• Nie Znaleziono Wyników

0. Wszystkie zadania z poprzednich ¢wicze«,

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "0. Wszystkie zadania z poprzednich ¢wicze«,"

Copied!
2
0
0

Pełen tekst

(1)

GRUPA 1

Zadania (XIII) z mechaniki kwantowej na ±rod¦, 21-go maja 2014.

0. Wszystkie zadania z poprzednich ¢wicze«,

1stare. Powtórka - przypomninie notacji. Funkcja falowa tzw. mi- nimalnego pakietu dla znormalizowanego oscylatora harmonicznego (¯h = m = ω = 1) ma posta¢

Ψ(x) = π

−1/4

exp



i¯ px − 1

2 (x − ¯ x)

2



, (1)

gdzie ¯x i ¯p oznacza ±redni p¦d i poªo»enie pakietu.

Stosuj¡c metody z poprzednich ¢wicze« pokaza¢, »e odpowiada- j¡cy (1) stan

|Ψ >∼ exp (i ¯ p ˆ x) exp (−i ¯ x ˆ p)|0 > . (2) Obliczy¢ brakuj¡cy wspóªczynnik proporcjonalno±ci.

1nowe. Obliczy¢ ewolucj¦ czasow¡ stanu (2) przyjmuj¡c jako wa- runek pocz¡tkowy |Ψ(0) >= |Ψ >. Pokaza¢, »e

|Ψ(x, t)|

2

= π

−1/2

exp{−(x − x

cl

(t))

2

}, (3) gdzie x

cl

(t) jest trajektori¡ klasyczn¡ z warunkami pocz¡tkowymi ¯x i ¯p. Wsk. Zadziaªa¢ operatorem ewolucji czasowej na (2) po pierw- szym przeksztaªceniu Bakera-Hausdora. Wykorzystuj¡c tricki sto- sowane przy przej±ciu do obrazu Heisenberga (oraz rozwi¡zanie jed- nego z wcze±niejszych zada« na ˆx

H

(t) i ˆp

H

(t) ) pokaza¢, »e wynik dziaªania operatorem ewolucji jest równowa»ny zast¡pieniu w (2)

¯

x → x

cl

(t) i ¯p → p

cl

(t) . Powtórzy¢ "w drug¡ stron¦" rozumowanie prowadz¡ce od (1) do (2).

2. Rozwa»y¢ dwa oscylatory harmoniczne z ró»nymi cz¦sto±ciami ω i λ (¯h = m = 1). Stan podstawowy oscylatora-λ mo»na rozwin¡¢ w bazie wªasnej Hamiltonianu oscylatora-ω.

|0i

λ

= Σ

n=0

c

n

|ni

ω

(4)

1

(2)

Obliczy¢ wspóªczynniki c

n

. Wsk. Jak operatory kreacji i anihilacji oscylatora-λ wyra»aj¡ si¦ przez analogiczne operatory dla oscylatora- ω ? Jakie zwi¡zki rekurencyjne speªniaj¡ amplitudy c

n

? Rozwi¡za¢

te zwi¡zki.

3. Udowodni¢ bezpo±rednim rachunkiem, »e

L

±

= ¯ he

±iφ

(±∂

θ

+ i ctg(θ)∂

φ

). (5) Korzystaj¡c z powy»szego wyniku znale¹¢ posta¢ 'najwy»szej' funkcji kulistej Y

ll

(θ, φ) . Wsk. Jak operator podnoszenia dziaªa na najwy»szy stan w multiplecie, tj. L

+

|l, l >=? .

4. Obliczy¢ reprezentacj¦ operatorów L

i

i L

2

we wspóªrz¦dnych biegunowych.

J. Wosiek.

2

Cytaty

Powiązane dokumenty

Stan równowagi ma miejsce, zanurzona jest na gª eboko±¢ d 0 poni»eej powierzchni wody. Poka», »e je±li zostanie przesuni eta na gªboko±¢ d i pozostawiona, b edzie wykonywaªa

W Polsce należy wprowadzić system opieki zdrowotnej organizowany i finansowany w regionach, lecz według zasad opartych na centralnych regulacjach..

zem na uniw ersytetach zagranicznych. Otoczenie na dworze królewskim zjednał sobie uprzejmością i powagą, a nade wszystko „królewską cnotą szczodrobliwości”

Ten jakiś ek sperym entalny system pracy spraw iał, że nigdy żadne dzieło Róży Łubieńskiej nie m iało ch a rak teru akadem ickiego, że każde zawsze

Wyprowadzic wzor na klasyczn¡ gesto±¢ pr¡du prawdopodobie«stwa ~j(~x, t) sztywnego rozkªadu ρ(~x) poruszajacego si¦ po klasycznej trajektorii ~q(t). w Mathematice) kilka

»e energi¦ wªasn¡ stanu zwi¡zanego w studni Diraca, mo»na odzy- ska¢ z odpowiedniej granicy warunku kwantowania energii w studni prostok¡tnej.. Geometryczne przesuni¦cie o ~a

Ka˙zda transformacja unitarna w (B) ⊗k mo˙ze by´ c zapisana jako iloczyn jednokubitowych transformacji unitarnych i dwukubitowych transformacji postaci CNOT zastosowanych

Głównym celem niniejszej pracy było okre lenie współzale no ci pomi dzy procentow zawarto ci mi sa, skóry z tłuszczem podskórnym, tłuszczu mi dzymi niowego i