GRUPA 1
Zadania (XIII) z mechaniki kwantowej na ±rod¦, 21-go maja 2014.
0. Wszystkie zadania z poprzednich ¢wicze«,
1stare. Powtórka - przypomninie notacji. Funkcja falowa tzw. mi- nimalnego pakietu dla znormalizowanego oscylatora harmonicznego (¯h = m = ω = 1) ma posta¢
Ψ(x) = π
−1/4exp
i¯ px − 1
2 (x − ¯ x)
2
, (1)
gdzie ¯x i ¯p oznacza ±redni p¦d i poªo»enie pakietu.
Stosuj¡c metody z poprzednich ¢wicze« pokaza¢, »e odpowiada- j¡cy (1) stan
|Ψ >∼ exp (i ¯ p ˆ x) exp (−i ¯ x ˆ p)|0 > . (2) Obliczy¢ brakuj¡cy wspóªczynnik proporcjonalno±ci.
1nowe. Obliczy¢ ewolucj¦ czasow¡ stanu (2) przyjmuj¡c jako wa- runek pocz¡tkowy |Ψ(0) >= |Ψ >. Pokaza¢, »e
|Ψ(x, t)|
2= π
−1/2exp{−(x − x
cl(t))
2}, (3) gdzie x
cl(t) jest trajektori¡ klasyczn¡ z warunkami pocz¡tkowymi ¯x i ¯p. Wsk. Zadziaªa¢ operatorem ewolucji czasowej na (2) po pierw- szym przeksztaªceniu Bakera-Hausdora. Wykorzystuj¡c tricki sto- sowane przy przej±ciu do obrazu Heisenberga (oraz rozwi¡zanie jed- nego z wcze±niejszych zada« na ˆx
H(t) i ˆp
H(t) ) pokaza¢, »e wynik dziaªania operatorem ewolucji jest równowa»ny zast¡pieniu w (2)
¯
x → x
cl(t) i ¯p → p
cl(t) . Powtórzy¢ "w drug¡ stron¦" rozumowanie prowadz¡ce od (1) do (2).
2. Rozwa»y¢ dwa oscylatory harmoniczne z ró»nymi cz¦sto±ciami ω i λ (¯h = m = 1). Stan podstawowy oscylatora-λ mo»na rozwin¡¢ w bazie wªasnej Hamiltonianu oscylatora-ω.
|0i
λ= Σ
∞n=0c
n|ni
ω(4)
1
Obliczy¢ wspóªczynniki c
n. Wsk. Jak operatory kreacji i anihilacji oscylatora-λ wyra»aj¡ si¦ przez analogiczne operatory dla oscylatora- ω ? Jakie zwi¡zki rekurencyjne speªniaj¡ amplitudy c
n? Rozwi¡za¢
te zwi¡zki.
3. Udowodni¢ bezpo±rednim rachunkiem, »e
L
±= ¯ he
±iφ(±∂
θ+ i ctg(θ)∂
φ). (5) Korzystaj¡c z powy»szego wyniku znale¹¢ posta¢ 'najwy»szej' funkcji kulistej Y
ll(θ, φ) . Wsk. Jak operator podnoszenia dziaªa na najwy»szy stan w multiplecie, tj. L
+|l, l >=? .
4. Obliczy¢ reprezentacj¦ operatorów L
ii L
2we wspóªrz¦dnych biegunowych.
J. Wosiek.
2