Poni»sza lista stanowi uzupeªnienie listy zada« Analiza matematyczna 1 (2015/2016) autorstwa dra Mariana Gewerta i doc. Zbigniewa Skoczylasa obowi¡zuj¡cej na ¢wiczeniach i ma pomóc Pa«stwu lepiej opanowa¢ materiaª kursu Analizy matematycznej 1. Niektóre zadania zostaªy zaczerpni¦te z list publikowanych przez dr Jolant¦ Sulkowsk¡.
Paulina Frej
Granice funkcji. Asymptoty.
1. Zapami¦ta¢ poni»sze granice podstawowych wyra»e« nieoznaczonych.
lim
x→0
sin x
x = 1, lim
x→0
tg x
x = 1, lim
x→0
ex− 1
x = 1, lim
x→0
ax− 1
x = ln a, a > 0,
x→0lim
arcsin x
x = 1, lim
x→0
arctg x
x = 1, lim
x→0
ln(1 + x)
x = 1, lim
x→0
(1 + x)a− 1
x = 1, a ∈ R
2. (uzupeªnienie do zad. 32 z listy GiS) Korzystaj¡c z granic podstawowych wyra»e« nieoznaczonych, obliczy¢
podane granice.
(a) lim
x→0
e5x− 1 sin 2x , (b) lim
x→∞3x ln
1 + 2
x
,
(c) lim
x→0
√1 + x − 1
2x ,
(d) lim
x→0
tg 3x sin 7x sin 2x tg 5x,
(e) lim
x→0
2x− 1 1 − 5x, (f) lim
x→12
arcsin(1 − 2x) 4x2− 1 ,
3. (uzupeªnienie do zad. 30) Obliczaj¡c granice jednostronne, zbada¢, czy istniej¡ podane granice
(a) lim
x→1
|x − 1|3
x3− x2, (b) lim
x→0sin x ·sgn x,
4. Uzasadni¢, »e podane granice funkcji nie istniej¡.
(a) lim
x→−12
2x − 1
4x2− 1, (b) lim
x→021x, (c) limx→πsgn (sin x), (d) lim
x→0
1 2x− 3x.
5. (uzupeªnienie do zad. 29) Korzystaj¡c z twierdzenia o arytmetyce granic, obliczy¢ podane granice.
(a) lim
x→0
√3
1 + x −√3 1 − x
x ,
(b) lim
x→0
sin2x 1 − cos x,
(c) lim
x→2
x3− 8 x − 2, (d) lim
x→0
√1 + x −√ 1 − x
2x ,
(e) lim
x→∞
√1 + x + 2
√
1 + x2 , (f) lim
x→0
36x− 16x 6x− 4x ,
6. (uzupeªnienie do zad. 31) Korzystaj¡c z odpowiednich twierdze« (o trzech funkcjach, o iloczynie funkcji ograni- czonej i funkcji zbie»nej do zera, o dwóch funkcjach), wyznaczy¢ podane granice.
(a) lim
x→0+
√x cos 1
x2, (b) lim
x→−∞
sin x2
x , (c) lim
x→∞
2x + sin x2 3x + cos√
x, (d) lim
x→0+
2 + sinx1 x3 .
7. (uzupeªnienie do zad. 33) Wyznaczy¢ wszystkie asymptoty podanych funkcji. Przy obliczaniu granic nie stosowa¢
reguªy de l'Hospitala.
(a) f(x) = arctg(x + 1) x + 1 , (b) f(x) = e−1x,
(c) f(x) =1 − x2 x + 1, (d) f(x) = x − 2
√x2− 4,
(e) f(x) = x3+ x2 x2− 9 , (f) f(x) = sin x
x2 ,
(g) f(x) = 1 ex− 1.
Ci¡gªo±¢ funkcji. Twierdzenie Darboux.
8. (uzupeªnienie do zad. 35) Wyznaczy¢ punkty, w których podane funkcje nie s¡ ci¡gªe i okre±li¢ rodzaj nieci¡gªo±ci.
(a) f(x) =
0 , dla x = −1
x3− 1
| x2− 1|, dla | x| 6= 1,
3
2, dla x = 1,
, (b) f(x) =
x − 2
|x − 2|+ x, dla x 6= 2,
1, dla x = 2,
9. (uzupeªnienie do zad. 36 ) Sformuªowa¢ twierdzenia Darboux i uzasadni¢, »e podane równania maj¡ dokªadnie jedno rozwi¡zanie w podanych przedziaªach.
(a) ln x = 1 − 2x, 1 2, 1
, (b) 4x= 2
x, 1 2, 1
, (c) 1 = sin x
2 + x, 0,π
2, (d) 3x+ x = 3, (0, 1),
10. (uzupeªnienie do zad. 34) Odpowiednio dobra¢ parametry a, b ∈ R tak, by podane funkcje byªy ci¡gªe na R.
(a) f(x)=
(x, dla | x| ≤ 1, x2+ ax + b, dla | x| > 1,,
(b) f(x)=
2 + e1x, dla x < 0, b, dla x = 0,
sin ax
x , dla x > 0,
, (c) f(x)=
(x − 1)3, dla x ≤ 0, ax + b, dla 0 < x < 1,
√x, dla x ≥ 1, .