• Nie Znaleziono Wyników

Granice funkcji. Asymptoty.

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Granice funkcji. Asymptoty."

Copied!
2
0
0

Pełen tekst

(1)

Poni»sza lista stanowi uzupeªnienie listy zada« Analiza matematyczna 1 (2015/2016) autorstwa dra Mariana Gewerta i doc. Zbigniewa Skoczylasa obowi¡zuj¡cej na ¢wiczeniach i ma pomóc Pa«stwu lepiej opanowa¢ materiaª kursu Analizy matematycznej 1. Niektóre zadania zostaªy zaczerpni¦te z list publikowanych przez dr Jolant¦ Sulkowsk¡.

Paulina Frej

Granice funkcji. Asymptoty.

1. Zapami¦ta¢ poni»sze granice podstawowych wyra»e« nieoznaczonych.

lim

x→0

sin x

x = 1, lim

x→0

tg x

x = 1, lim

x→0

ex− 1

x = 1, lim

x→0

ax− 1

x = ln a, a > 0,

x→0lim

arcsin x

x = 1, lim

x→0

arctg x

x = 1, lim

x→0

ln(1 + x)

x = 1, lim

x→0

(1 + x)a− 1

x = 1, a ∈ R

2. (uzupeªnienie do zad. 32 z listy GiS) Korzystaj¡c z granic podstawowych wyra»e« nieoznaczonych, obliczy¢

podane granice.

(a) lim

x→0

e5x− 1 sin 2x , (b) lim

x→∞3x ln

 1 + 2

x

 ,

(c) lim

x→0

√1 + x − 1

2x ,

(d) lim

x→0

tg 3x sin 7x sin 2x tg 5x,

(e) lim

x→0

2x− 1 1 − 5x, (f) lim

x→12

arcsin(1 − 2x) 4x2− 1 ,

3. (uzupeªnienie do zad. 30) Obliczaj¡c granice jednostronne, zbada¢, czy istniej¡ podane granice

(a) lim

x→1

|x − 1|3

x3− x2, (b) lim

x→0sin x ·sgn x,

4. Uzasadni¢, »e podane granice funkcji nie istniej¡.

(a) lim

x→−12

2x − 1

4x2− 1, (b) lim

x→021x, (c) limx→πsgn (sin x), (d) lim

x→0

1 2x− 3x.

5. (uzupeªnienie do zad. 29) Korzystaj¡c z twierdzenia o arytmetyce granic, obliczy¢ podane granice.

(a) lim

x→0

3

1 + x −√3 1 − x

x ,

(b) lim

x→0

sin2x 1 − cos x,

(c) lim

x→2

x3− 8 x − 2, (d) lim

x→0

√1 + x −√ 1 − x

2x ,

(e) lim

x→∞

√1 + x + 2

1 + x2 , (f) lim

x→0

36x− 16x 6x− 4x ,

6. (uzupeªnienie do zad. 31) Korzystaj¡c z odpowiednich twierdze« (o trzech funkcjach, o iloczynie funkcji ograni- czonej i funkcji zbie»nej do zera, o dwóch funkcjach), wyznaczy¢ podane granice.

(a) lim

x→0+

√x cos 1

x2, (b) lim

x→−∞

sin x2

x , (c) lim

x→∞

2x + sin x2 3x + cos√

x, (d) lim

x→0+

2 + sinx1 x3 .

(2)

7. (uzupeªnienie do zad. 33) Wyznaczy¢ wszystkie asymptoty podanych funkcji. Przy obliczaniu granic nie stosowa¢

reguªy de l'Hospitala.

(a) f(x) = arctg(x + 1) x + 1 , (b) f(x) = e1x,

(c) f(x) =1 − x2 x + 1, (d) f(x) = x − 2

√x2− 4,

(e) f(x) = x3+ x2 x2− 9 , (f) f(x) = sin x

x2 ,

(g) f(x) = 1 ex− 1.

Ci¡gªo±¢ funkcji. Twierdzenie Darboux.

8. (uzupeªnienie do zad. 35) Wyznaczy¢ punkty, w których podane funkcje nie s¡ ci¡gªe i okre±li¢ rodzaj nieci¡gªo±ci.

(a) f(x) =









0 , dla x = −1

x3− 1

| x2− 1|, dla | x| 6= 1,

3

2, dla x = 1,

, (b) f(x) =

 x − 2

|x − 2|+ x, dla x 6= 2,

1, dla x = 2,

9. (uzupeªnienie do zad. 36 ) Sformuªowa¢ twierdzenia Darboux i uzasadni¢, »e podane równania maj¡ dokªadnie jedno rozwi¡zanie w podanych przedziaªach.

(a) ln x = 1 − 2x,  1 2, 1



, (b) 4x= 2

x,  1 2, 1



, (c) 1 = sin x

2 + x,  0,π

2, (d) 3x+ x = 3, (0, 1),

10. (uzupeªnienie do zad. 34) Odpowiednio dobra¢ parametry a, b ∈ R tak, by podane funkcje byªy ci¡gªe na R.

(a) f(x)=

(x, dla | x| ≤ 1, x2+ ax + b, dla | x| > 1,,

(b) f(x)=





2 + e1x, dla x < 0, b, dla x = 0,

sin ax

x , dla x > 0,

, (c) f(x)=





(x − 1)3, dla x ≤ 0, ax + b, dla 0 < x < 1,

√x, dla x ≥ 1, .

Cytaty

Powiązane dokumenty

Wyznacz wszystkie styczne do wykresu funkcji f przechodz¡ce przez punkt

[r]

lista zada« nr 8 funkcje wielu zmiennych Rozgrzewka. We

Sonda kosmiczna znajduj¡ca si¦ w punkcie (2, 2, 2) chce jak najszybciej dotrze¢ do asteroidy, ale w miejscu o±wietlonym przez Sªo«ce.. W którym kierunku powinna uda¢

Jak wy»ej, ale koªo toczy si¦ po innym kole o promieniu %. Brachistochrona  linia najszybszego spadku. Postanawia go goni¢, kieruj¡c si¦ caªy czas w stron¦ zaj¡ca; ten jednak

[r]

[r]

[r]