П при п = 1,2,..., то * £уя = 0 S даны элементы х и yt < • • • причём хуп — О дедекиндовой структуры S удовлетворяющей следующему условию:(*) Если в теоремы из работы Куроша [4], где автор занимался исследованием вполне работы [4]. Здесь мы доказываем тео

ROCZN1K1 POLSK1EGO TOWARZYSTWA MATEMATYCZNEGO Séria I: PRACE MATEMATYCZNE XXI (1979)

A. В

(Варшава)

Прямые разложения в дедекиндовых структурах

Введение. Пусть единица модулярной (дедекиндовой) структуры S двумя способами разложена в прямую сумму,

Кого да множество прямых слагаемых разложений (1) бесконечное, мы будем предполагать, что в структуре S суммы и произведения определены для лю­

бых подмножеств, а также, что для любых систем элементов ха, уа (где а пробегает некоторое множество индексов), удовлетворяющих условиям ха < ур, при а Ф р, справедливо равенство

(такую структуру будем называть вполне дедекиндовой).

В настоящей работе рассматривается вопрос о существовании прямо подобных продолжений для разложений (1).

Первый параграф этой работы посвящён исследованию канонических продолжений пары прямых разложений единицы структуры S с двумя сла­

гаемыми каждое. Результаты этой части работы будут использованы в § 2 для доказательства теоремы 1.

Во втором параграфе мы показываем существование прямо подобных продолжений для разложений (1) с конечным числом слагаемых.

В § 3 доказываем теорему 2 о прямых разложениях с бесконечным мно­

жеством прямых слагаемых каждое. Она является коренным результатом этой части настоящей работы.

Последний параграф опирается, впрочем, на первых четырёх параграфах работы [4]. Здесь мы доказываем теоремы 3 и 4, которые являются усилением теоремы из работы Куроша [4], где автор занимался исследованием вполне дедекиндовой структуры S удовлетворяющей следующему условию:

(*) Если в S даны элементы х и y t < • • • причём ху п — О ( 1)

а а а

при п = 1 , 2 , ... , то * £ у я = 0 П

17 - Ргасе Matematyczne 21.1

258 А. В а л е н д з я к

независимость которого от условия полной дедекиндовости может быть без труда показана (мы доказываем эти теоремы так, чтобы не использо­

валось условие (*)). Вторая из этих теорем является обобщением первой на случай прямых разложений с конечным числом слагаемых.

Основные свойства прямых сумм во вполне дедекиндовых структурах будут дальше предполагаться известными (см., например, книгу Куроша [1]

или [ 2 ]).

§ 1. Канонические продолжения. Пусть в S даны два прямых разложения единицы с двумя слагаемыми каждое,

( 2 ) 1 = al j~a

= bl -\-b2-

Если прямые разложения (2) обладают продолжениями (3) я, = а, + а / , bt = Ь ]+ Ь ['

где i = 1 , 2 , которые удовлетворяют соотношениям:

а\-\-а

= а'г + Ь\ = ь\ + ъ'2 = Ь'

-\-а\, ciy + b t = b

-yb 2 = Ь

-\-й

— a

t

то эти продолжения называются каноническими продолжениями прямых разложений ( 2 ).

Это определение введено в работе [5].

Л

1. Если прямые разложения (2) единицы структуры S обладают каноническими продолжениями (3), то элементы b't, b \\ / = 1 , 2 , а2, a'î имеют вид:

b 'î = b ^ a î + a î ) ,

(4) b 2 = b 2 ( a 1-\-a 2) , b 'î = b M ' + b J ,

a 2

— fl 2 (ai + ^ 2 )* a 'î = a 2 ( a 'î -{-b î ) .

Д ок азател ь ств о. Так как a \ + b

— Ь

+ Ь\, используя определение мо­

дулярной структуры, мы получаем

b i i c i i - h b î ) — b

(al -\-b

Jr b 2) = b

(b

-\-bl -\-b2) = bl (bl ÿ-b2) = b 2 - \ - b i b 2 = b t .

Поступая аналогично легко заметить, что из равенства a'î 4- b'î = b'î + b

следует

Ь'г = bAa'l-Vb,).

Теперь докажем, что

(5) О = b ^ a ^ + b ' î ) = b 2 ( b [ + a 2 ) = а 2 { а \ + Ь 2) = а 2 ( Ь \ + Ъ 2 ) .

Действительно, на основании некоторых свойств прямых сумм заклю­

чаем, что

1 = Ь\ 4- Ь'2 4- b'î+ b'î = а

4- Ъ\ 4- b'î 4- b'î = а

4- b

4- b\

а отсюда выводим Ь

( й 2+&'2') = 0 .

Подобным образом можно провести доказательство оставшихся равенств

(5).

Так как

а

4 - а" = Ь" + Ь

и bх (а

+ Ъ

) = 0 , то

Ь х(а

+^

) — Ь 1( а 1 -\-а 2 + û 2) = b 1( b 1 -\-b 2 + й 2) — b i 'b^i(û(

_b^

) ^ ^{// 1 •} Поступая аналогично, получаем последние три равенства (4).

Замечание. Если прямые расложения (2) обладают продолжениями (3) и элементы Ь[, Ь[' (/ = 1,2), а2, а

имеют вид (4), то эти продолжения могут не быть каноническими продолжениями разложений ( 2 ).

Пусть S — структура всех подмножеств четырёхэлементного множества { 1 , 2, 3, 4} и пусть ах = {1, 2} а

= {3, 4}, Ьх = {2, 3} Ъ

= { 1 , 4}, а[ = {1}, а" = {2}. Элементы b-, b" (i = 1, 2), а2, а

получаем из соотношений (4).

Легко заметить, что равенства определения канонических продолжений не выполняются.

Л

2. Пусть два произвольных прямых разложения единицы модулярной структуры S с двумя слагаемыми каждое, обладают каноническими продол­

жениями. Тогда для любой пары прямых разложений с двумя слагаемыми каждое любого прямого слагаемого единицы этой структуры существуют канонические продолжения.

Д ок азател ь ств о. Пусть в структуре S одно из прямых слагаемых, на­

пример аи разлагается в прямую сумму,

(6) a i а хх-\-а 12 — bx 14" ЬХ2.

Для доказательства леммы, очевидно, достаточно показать, что пара прямых разложений ( 6 ) обладает каноническими продолжениями.

Рассмотрим два прямых разложения единицы структуры S:

(7) 1 = ûn -i-(a 12 + û 2) = b

+ (b

+ a 2).

В виду предположения доказываемой леммы, на основании леммы 1 заключаем, что прямые разложения (7) обладают каноническими продол­

жениями, которые имеют вид:

аи = Я ц + Я ц >

« 1 2

+

= («

+

)(«

+^

+

) +

+

)(

+^

).

Ь ц = Ьх

(а\х+ЪХ

+ а

)+ Ь Х

(аХ

-\-а

+ а 2),

^i 2 + a 2 = Ф

-\-а

) {а Х

-\-а

-\-а

)зГ{Ь

-\-а

) (а Х

+ Ь 11) .

(8)

260 А. В а л е н д з я к

Используя определение модулярной структуры, мы получаем

(а

+ а

)(а

Х^ Ь

+ а 2) = я 12 (я'и + Ь 12 + я 2 ) + я 2 = al

al (al l + b

+ a

) + a

=

= Я 12 (я 11 + 612 -гЯхЯ2) + Я 2 == « 12(«11

(«l2 + a2)(«U+è ll) = («l2 + û2)«l(«Ü+^ll) = ai2(« ü + b u ).

ЬХХ (fll 1 + ^12 + «2) = ^цЯх (Яд^ 1 + 612 +"Я2) = ^11 (« 11 + ^ 12 ) ’

^11 («11 4"«124-Я2) ~ ^11 «1 («11 1 (^11 ~Ь^12^»

(^i2'b«2)(« ii+ « i2 + û2) = ^12(«И+Я12+Я2)+Я2 = ^i2(ai 1+ ai2)~ba2 » (*i 2 + « 2 ) ( « ïi+ * u ) = (^ и + я ^ я ^ я 'Д + ^ ц ) = bx

{axx+ b xx).

Положим:

«12 = Я12(яД1-{-612), я12 = я12(я11+^,1х)»

^11 — ^ll(«ll+^12)’ ^11 = ^11 («11 + «1 2) » Z>12 = ^12(Л11-Ья12), Ь

= ^12 («11 1)*

Тогда разложения ( 8 ) можно записать в виде:

(9) я1Д = яи 4-Яц, = ^11+^ц»

( 10 ) а

+ а

= (а

+ а

)+а"2, Ь

+ а

= ( ^ 2 + я 2 )+У12.

Так как продолжения ( 8 ) прямых разложений (7) являются, ввиду предполо­

жения, каноническими продолжениями, то имеют место следующие соот­

ношения:

( 11 ) «11 + («12 + û 2 ) — («124“«2)4"^1 1 » ( 12 ) («; 2 + « 2 ) + ^ i = ^ 11 + (^ 12 + « 2)»

(13) ^ 1 + ( ^ 2 + Я2) = ( 6 12 + я2) + яХ1, (14) Я ц + / / . | / / 6 ц = bxx + bx iff*

_н t ,// ш ft // . //

2 = ^124-^12 = <*12 + *!!

Умножая равенства (10)-(13) на я1} будем иметь:

(15) _{«12 «12} + û 12» ^12 ~ ^1г4-^12»

(16) _«11 4-^1 2 = «12 + ^11 = 6 г 1 4 - 6 12 = 6 124 -я1Д.

Прямые разложения (9) и (15) удовлетворяют-соотношениям (16) и (14) и по этому они являются каноническими продолжениями прямых разложений ( 6 )

Лемма доказана.

Для доказательства следующей теоремы нам потребуются:

Л емма 3. Если а = d-\-ax + ... +а„ = d+ b, то

1 ) d-\.at ~ d+bj, где bt = b{d-\-a^ i = 1 , 2 ,..., п,

2 ) 6 = М -

Доказательство этой леммы так как леммы 3 в работе [5].

§ 2. Прямые разложения с конечным числом слагаемых. В дальнейшем важную роль будет играть следующая

Т

1. Пусть два произвольных прямых разложения единицы моду­

лярной структуры S с двумя слагаемыми каждое обладают каноническими продолжениями. Тогда, если даны два произвольных прямых разложения еди­

ницы структуры S с конечным числом слагаемых каждое:

1 = * !+ ... 4 -ат = b t + ... + b n то существуют такие прямые разложения

ai — ап + ... + a in, i =

,

, ...,т , bj = ... -|" ^{bjm, i} 1 » 2,..., ^{n ,}

что имеет место следующее свойство: если J — подмножество множества всех целых чисел от 1 до п и 1 < к < т, то

1 = £ а. + £ S ь,к •

i ф к j e J j $ J

Д ок азател ь ств о. Теорему 1 обозначим через Т(т, п).

1) Сначала покажем, что теорема справедлива для т = 2 и любого нату­

рального п.

Т(2, 2) следует непосредственно из предположения теоремы. Предполо­

жим, что Г(2, и—1). Пусть 1 = d + e — 6t 4- ... 4 - 6 ,rt. Введём обозначения

* i+ = b ,b n = с.

Тогда, очевидно

(17) 1 = b + c = d + e .

Два прямых разложения (17) единицы обладают каноническими продол­

жениями. Следовательно, существуют прямые разложения b = b'-!r b", с = с '-\-с " , d = d ' \ d " , е — ё-\-е", которые удовлетворяют соотношениям:

b ' + ë — ë + d ' = d'-\-ё = ë + b ' , b " + d " = rf" 4 e" = ë '+ c " = c" + b" , Рассмотрим два прямых разложения элемента b:

0 8 ) b = bf+b" = bt + b 2± . . . + b n_ t .

Принимая во внимание структуру Sb (состоящую из элементов, предшес­

твующих b), в которой даны прямые разложения (18) единицы этой струк­

туры, элемент b является прямым слагаемым единицы структуры S. Сле­

довательно, на основании леммы 2 структура Sb выполняет предположения

262 А. В а л е н . д з я к

теоремы 1. Отсюда ввиду индуктивного предположения прямые разложения (18) обладают продолжениями

Ь. = Ь'+Ь", i = 1 , 2 , . . . , п - 1 ,

b' = Щ + ... ... +w „_ 15

такими, что имеет место следующее свойство: если J c { l , 2 , . . . , n - 1 }, то (19) b = b ' + £ w j + £ b " , * = ^ ч Д Ч + Д > ; .

j e J j i J j e J j i J

Так как e'-j-b' = e'-\-d' и b' = ux-\- ... +м я_ 15 то ех + щ + ... +u

= e'-j-й?'.

Отсюда, согласно лемме 3 получаем e'4-«i = е'-}-£(, гДе dt = d'(e'+u) для i < п, а также

( 20 ) d' = d ,+ . . . i - d ^ , .

Положим et = e"{d" + w?) для / < n. Из равенств e" 4 -d" = d " + b " и b" =

= Wi 4 - • • • 4 - wn_ j , на основании леммы 3, получаем ( 21 ) е — &

+ ••• + еп - 1 >

( 22 ) < /" + * ,= </" + */, для i < п. Введём обозначения

(23) с = b'n' , c" = b'„y d" = dn, е = е п.

Следовательно, ввиду (20), (21) и (23) имеем

bi = b'j + b't' для / = 1 , 2 , . . . , п, d = d1+ ... + d n, е = в

-j- ... 4 * •

Докажем, что имеет место следующее свойство: если J — подмножество множества всех целых чисел от 1 до п, то

(24) i ^ d + S eJ + È bt ' ’

j e J j i J

(25) 1 = e + £ dj + 2 bj-

je J j i J

В силу симметрии предположений достаточно проверить, что имеет место условие (24). Рассмотрим два случая.

Пе рвый случай. Пусть n e j . Без уменьшения общности рассуждений

можно предполагать, что J = {«, 1, 2,..., /} для некоторого 4 < п.

Ввиду (21) и (22) мы получаем

1 = d

-е = d ' + d ' ^ e ^ ... 4-е„_х4-е' = d'+ e'4 -d ''+ w

4- ... +w„_1.

Отсюда, так как d' + e' = e' + b' и w’x4- ••• 4-w,i_i — b" а также условие (19) и равенство ( 22 ), то

1 = е'+ b '+ d ''+ b " = е'+ d'' + b = e '+ d ,'+b' + w

+

= d’± e '+ d " + e ... + < ? , . + ... 4 -*Cx =

= d 4~£x4- ••• ••• + î + ^/i•

• 4- w (4 ^ + i 4- ... + C i =

Второй случай. Пусть n^J. Без уменьшения общности рассуждений можно предполагать, что J = {1, 2, ..., /} для некоторого i < п.

Пользуясь результатом первого случая и равенством d ’4-е' — d'

-c', получаем:

1 = d-j- &i4- • • • + ei 4- bj_|_ j -}- ••• 4- bn__ x + =

= +ex4- ... 4-^4-Ь /+1 4- ••• 4-bn_i =

= d 4 -c -\-d 4-^i4- 4-^4-^+i4- ••• 4-^„_x =

= ^4-£ i 4- ... 4"^ / 4 - x4" ••• 4-^-i4-^„ •

Таким образом, мы доказали, что теорема справедлива для т = 2 и лю­

бого натурального п.

2) Будем теперь вести доказательство индукцией по т. Предположим, что Т(т—1,«). Пусть 1 = ах4- ... + а т — 6x4- ••• 4-^V Положим

(26) . d = Дх 4 - ... 4-aw_i и с = тогда получим

(27) 1 = d + e = b!+ ... + b n.

Очевидно, что прямые разложения (27) обладают продолжениями d = й ? х + ... 4 -</л, е = 6 x 4 - ... 4 -е„, bi = Ь \\Ь \’

для / = 1 , 2 , . . . , « , которые удовлетворяют соотношениям:

(24) ' = <*+i > , + j > " . Уе7 jîJ

(25) i = e + 2 V i > ; .

j e J H J

где J — подмножество множества всех целых чисел от 1 до п.

Ввиду (25) в частности получаем, что 1

1 — е-\-Ьх+ ... +Ьп.

264 А. В а л е н д з я к

Следовательно \ — е^гЬ[+ ... +b'n — e+d. Отсюда, согласно лемме 3, следует

(28) е±Ь\ = e\-vt,

где V, = die+b'j), а также d = ••• + V

Так как d является прямым слагаемым единицы структуры S, то на осно­

вании леммы 2 выводим, что структура Sd выполняет предположения тео­

ремы 1. Отсюда ввиду индуктивного предположения прямые разложения d = a t + ... + ат

— vi+ ••• + v„ обладают продолжениями

(29) Я/ = Я/х4- ••• 4~ain> vj — vyi+ ••• + VJm-l

для i — 1 , 2 , m— 1 ; / = 1 , 2 , ...,n , и имеет место следующее свойство:

если 0 < i < т и J а { 1 , 2, , то

(30) d = £ а* + È Vki‘

J ф i k e J к $J

Пусть Ьц = b’^e+Vij) для / = 1,2, — ^{, л; j} = 1, 2 , . . . , m— 1. Так как (28) и V, = va 4- ... 4-vim - 1 » то e + b — e + vn + ••• -H/m-i- Отсюда, согласно лемме 3, следует

(31) bt — bn 4 - ... + bim_ lt

(32) e+Vij^e+bt,,

для / = 1 , 2 , . . . , « ; / = 1, 2, ..., m— 1. Обозначим

(33) bj = ^{bjm> яmj} , ^{i 1,2,} ..., ^д.

Следовательно, ввиду (29), (31) и (33) получаем я,- = яа 4 - ... 4 - я , / = 1 , 2 ...т,

bj ~ bjl -\- ... 4 - bjm, i = 1 , 2 , . . . , п.

Рассмотрим два случая.

Первый случай. Пусть / < т. Без уменьшения общности рассуждений можно предполагать, что J = {1, 2 , . . . , к] для некоторого к < п, а также, что / = 1 .

Пользуясь условием (30) и равенством (32) получаем

1 == d + e =

= яи 4 - ••• + a iA:+V)t+ l,l4- ••• + v „ 1 4-«2+ •

= ai i + ••• + a ife + ^ifc+l,l+ ••• + 6я1 + Я 2 4- •+ 1 •+ II

= яи 4- .. • + e i*4A+i,i + •• • 4 A i + a ² 4- •• • + am- \ + am'

Второй случай. Пусть теперь / = т. Без уменьшения общности рас-

суждений можно предполагать, что J — {1,2, ...,к } для некоторого к < п.

На основании условия (24), ввиду обозначений (26) и (33) получаем

1 = c/ 4 -ei + ... + ek-i-bk+l+ ... 4-bn —

= aj-f ... + a m- l + aml+ ... +^W fc+^Ar+i,m4- ••• + bnm-

Таким образом мы доказали, что теорема справедлива для любого нату­

рального н и ш .

Сл е д с т в и е.

Пусть для любой пары прямых разложений единицы модулярной

структуры S с двумя слагаемыми каждое существуют канонические продол­

жения. Тогда два произвольных прямых разложения единицы структуры S с конечным числом слагаемых обладают прямо подобными продолжениями(^.

§ 3. Прямые разложения с бесконечным множеством слагаемых. В работе [3]

было введено понятие- центра пары прямых разложений единицы во вполне дедекиндовой структуре. Центром пары разложений (1) называем элемент z — [J {âa-\~bp), где âa означает дополнение к элементу аа в первом из разло-

° . Р

жений ( 1 ), а Ьр — дополнение к элементу Ьр — во втором.

Если х(ра ихвр — компоненты элемента х соответственно в а а и в Ьр(ауа =

= яа(х + я а), хвр — bp(x+ Ьр)) то элемент х может быть переписан в следу­

ющем виде:

(34) z = È (J l й ° 6 №° ) = È { Е

а р р а

(см. работа Куроша [4]).

Докажем сперва, что

(35) z = ^ Zaa =: £ zbp-

a /9

Действительно, так как (34), то достаточно показать, что

(36) ™а = £ а ивр<ра.

Р

Легко видеть, что

za« = а« Е { Е = [ Е д°°Р<Р«+ Е ( Е =

а P Р а ' фа р

р а ' ф а р

Но так как âa £ ( £ â a,0p<pa) < аа £ аа. = 0, то аа £ (2Х * V « ') = °- Следова-

а ' ф а Р а ' Ф а а ' ф а р

тельно, имеет место равенство (36).

Пусть элемент х удовлетворяет условию минимальности. Докажем, что

^ Определение прямо подобных продолжений введено в работе [3] (см. стр. 192).

266 А. В а л е н д з я к

z не может разлагаться в прямую сумму с бесконечным множеством прямых слагаемых.

Действительно, пусть z — ^ с у и суФ 0 для всех у (у пробегает некоторое

У

бесконечное множество индексов). Тогда существует бесконечная, убыва­

ющая цепь элементов структуры Sz:

z =

cv >

с-' >

су > - -

У У Ф - У \ У У ' У 1>У 2

Это невозможно, потому что элемент z удовлетворяет условию минималь­

ности. Полученное противоречие доказывает утверждение.

Так как существует возрастающая цепь элементов структуры 5^: су < с 4

с

< ..., то если будем предполагать, что z удовлетворяет условию ма­

ксимальности, то легко заметить, что и в этом случае z не может раз­

лагаться в прямую сумму с бесконечным множеством прямых слагаемых.

Для доказательства следующей теоремы нам потребуется

Ле м м а

4. Если центр z пары прямых разложений

1 =

а> =

ь*+

ь<

i e A j $ A к е В t<£B

единицы вполне модулярной структуры S удовлетворяет условию z < ab, где а = £ а ,, b = £ b k, то:

ieA keB

О 2 ⁾

3)

ab = £ a b k =

bai>

к ^ i

Ч - bai + È ai (bt l 'Zbai/)

‘ ‘ t 1

üj = £ aj {bk- f ab) 4 - a, (bt+ ab) bk = abk-\-

bk (aj+ % abk.)

j к ' Ф к

bt = È bi (ai + ab)+ £ bt (aj+ ab)

' j

af(b* + S ba^ + ab = ab + b ^ + a b ) , i’*i

для всех i;

для всех j ; для всех к\

для всех V,

aj(bk + a b )+ a b = a b + b k\aj+ £ <*bk,\f к’Фк

aj(jbt-\-ab)+ab = ab+bt(aj+ab) для всех j , i, к и t.

Доказательство этой леммы проведено в работе [ 6 ].

Целью всех предшествующих рассмотрений была следующая

Те о р е м а

2. Если центр любой пары прямых разложений единицы вполне

дедекиндовой структуры S удовлетворяет условию минимальности или мак­

симальности и если два произвольных прямых разложения единицы структуры S

с двумя слагаемыми каждое обладают каноническими продолжениями, то

для любой пары прямых разложений единицы этой структуры (,причём число прямых слагаемых может быть и бесконечным) существуют прямо подоб­

ные продолжения.

Доказательство. Пусть условия теоремы выполнены. Покажем, что разложения ( 1 ) обладают прямо подобными продолжениями. Обозначим через z центр этой пары разложений. Используя равенство (35) и доказанное утверждение, что z не может разлагаться в прямую сумму с бесконечным

т

множеством слагаемых, предположим для определённости, что z = ^ z a l =

п т п i = i

= % zb k. Тогда будем иметь: z < ab, где а = £ a it b == £ bk. Разложения ( 1 )

• k = l

k =1

можно записать в виде: 1 = X aj = £ b k+ ]? b t .

k =1

На основании леммы 4 получаем следующие прямые разложения единицы структуры S :

(37)

1 = ^ ЬО' + ^Г ai(bt+ Z baity i- £ a j ( b k+ab)- f- J£aj(bt+ab),

i i , t V j , k j , t

n

1 = £ abk+ £ bk ( a j + ] [ “bk ' ) + j } bM + a b ) + £ bt(aj+ab).

k k j к ' ф к i , t j , t

Согласно лемме 4

m n

(38) ab = JT bat = JT abk.

Так как элемент ab является прямым слагаемым для'единицы структуры S, то на основании леммы 2 получаем, что два произвольных прямых разло­

жения элемента ab с двумя слагаемыми каждое обладают каноническими продолжениями. Следовательно, в силу следствия теоремы 1 пара прямых разложений (38) элемента ab обладает прямо подобными продолжениями,

т

которые обозначим соответственно через (А) и (В). Заменяя сумму ]?Ьа{ в пер-

П 1

вом из прямых разложений (37) продолжением (А), а сумму £ а Ь к во втором

к

из прямых разложений — продолжением (В), мы получаем прямые разло­

жения единицы структуры S, которые согласно лемме 4 являются прямо подобными продолжениями данной пары прямых разложений единицы структуры S.

Теорема доказана.

268 А. В а л е н д з я к

§ 4. Обобщение теоремы Куроша(2). Будем рассматривать вполне дедекин- дову структуры S, единица которой разложена двумя способами в прямую сумму,

( 2 ) 1 = ау + а

= bl + b2.

Условимся обозначать компоненту элемента * в прямом слагаемом а, пер­

вого из разложений ( 2 ) через xf;, г = 1 , 2 , а его компоненту в прямом слага­

емом bj второго из разложений ( 2 ) — через xQh j = 1 , 2 .

Пусть элементы

а также

i, j = 1 , 2 ; к — 1 , 2 , . . . будут так определены , как в работе [4]. Ясно, что

(39) «‘. Ж п ) * = 0, я'АЧв.^)* = 0, * = 1, 2, . . . ; (40) п'а < л,у < ... < п р <

а также

(41)

<

< . . . <

< . . . для /,у = 1, 2.

Существует (см. лемма 7 работы [4]) следующее прямое разложение

(42) nW = n[k} + nW,

к =

1 , 2 , . . . ; и аналогичные прямые разложения элементов

(43) и?) = «&>+#!$, mW = , у = 1,2; к — 1,2, . . .

Л

5.

< А: = 1 , 2, .. .

Доказательство. Используя лемму 1 работы [4] и равенство (39) полу­

чаем;

(*>A )*- 1 = n f t o i W i X v A )*- 1 = = - =

= = 09i = 0 .

Следовательно, ,так как n f }

< то . Аналогично доказывается неравенство

(44) nf

B

^ m % к = 1, 2, . . .

Л

6. «(fj < т ^ -Ь и ^ г »

1 * 2 , . . .

Доказательство. Сначала покажем, что (45) « Ï Ï < п(

1, к = 1 ,2 ,...

W

Если последовательность центров пары прямых разложений (2) на конечном месте

достигает нуля

= о, то эти разложения обладают прямо подобными продолжениями.

Действительно, используя лемму 1 работы [4] и равенство (39) получим ("i!‘i

<P

)(

i<P2)k = (п{

)

(р

в

(р

)(д

(р

= v(p2)k~ l =

=

••• =

=

= 0 ,

а так как n^k\B

(p

^ я2, to n^k\B

<p

^ n

(k).

Теперь докажем лемму для k = 1. Используя свойство VI работы [3], на основании леммы 5, неравенства (45) и определения элемента п

, получаем

«11 < « i l 0 l + « i l 02 < «?'ll+«i 1 б 2 ? 1 + Л 1 1 ^ 2 < Wl l + « 22 -

Пусть наше утверждение уже доказано для случая k — 1. Так как п(к\В

<рt <

< а

и {п(к\ в

(р

){д

(р

— n(k\{B

<pу)к = 0, то n(k)l

(pl < n(kî l), а поэтому, по индуктивному предположению, ввиду (40) и (41) получим

(46) n[k}d

cPl < m{k; l)-\-n{k~ x) ^ m (kl+ n {kl

Очевидно, что

« Ы < « П ) 01+ « (И) 0 2 < « П 6 1 + « и 0 2(f1 + « Ï Ï Я 2 <?;

(см. св. VI работы [3]). Отсюда, согласно лемме 5, ввиду (45) и (46) следует справедливость доказываемой леммы.

Л

7. п(к\ < т(к\-\-т(

1, к = 1, 2, . . .

Доказательство. Используя св. VI работы [3] и неравенство (44) доста­

точно показать, что п(к\д

< т(к\. Действительно, « ^ ^ î ^ ^i и ввиду равен- ства (39), ( п ^ е ^ в у = = 0, т.е. и?,'.

Аналогично доказывается неравенства:

(47)

к = 1 , 2 , . . .

т?> < п[к}+т % , n[kl <

«*22 < « ï ï + « 22 >

«г? < n{k)

- m (kl ,

Л

8. = 0, k = 1, 2, . . .

Дока за те ль ств о . Обозначим произведение n(

l-m (kl через x. Тогда лгб 2 < т(к}0

< 6 ^ 2 = 0. Отсюда х б 2 <р 2 = 0, а так как х < < д2, то х < л21. Следовательно, ввиду (43) х < n(k\ -л 21 = 0, т.е. х — 0

Поступая аналогично, можно доказать равенства:

п[к

-т

=

, я?)-л 1 Й = 0 , (48)

к = 1 , 2 , . . .

«ïï-«?i = о,

270 А. В а л е н д з я к

Используя леммы 6 , 7 и неравенства (47,) ввиду леммы 8 и (48) мы полу­

чаем соотношения:

(49) « ÏÏ+ «Ц

« 1 1 + 4 7

41+41 = 41+41 = 41+"И • 41+47 ^<*> 41+«'21 ^{„(*) 1} „<*>

П21 + “ 12 •

Т

3. последовательность центров пары прямых разложений ( 2 ) на конечном месте достигает нуля, z^ = 0 , mo эти разложения обладают каноническими продолжениями.

Доказательство. По условию теоремы, z(n) = 0. Отсюда следует

«1 (OjÇ), 0299 ,)п = 0 (см. § 4 работы [4]). Следовательно, на основании опре­

деления элемента п^] получаем, что а

— п(”К

Аналогично, а

= п{2\ bj = т\п), j = 1,2. Таким образом ввиду (42) и (43) мы получаем следующие продолжения для прямых разложений ( 2 ):

а 1

= Л 11 + П

»

=

+

» b ! = т й 4- т ("], Ь

= т

+ т%\.

А так как имеют место соотношения (49), то эти продолжения являются каноническими продолжениями прямых разложений ( 2 ) (см. параграф 1 ).

Теорема доказана.

На основании следствия теоремы 1 ввиду теоремы 3 следует

Т

4. Пусть последовательность центров любой пары прямых раз­

ложений единицы вполне дедекиндовой структуры S с двумя слагаемыми каждое на конечном месте достигает нуля. Тогда два произвольных прямых раз­

ложения единицы структуры S с конечным числом слагаемых обладают прямо подобными продолжениями.

Литература

[1] A. G. Kurosz, Algebra ogôlna, Warszawa 1965.

[2] А. Г. К у р о ш , Теория групп, Москва 1967.

[3] —, Изоморфизмы прямых разложений, Известия Ак. наук СССР, серия матем. 7 (1943), стр. 185-202.

[4] —, Изоморфизмы прямых разложений, II, там же 10 (1946), стр. 47-72.

[5] Е. Н. М о ч у льски й , Прямые разложения структур, I, там же 25 (1961), стр. 717-748.

[6] —, Прямые разложения в структурах, II, там же 26 (1962), стр. 161-210.