3. seria zadań
Mateusz Rapicki 7 stycznia 2017
1. Dla danego zbioru X sprawdź, czy r jest relacją częściowego porządku w X:
(a) X = P(N); (A, B) ∈ r ⇔ największy element zbioru A jest nie większy niż największy element zbioru B.
(b) X = N2; ((n1, k1), (n2, k2)) ∈ r ⇔ n1+ k1¬ n2+ k2. (c) X = P(N) \ {∅}; (A, B) ∈ r ⇔ ∃n∈NB = A ∪ {n}.
2. Dany jest zbiór X = {f ∈ NN : P
n∈Nf (n) · 2−n ¬ 1}. W zbiorze X określamy częściowy porządek warunkiem f g ⇔ ∀n∈Nf (n) ¬ g(n).
Znajdź wszystkie elementy minimalne i maksymalne względem porządku
(i udowodnij, że to wszystkie). Znajdź elementy najmniejszy i najwięk- szy, o ile istnieją (a jak nie istnieją, to udowodnij).
3. Zbiór NN jest uporządkowany liniowo przez relację zadaną warunkiem f g ⇔ (f = g ∨ ∃n∈N(f (n) < g(n) ∧ ∀k∈N(k < n ⇒ f (k) = g(k)))).
Udowodnij, że ten porządek jest (a) gęsty.
(b) ciągły.
1
