12. Całki gaussowskie. Proszę obliczyć całki:

(1)

Zadania z mechaniki kwantowej (zestaw 4)

Niech:

hAi ψ = (ψ, Aψ) oznacza wartość oczekiwaną obserwabli A w stanie ψ, 4 ² _ψ (A) = h(A − hAi _ψ ) ² i _ψ oznacza wariancję obserwabli A w stanie ψ.

12. Całki gaussowskie. Proszę obliczyć całki:

Z +∞

−∞

x ⁿ e ^−αx

²

dx oraz

Z +∞

0 x ⁿ e ^−αx

²

dx.

13. Proszę pokazać, że najbardziej ogólna funkcja falowa stanu wysycającego zasdę nieoznaczoności dla położenia i pędu (tzn. takiego stanu ψ, że 4 ² _ψ (X)4 ² _ψ (P ) = ~ ² /4) ma w 1-wymiarze postać:

ψ(x) = 1

(2π) ^1/4 √ κ

exp

"

− x − x ₀ 2κ

2 + i

~ p ₀ x

#

, (1)

gdzie: x 0 = hXi ψ , p 0 = hP i ψ i κ = 4 ^ψ (X).

Wskazówka: Proszę pokazać, że dla stanu ψ oraz obserwabli A i B 4 ² _ψ (A)4 ² _ψ (B) = h−i[A, B]i ² _ψ

4 ⇐⇒ ∃λ ₀ : ( ˆ B _ψ − iλ ₀ A ˆ _ψ )ψ = 0, gdzie ˆ A _ψ = A − hAi _ψ i ˆ B _ψ = A − hBi _ψ , a następnie zastosować to do X i P

14. Proszę pokazać, że dla stanu z poprzedniego zadania funkcja falowa w reprezentacji pędów (transformata Fouriera (1)) ma postać:

ψ(p) = ˜ 1 (2π) ^1/4 √

µ exp

"

− p − p ₀ 2µ

2 − i

~ x 0 (p − p 0 )

#

, (2)

gdzie teraz µ = 4 _ψ (P ) (a x ₀ i p ₀ jak w porzednim zadaniu).

15. Dla cząstki swobodnej operator ewolucji czasowej ma postać U (t) = e ⁻

^~ⁱ

^tH = e ⁻

^2m~ⁱ

^tP

²

,

a stan cząstki w chwili t dany jest wzorem ψ _t = U (t)ψ. Niech w chwili t = 0 stan cząstki ψ będzie dany funkcją falową w reprezentacji pędów, daną wzorem (2) z x ₀ = 0 i p ₀ = 0. Proszę znaleźć ˜ ψ t (p) oraz ψ t (x). W szczególności proszę pokazać, że

12. Całki gaussowskie. Proszę obliczyć całki:

Zadania z mechaniki kwantowej (zestaw 4)

Niech:

hAi ψ = (ψ, Aψ) oznacza wartość oczekiwaną obserwabli A w stanie ψ, 4 2 ψ (A) = h(A − hAi ψ ) 2 i ψ oznacza wariancję obserwabli A w stanie ψ.