2, 480-489, 2000.

[6] Z.P. Bazant, Y. Zhou. Why Did the World Trade Center Collapse? - Simple Analysis.

ASCE J. Eng. Mech., 128, 2-6, 2002.

[7] Y. Omika, E. Fukuzawa, N. Koshika, H. Morikawa, R. Fukuda. Structural Responses of World Trade Center Collapse under Aircraft Attacks. ASCE J. Eng. Mech., 131, 6-15, 2005.

[8] Z.P. Bazant, M. Verdure. Mechanics of Progressive Collapse: Learning from World Trade Center and Building Demolitions. ASCE J. Eng. Mech., 133, 308-319, 2007.