Z problematyki dwoistości w naukach formalnych II

Mieczysław Lubański

Z problematyki dwoistości w

naukach formalnych II

Studia Philosophiae Christianae 6/2, 45-67

S tu d ia P hilo so p h iae C h ristia n a e A TK

6(1970)2

M IECZY SŁA W LU B A Ń SK I

Z PROBLEMATYKI DWOISTOŚCI W NAUKACH FORMALNYCH (И)

1. U w agi w stęp n e. 2. D w oistość w algebrze a b s tra k c y jn e j. 2. 1. K lasy i zbiory. 2.2. D efin icja kateg o rii. 2.3. P rz y k ła d y kateg o rii. 2.4. D w oi­ stość w te o rii k ateg o rii. 3. D w oistość w g eo m etrii rzu to w e j. 3.1. T w ie r­ dzenie P ascala. 3.2. T w ierdzenie B rianchona. 4. , D w oistość w analizie fu n k cjo n a ln ej. 4.1. L iniow a niezależność i pełność u k ła d u w ektorów . 4.2. B aza u k ła d u w ektorów . 4.3. P o d p rz estrz en ie m ak sy m a ln e i m in i­ m alne. 4. 4. D opełnienie o rto g o n aln e podprzestrzeni. 5. U w agi końcow e.

1. Uwagi w stępne

Od daw n a ju ż istn ieje k o n tro w e rsja n a te m a t rela cji zacho­ dzących m iędzy logiką a m atem aty k ą. G dy idzie o zakresow e ujm o w anie problem u, to w ty m sporze m ożna w yróżnić, bio­ rąc rzecz h istorycznie, trz y stanow iska. P ierw sze głosi, że lo­ gika i m ate m a ty k a są różnym i naukam i, jed n a k posiadają one część w spólną n iep u stą, tzn. istn ie ją tak ie elem enty, k tó re n a ­ leży jednocześnie zaliczyć i do logiki i do m atem aty k i. D rugie uw aża, że m ate m a ty k a jest częścią logiki, trzecie n ato m iast tw ierd zi przeciw nie, że logika je s t fra g m en te m m atem aty k i. O pisana rozbieżność stanow isk zw iększa się jeszcze gdy uw zględnim y pogląd, k tó ry utożsam ia logikę i m atem aty k ę, uw ażając je za jed n ą i tę sam ą n au k ę h

1 Z w olennikiem tego ro d za ju poglądu je s t np. B. R ussell. Zob. jego W stęp do filozofii m a tem aty k i, W arszaw a 1958 oraz a rg u m e n tac ję , m a ­

4 6 M. LUBAÏJSKI _[2]

Jed n ak że pom im o istn ien ia w spom nianej przed chw ilą k o n­ tro w e rsji odnoszącej się do zw iązku, ja k i m a m iejsce m iędzy logiką a m atem aty k ą, podchodząc do tej p ro b le m aty k i od stro ­ n y fak ty cznej, należy stw ierdzić, że odróżnia się i logikę i m a­ te m a ty k ę jak o n a u k i różne (przy n ajm n iej w znaczeniu p ra k ­ ty k i naukow ej), nie przesądzając w cale o ty m co w chodzi w skład ich części w spólnej. Z tego w zględu nie będzie pozba­ w ione sensu w yróżnianie w śród n a u k form alny ch logiki oraz m atem aty k i. T aką przecież term inologię stosuje się pow szech­ nie. W olno więc skorzystać z istniejącego zw yczaju język ow e­ go, nie opow iadając się ty m sam ym za jed n y m z w ym ienionych stanow isk, nie w chodząc więc w rozw ażania dotyczące „ isto ty ” logiki i m atem aty k i. N ie je s t bow iem to p o trzeb ne dla celów, k tó re p rzy św iecają tej pracy.

Pierw sza część a rty k u łu 2 sygnalizow ała istotę p ro b lem aty k i zw iązanej z pojęciem dw oistości w logice. Obecna, część d ru ­ ga, z a ry su je podstaw ow e ele m en ty zagadnienia dw oistości w m atem atyce. Zw rócona będzie tu uw aga głów nie n a algebrę a b stra k cy jn ą , na geom etrię rzu tow ą oraz n a analizę fu n k cjo ­ nalną. Z ostały w y b ra n e te działy m a te m a ty k i ze w zględu na ich dość znaczną różnorodność o ra z 'z rac ji na ich p rostotę z lo­ gicznego p u n k tu widzenia.

2. Dwoistość w algebrze abstrakcyjnej

W algebrze m ożna odróżnić jej działy klasyczne oraz now o­ czesne. W śród now oczesnych działów alg eb ry rozw ija się obec­ nie bardzo tzw. algebra a b s tra k c y jn a.3 B adane są w niej tw ory

ją c ą przem aw iać za słusznością głoszonej przez niego tezy, z a w a rtą na stro n a c h 284—285.

2 Z p ro b le m a ty k i dw oistości w n a u k a ch fo rm aln y ch , I, S tu d ia Phil.. C hrist., 5 (1969), N r 2, 125— 139.

. 5 P or. np. A. G. K urosz, M u ltio p e ra to rn y je kolca i algebry, U spiechi m atem aticze sk ic h n au k , 24 (1969), w yp. 1, 3—15 oraz P. M. Cohn, U ni- w e rs a ln a ja algebra, M oskw a 1968.

[3] Z PROBLEM ATYKI DW OISTOŚCI 47

zw ane algebram i. Łącznie z nim i w y stę p u je tam także pojęcie kategorii. Ono w y d aje się być fu n d am e n ta ln e dla w spółcze­ snej m atem aty k i. Toteż p rzy p o m n im y je tu ta j i n a jego tle przed staw im y p ro b le m aty k ę dwoistości. P rz ed te m jed n a k po ­ św ięcim y k ilk a chw il uw agi sp raw ie term inologicznej odno­ szącej się do rozum ienia zw rotów : „zbiór” oraz „k la sa ”. 2.1. K lasy i zbiory

P rz ed stu la ty zaczęły się ukazyw ać p race G. C antora, k tó re zapoczątkow ały now y dział m atem aty k i, teorię mnogości. W y­

stęp u jące tam pojęcie zbioru było ujm o w an e początkow o w spo­ sób in tu icy jn y . D oprow adziło to jed n ak do antynom ii. Toteż pow stały w ysiłki badaczy, ab y ściśle sprecyzow ać pojęcie zbioru tak, by pojaw ian ie się an ty n om ii stało się niem ożliw e. Je d n ą z dróg, k tó re p ro w ad ziły do tego celu, stało się zaksjo- m atyzow anie teo rii mnogości. P ierw szą ak sjom atyk ę w spom ­ n ian ej teo rii podał E. Z erm elo n a początku obecnego stulecia. W spółcześnie jesteśm y św iadkam i istn ien ia w ielu różnych sy­ stem ów aksjom atycznych teo rii mnogości. Do tej p o ry nie m oż­ n a powiedzieć, b y sp raw a znalezienia najdoskonalszej postaci dla ak sjo m aty k i teo rii mnogości była ju ż zakończona. W śród w spom nianych w ielu różnych uk ład ów aksjom atów , z in te re ­ sującego nas p u n k tu w idzenia, należy w yróżnić dw ie p o d sta­ wowe grupy. Do jedn ej zaliczyć w yp ad a ak sjo m aty k ę ty p u Z erm elo -F raen k la, do d ru g iej zaś — ak sjo m aty k ę ty p u G oedla- -B ernaysa. P ierw sza ze w spom nianych ak sjo m aty k po sługuje się jak o pojęciam i p ierw o tn y m i pojęciem „zbioru” i pojęciem „przynależności elem en tu do z b io ru ”. W ak sjo m aty k ach d ru ­ giego ro d zaju w m iejsce pojęcia „zb io ru” uży w a się szerszego pojęcia „ k la sy ”. Je śli więc p rzy jm ie m y d ru g i sch em at aksjo­ m aty k i teo rii m nogości, to w ram a ch jed n o litej teo rii należy odróżniać zbiory od klas.

W yrażając się poglądow o pow iem y, że „k la sa ” jest to dow ol­ n y zespół jakichkolw iek przedm iotów . P rzedm ioty, k tó re w chodzą w skład danej k lasy zw iem y jej elem entam i. „Zbio­

48 M. LUBAŃSKI

re m ” n ato m iast nazyw ać będziem y ta k ą klasę, k tó ra je st ele­ m en tem jak ie jś innej klasy. A zatem , jeżeli A je st klasą, to pow iem y, że je s t ona zbiorem w ted y i tylko, gdy istn ieje tak a klasa B, że k lasa A je st jej elem entem . P rzeto , zgodnie z p rz y ­ ję tą term inologią, każd y zbiór je s t klasą, nie k ażda n ato m iast k lasa je s t zbiorem . Np. klasa w szystkich zbiorów nie je st zbio­ rem . W ynika to z rozum ow ania, k tó re prow adzi do an tynom ii R u s s e lla 4. W ychodząc z pojęcia k lasy m ożna określić pew ne now e pojęcia i o peracje n a klasach. Np. pojęcie k lasy p u stej, pojęcie k lasy p ełnej, operację sum ow ania klas, operację b ran ia przecięcia k las itp. W oparciu o p rz y ję te ak sjo m a ty m ożna np. w ykazać, że k lasa p ełn a n ie je s t zbiorem .

Na p od staw ie pow iedzianego w yżej odróżniać w ięc będziem y k la sy od zbiorów. J e s t to w ygodne i w łaściw e dla u w y p u k le ­ n ia pew n y ch ty p ó w kategorii. W lite ra tu rz e m atem aty czn ej, gdzie w ażne są rozw ażania c h a ra k te ru logicznego oraz s tr u k tu ­ ry logicznej w y stęp u jący ch pojęć i k o n stru k c ji, tego ro d zaju term in o log ia je s t stosow ana coraz pow szechniej. Nie je s t to k w estia jed y n ie w ygody term inologicznej. Bez żadnej p rz e ­ sady m ożna powiedziep, że ro zw ijające się b ad an ia w zakresie alg eb ry a b stra k cy jn e j, szczególnie pojaw ienie się teo rii k a te ­ gorii, zm usiło n iejako badaczy do odróżniania klas (jako p o ję ­ cia szerszego) od zbiorów.5

2.2. D efinicja k ateg o rii

K ateg o ria je s t to pew ien tw ó r złożony z „obiektów ” oraz „m orfizm ów ”, k tó re m ogą być „m nożone”. Z atem k a te g o ria sk ład a się z dw ojakiego ro d zaju przedm iotów . Je d n e są zwane obiektam i, drugie — m orf izm am i. N adto w k a te g o rii m a m ie j­ sce pew nego ro dzaju operacja zachodząca m iędzy o statn im i w y ­

4 Zob. np. P. M. Cohn, U n iw e rsa ln a ja alg eb ra, M oskw a 1968, 15. 5 Zob. np. S. M ac L ane, G om ołogija, M oskw a 1966, 40—41 a ta k że G. C hoquet, A naliza i B ourbaki, W iadom ości M a te m a ty c zn e 7 (1963—· 1964), 107—108.

[5] Z PROBLEM ATYKI DWOISTOŚCI 49

m ienionym i przedm iotam i, k tó ra jest k ró tk o n azy w ana m no­ żeniem· D ziałanie to m a spełniać pew ne p ro ste w aru n k i, k tó re zw iem y ak sjo m atam i teo rii kategorii.

Po ty m in tu icy jn y m w y jaśn ien iu pojęcia kategorii, p rzejd źm y obecnie do ścisłej definicji.

P ow iem y więc, że k lasa obiektów А, В C, . . . , łącznie z (1) rodziną p a ra m i rozłącznych zbiorów Horn (A, B), przy czym każdej p arze obiektów А, В odpow iada dokładnie jeden zbiór Н о т (A, B),

(2) fu n k cją określoną dla k ażdych ttz e c h obiektów А, В, C, k tó ra elem entom a ε Horn (A, B) oraz b ε Н о т (В, C) p rzy p o ­ rządk o w u je elem en t ba ε Н о т (A, C),

(3) fu n k cją p rzy p o rząd k o w u jącą każd em u obiektow i A ele­ m en t 1a £ Hom (A, A),

jest k ateg o rią, jeżeli spełnione są n astęp u jące dw a aksjom aty: (Ai) A ksjo m at jedności: jeśli a ε Horn (A, В), to а1д = а = = 1ва,

(Аг) A ksjo m at łączności: jeżeli a ε Н о т (А, В) oraz b ε Н о т (В, С) i с ε Н о т (С, D), to с (ba} = (cb)a.

K lasę złożoną z obiektów А, В, С, . . . oznaczam y zw ykle lite rą К , zaś elem en ty a, b, с, . . . zw iem y m orfizm am i. M am y więc do czynienia z k a te g o rią K, złożoną z obiektów A, B, C, . . . oraz m orfizm ów a, b, c, . . . . Jeżeli k lasa obiektów k a te ­ gorii К je st zbiorem to kateg o rię tę zw iem y m ałą 6.

W prow adźm y jeszcze pew ne p ro ste pojęcia oraz n iek tó re term in y p rz y d a tn e w dalszej części te j pracy.

Jeżeli m am y d an ą katego rię K, to klasę w szystkich jej obiektów oznaczam y przez ObK, zaś klasę w szystkich jej m orfizm ów — przez H om K. Jeżeli a ε Н о т (А, В), to będziem y pisać tak że a: A—>B i m ówić będziem y, że m orf izm a je s t skie­ ro w an y od A do B. W ty m p rz y p a d k u zwać będziem y rów nież obiekt A dziedziną, zaś obiekt В — przeciw dziedziną m or- fizm u a.

G Por. S. L ang, A lgebra, M oskw a 1968, 39—44, S. M a c L a n e , Gomo- logija, M oskw a 1966, 40—41, P. M. Cohn, U n iw e rsa ln a ]a algebra, M o­ skw a 1968, 49—51.

50 M. LUBAŃ SKI [6]

M orfizm к n azy w am y jednością k ateg o rii K, jeżeli k a = a, zawsze gdy ty lk o iloczyn k a je st określony, oraz jeżeli bk = b, zawsze gdy ty lk o iloczyn bk je s t określony. J e s t zrozum iałe, że m orfizm 1A je s t jednością k ateg o rii K. A le i odw rotnie. Jeżeli к jest jednością kateg o rii K, to wówczas k: A ->A dla pew nego obiektu A k a te g o rii K. P rzeto к = k lA = l A.~To ozna­ cza, że k ażda jedność k ateg o rii К pociąga postać 1A dla pew ­ nego jednoznacznie określonego obiektu A, Inny m i słow y m a m iejsce odpowiedniość w zajem n ie jednoznaczna m iędzy obiek­ tam i k ateg o rii К a k lasą jej m orf izmów, będących jednościam i. K onsekw entnie więc k ateg o ria К je s t określona całkow icie przez klasę w szystkich swoich m orfizm ów.

K lasę L n azy w am y podk atego rią k ateg o rii K, jeżeli L sk ła­ da się z tak ich podklas klas O bK oraz H om K (oznaczonych przez ObL oraz HomL), że spełnione są n a stę p u jąc e w aru nk i:

(Li) Jeżeli A ε ObL, to 1A ε HomL.

(L2) Jeżeli a, b ε H om L oraz iloczyn ab je s t określony w k a ­ tegorii K, to ab ε HomL.

. (L3) Jeżeli a ε H om L oraz a: A->B, to А, В ε ObL.

Słow am i m ożna to w yrazić m niej w ięcej następu jąco : W a­ ru n ek (Lj) mówi, że k lasy ObL oraz H om L są w y b ra n e .,do­ b rz e ”. Znaczy to, iż przynależności elem en tu A do podklasy O bK odpow iada przynależność elem en tu 1A do podklasy Hom K i odw rotnie. W aru n ek (L2) mówi, iż działanie m nożenia na m orfizm ach w ziętych z H om L nie w yprow adza poza tę klasę. K lasa H om L je st więc, jak to się mówi, zam kn ięta ze w zględu na operację m nożenia m orfizm ów . W aru n ek o sta tn i orzeka, że m orfizm w zięty z k lasy H om L działa n a elem entach, k tó re należą do ObL.

Niech dane będą dw ie k ateg o rie К oraz K ’. O dw zorow anie w zajem nie jednoznaczne a—>a, m iędzy klasam i H om K oraz H om K ’ nazyw ać będziem y izom orfizm em k a te g o rii К na k a ­ teg orię K ’, jeżeli iloczyn ab jest określony w ted y i tylko, gdy je s t określony iloczyn a ’b ’ p rzy czym m a być sp ełniony w a ru ­ nek: (ab)’ = a ’b ’.

[7]

I

Z PROBLEM ATYKI DWOISTOŚCI 51

Hom K, oraz H om K ’ nazyw ać będziem y antyizom orfizm em , je ­ żeli iloczyn ab je s t określony w te d y i tylko, gdy jest o k re­ ślony iloczyn b ’a ’, p rz y czym sp ełniony je st w a ru n e k (ab)’ =

= b ’a \ 7

2.3. P rz y k ła d y k ateg o rii

P odam y obecnie, dla ilu stra c ji, k ilk a p ro sty ch p rzykładów k ategorii.

1) K ateg o ria zbiorô'w. O biek tam i są t uw szystkie zbiory, n a ­ tom iast m o rf izm am i — w szystkie przekształcen ia jednego zbioru w drugi. „M nożenie” m orfizm ów rozum ie się tu jako b ran ie superpozycji p rzekształceń. Jednością jest odw zoro­ w anie tożsam ościowe. Ł atw o spraw dzić, że w szystkie w a ru n k i w ym agane dla k a te g o rii zostan ą w ten sposób spełnione. A ksjo­ m a ty kategorii, p rz y ta k rozu m ian y ch operacjach, sta ją się zdaniam i p raw dziw ym i. P rz eto m am y do czynienia z kategorią.

2) K atego ria grup. W ty m p rzy p a d k u obiektam i są w szy st­ kie g rup y , zarów no abelow e, ja k i nieabelow e. N atom iast m or- fizm am i są w szystkie hom om orfizm y jed n ej g ru p y w drugą. Podobnie, jak w po przednim przykładzie, łatw o jest spraw dzić, że p rzy tak w ziętej klasie obiektów oraz m orfizm ów m ieć b ę ­ dziem y do czynienia z k ategorią.

3) K ategoria p rze strz e n i topologicznych. Za obiekty u w a ­ żam y w szystkie p rzestrzen ie topologiczne. M orfizm am i zaś są w szystkie p rzek ształcen ia ciągłe jed n ej p rze strz e n i w drugą. P oniew aż su p erp ozy cja dw óch fu n k c ji ciągłych je s t fu n k cją ciągłą, p rzeto w idzim y, że w ym ienione obiekty oraz m orfizm y sp ełn iają w a ru n k i w ym agane d la kategorii. Jednością kateg o rii je s t oczywiście p rzek ształcen ie tożsam ościow e dowolnego ob iek tu (tj. dow olnej p rze strz e n i topologicznej) n a siebie.

4) K atego ria g ru p p rzem iennych. O biektam i są tu w szyst­

7 Por. np. P. M. Coftn, op, cit., 50—51 a ta k że S. M a c L a n e , op. cit., 44.

52 M. LUBAŃSKI _[8]

kie g ru p y abelow e. M orfizm am i zaś — hom om orfizm y grup abelow ych w siebie.

5) K ateg oria zbiorów uporządkow anych. T u taj obiektam i są zbiory uporządkow ane, m orfizm am i zaś — hom om orfizm y m onofoniczne. P rzy p o m in am y tu, że jeżeli m am y dane dw a zbiory u p orządkow ane A oraz B, to p rzek ształcenie f: A —у В nazy w a się hom om orfizm em m onofonicznym w te d y i tylko, gdy zachow uje ono rela cję porządku, tzn. jeśli elem en t x po­ przedza elem en t у w; zbiorzeA, to w ów czas obraz elem en tu x przy p rzek ształcen iu f poprzedza obraz elem en tu у p rzy p rze ­ kształcen iu f.

Obecnie przejd ziem y do om ów ienia zagadnienia dwoistości w teo rii kategorii.

2.4. Dwoistość w teo rii k ateg o rii

N iech d an a będzie jak aś k a te g o ria K. Rozw ażm y dow olną tezę T k ateg orii K. P rzy pu śćm y , że w tezie T dokonam y n a ­ stęp u jący ch przekształceń. Iloczyn ab zam ieniam y n a ilocżyn ba zam ieniając jednocześnie dziedzinę i przeciw dziedzinę d a­ ny ch m orfizm ów oraz k ieru n e k m orfizm u n a przeciw ny. Tak po stęp u jem y ze w szystkim i m orfizm am i. W ówczas ta k o trz y ­ m an ą tezę T& n azy w am y tezą dw oistą w zględem tezy T.

Bez tru d u m ożna spostrzec, że w y rażenie dw oiste do a k sjo ­ m a tu teo rii k ateg o rii przechodzi znow u w aksjo m at kategorii. W ynika stąd, że m ożna m ówić o dw oistości dow odu w teorii kategorii. P rzeto rozum ow anie dw oiste do danego stanow i za­ razem dowód dla tezy dw oistej do danej. Chodzi tu , oczyw i­ ście, o rozum ow ania o p arte w yłącznie n a ak sjo m atach k a te ­ gorii. W p rzeciw nym p rzy p a d k u nie zawsze w yrażenie dw oiste do tezy m usi być tezą, co je s t zrozum iałe.

Jeżeli m am y d aną k ateg o rię K, to m ożna zbudow ać k a te ­ gorię dw oistą w zględem danej. P o stęp u je się tu następująco : K ategorię dw oistą do danej k ateg o rii К oznaczać będziem y przez K&. Za obiek ty k ateg o rii K& uw ażać będziem y pew ne

[9] Z PROBLEM ATYKI DW OISTOŚCI 53

obiekty A& zn ajd u jące się w odpow iedniości w zajem nie jed n o ­ znacznej z obiektam i A k ateg o rii K. N o tujem y to tak: — >A, Za m orfizm y k ateg o rii K& w eźm iem y klasę ele­ m entów a& z n ajd u jący ch się w odpow iedniości w zajem nie je d ­ noznacznej z m orfizm am i a k ateg o rii K. Z ap isujem y to: a&«s— >a. Z akład am y ponadto, że w a ru n e k a&: A&—Æ & zacho­ dzi w te d y i ty lk o w tedy, gdy zachodzi w a ru n e k a: B->A, oraz iloczyn a& b& jest określony w ted y i ty lk o w ted y gdy określo­ n y je s t iloczyn ba, p rzy czym m a m iejsce rów pież a &b& =

= (ba)&. W ówczas K& jest, ja k łatw o spraw dzić, k ategorią. N azyw am y ją k ateg o rią dw oistą w zględem k ateg o rii K.

Rozw ażm y te ra z k ateg orię Κ. I w eźm y pod uw agę jak ąś jej tfezę. T. Niech T& oznacza tezę dw oistą do danej kateg o rii K. Wówczas tezą dw oistą do tezy T& w k ateg o rii K& będzie, co je s t w idoczne, teza T.

W te n sposób m ówić m ożem y w teo rii k ateg o rii o o peracjach dw oistych, o tw ierd zen iach dw oistych oraz o k ateg oriach dw o­ istych. Dwoistość m a więc m iejsce w zakresie sam ej kateg o rii oraz m iędzy nim i. Można by więc, k onsekw entnie, rozw ażać k lasy w y rażeń i o peracji dw oistych w e w n ątrz pew nej u sta lo ­ nej kategorii, jak rów nież rozw ażać klasę w szystkich k ateg o rii w zględem siebie dw oistych.

Z auw ażm y jeszcze, że posługując się pojęciem anty izo m or- fizm u, należy powiedzieć, że m a on m iejsce m iędzy k ateg o ­ riam i К oraz K&. Z atem k ateg o ria K& jest antyizom orficzna z k ateg o rią K. O gólnie zachodzi zw iązek n astęp u jący : K atego­ ria K ’ jest an tyizom orficzna z k a te g o rią К w ted y i ty lk o w te ­ dy, gdy k ateg o ria K ’ je s t izoform iczna z dw oistą k ateg o rią K & 8.

Ta o statn ia uw aga pozw ala k ró tk o określić k ategorię dw o­ istą w zględem danej k ateg o rii K. W ystarczy m ianow icie po­ w iedzieć, że K& sk ład a się z m orfizm ów k ateg o rii К z ty m tylko, iż m nożenie ich je s t określone w zorem : a&b = ba w te d y i ty lk o gdy je s t określona stro n a p raw a powyższej równości.

54 M. LUBAN SKI _[10]

О klasie obiektów m ożna tu nie w spom inać, gdyż, jak to było zaznaczone w yżej (§ 2.2.), k a te g o ria je s t określona przez klasę w szystkich swoich m orfizm ów.

Można, oczywiście, m ówić tak że o k ateg o riach dw oistych w zględem siebie sam ych. K atego rię К nazyw ać będziem y dw o­ istą w zględem siebie sam ej jeżeli je s t ona izom orficzna z k a ­ teg o rią dw oistą w zględem niej. N o tu jem y to: К = K&. Jako p rzy k ła d k ateg o rii dw oistej w zględem siebie sam ej m ożna w y ­ m ienić k ateg o rię w szystkich zbiorów om ów ioną w yżej w po­ p rzed n im p arag rafie.

3. D w oistość w g eom etrii rzu to w ej

P rz estrz e ń euklidesow a n -w y m iaro w a je s t to zbiór punktów , będących- u k ład am i uporząd k ow an y m i n liczb rzeczyw istych (xi, . . . , x n), p rzy czym odległość m iędzy dw om a tak im i p u n k ­ tam i jest określona zn an ym w zorem ja k p ierw ia ste k k w a d ra ­ tow y z su m y k w a d ra tó w różnic w spółrzędnych. N atom iast p u n k tem p rzestrzen i rzuto w ej n -w y m iaro w ej jest uk ład upo­ rząd k o w any złożony z n + 1 liczb rzeczyw istych (x0, x b . . . , x n) jednocześnie nie będących zeram i. N adto u tożsam ia się ze sobą u k ład y proporcjonalne. P u n k t p osiadający zerow ą w spółrzędną rów ną liczbie zero nazy w a się p u n k te m niew łaściw ym p rze ­ strzen i rzutow ej. J a k w iadom o m oże on być utożsam iony z k ieru n k iem pew nej p ro stej. Jeżeli do zw ykłej p rostej eukli- desowej dołączym y odpow iadający jej p u n k t niew łaściw y (p u nk t w nieskończoności), to otrzy m am y tzw. p ro stą rzutow ą. Jeżeli w opisany sposób u zu p ełn im y p rze strz e ń euklidesow ą n -w y m iaro w ą p u n k tam i niew łaściw ym i, to o trzy m am y p rze ­ strzeń rzu to w ą n -w ym iarow ą. O znaczać ją będziem y P n. W szczególności przez P2 oznaczam y płaszczyznę rzutow ą; a zatem je s t to p rze strz e ń d w u w y m iaro w a p o w stała z płasz­ czyzny euklideso\vej przez dołączenie do niej p u n k tó w n ie­ w łaściw ych, czyli p u n k tó w w nieskończoności. Mówiąc ob ra­ zowo płaszczyzna rzu to w a sk łada się z płaszczyzny euklide­

[Π ] Z PROBLEM ATYKI DWOISTOŚCI 55 sowej, do k tó re j dodano jeszcze jed n ą p ro stą w nieskończo­ ności, tzw. p ro stą niew łaściw ą.

Zgodnie z tzw. pro g ram em z E rlan g en F. K leina (1872) przez geom etrię danej p rze strz e n i ro zum iem y teo rię niezm ienników pew nej g ru p y przekształceń. J e s t zrozum iałe, że im obszer­ niejsza je s t k la s ą p rzekształceń, ty m w ęższa je s t k lasa ich niezm ienników . I otóż przez geo m etrię p rze strz e n i P n rozu­ m iem y teorię niezm ienników odw zorow ań rzutow ych. Zw iem y ją k ró tk o g eo m etrią rzutow ą. W szczególności m ożem y mówić 0 g eom etrii płaszczyzny rzutow ej P2.

Rozw ażm y form ę liniow ą postaci: a0x0 + a ^ i + . . . + a nx n = = O. T u taj a0, ai, . . . , a n są u stalon y m i liczbam i, zaś x0 xj . . . , x n to w spółrzędne zm iennego p u n k tu w p rze strz e n i P n. P a m ię ­ tam y, że zawsze m am y tu do czynienia z rów nością w sensie proporcjonalności, tj. u tożsam iam y u k ład y liczb do siebie p ro ­ porcjonalnych. U kład liczb a0, a b . . . , a n m ożna in te rp re to w a ć dw ojako, m ianow icie bądź jako zw y k ły p u n k t w p rzestrzen i P n, bądź jako pew n ą hiperpłaszczyznę n-1 w y m iarow ą przestrzen i rzutow ej P n. O pisany p rzed chw ilą p u n k t oraz odpow iadającą m u hiperpłaszczyznę nazyw am y tw o ram i dw oistym i p rze strz e n i rzutow ej n -w ym iaro w ej P„. Jeżeli w p o danym w yżej ró w naniu liniow ym u sta lim y w spółczynniki oznaczane lite rą a ze w skaź­ nikam i, to pow yższa fo rm a liniow a oznacza te p u n k ty p rze ­ strzen i P n, k tó re leżą n a pew nej hiperpłaszczyźnie. Jeżeli n a ­ tom iast w powyższej form ie u sta lim y elem en ty oznaczane lite rą x ze w skaźnikam i, to ró w n an ie rozw ażane p rzed staw ia zbiór w szystkich hiperpłaszczyzn p rze strz e n i rzutow ej, p rze ­ chodzących przez d an y p u n k t (x0, x b .. . , x n) p rze strz e n i rz u ­ tow ej. W te n sposób o trzy m u jem y dw ie in te rp re ta c je jednego 1 tego sam ego zw iązku analitycznego. M ówiąc prościej, jeden i ten sam w zór liniow y m ożna in te rp re to w a ć bądź jako pew ną hiperpłaszczyznę, bądź jako pew ien p u n k t p rze strz e n i P n. T w ory te zw iem y dw oistym i w zględem siebie. Z arazem do w y rażen ia „ p u n k t leżący na hip erp łaszczy źnie” dw oistym w y ­ rażeniem okazuje się być w y rażenie „hiperpłaszczyzna p rz e ­ chodzi przez d an y p u n k t”.

56 M. LUBAWSKI [12] N iech tera z T oznacza jak ieś tw ierd zen ie geom etrii rzu to ­ w ej sform ułow ane w postaci w zoru algebraicznego. T w ierd ze­ niu tem u m ożna nadać dw ie różne in te rp re ta c je posługując się sposobem opisanym przed chw ilą. A zatem słow nik p rzek ład u jest tu n astęp u jący . W y rażeniu „p u n k t p rze strz e n i rzutow ej n -w y m ia ro w e j” odpow iada w yrażenie „hiperpłaszczyzna (n-1)- -w ym iarow a p rze strz e n i rzutow ej n -w y m ia ro w e j” zaś w y ra ­ żeniu „p u n k t leży n a hip erp łaszczy źn ie” — w y rażenie „ h ip e r­ płaszczyzna przechodzi przez p u n k t”. Na ty m w łaśnie polega isto ta dw oistości w p rze strz e n i P n. Oczywiście, gdyby w tw ie r­ dzeniu T w ystęp o w ały jeszcze inne pojęcia geom etryczne oprócz tw orów w ym ienionych w yżej, to przed dokonaniem p rze k ład u należałoby w p ierw znaleźć ich odpow iedniki dw o­ iste. 9.

Z asadą dw oistości odnośnie do geo m etrii rzutow ej nazyw am y tezę orzekającą, że praw dziw ość dow olnego tw ierd zen ia geo­ m e trii p rzestrzen i P n im p lik u je praw dziw ość tw ierd zen ia w zglę­ dem niego dwoistego. W ty m sform ułow aniu w yraźn ie w i­ dzim y m eta te o rety c zn y c h a ra k te r zasady dwoistości. Zasada dw oistości jest tezą o geo m etrii rzutow ej.

O becnie p rzejd ziem y do przed staw ien ia n a przy kład zie dw u tw ierd z eń z geo m etrii płaszczyzny rzutow ej isto ty dwoistości. P rz y k ła d y te pozw olą dobrze zilustrow ać m yśl zasady dw oisto­ ści i jej sens. P odane bow iem w yżej rozw ażania dla p rzestrzen i n-w y m iarow ej m ogą nie być zbyt in tu icy jn e. Toteż p rz y jrz e ­ nie się ich realizacjom w p rzy p a d k u d w u w ym iaro w y m w inno pomóc w y b itn ie i naszej w yo b raźn i p rzestrzen n ej.

Z auw ażm y ty lk o przed tem , że w p rzy p a d k u p rze strz e n i P n, m ożna m ówić i o tw o rach dw oistych i o operacjach dw oistych i o tw ierd zen iach dw oistych.

9 P or. np. K. B orsuk, G eo m e tria an a lity cz n a w ielow ym iarow a, W a r­ szaw a 19642, 281—284.

[13] Z PROBLEM ATYKI DWOISTOŚCI ₅₇

3.1. Tw ierdzenie P ascala

Niech S będzie okręgiem koła. Niech f oznacza dow olne p rzekształcenie rzu to w e p rze strz e n i P n na siebie. W ówczas f(S) nazyw am y stożkow ą zupełną. J e s t to więc obraz rzu to w y okręgu koła.

O znaczm y stożkow ą zupełną f(S) k ró tk o przez K.

W eźm y tera z n a stożkow ej zupełnej К sześć różnych p u n k ­ tów ai, a2, аз, a4, as, aß. P u n k ty te nazyw ać będziem y w ierz­ chołkam i sześciokąta w pisanego w stożkow ą K. P rzez L; oznaczam y p ro stą łączącą a; z w ierzchołkiem a ;-f-1 (jeżeli i = 6, to p rz y jm u je m y i + 1 = 1). P ro ste te n azyw am y bokam i sze­ ściokąta. Boki: L>i i L4 oraz L2 i L5 a także L3 i Lß zw iem y bokam i p rzeciw ległym i danego sześciokąta.

Zachodzi n astę p u jąc e tw ierd zen ie Pascala:

T rzy p u n k ty przecięcia p a r boków przeciw ległych sześcio­ k ą ta w pisanego w stożkow ą leżą n a jed n ej p rostej (tzw. p ro ­ stej P a s c a la )10.

T w ierdzeniu tem u m ożna przyporządkow ać tw ierdzenie dwoiste, zw ane tw ierdzen iem B rianchona. Z zasady dw oistości w ynika, że m usi ono być praw dziw e, o ile tylk o praw dziw e· jest tw ierdzen ie Pascala. I odw rotnie. Je śli udow odnim y tw ierd zenie B rianchona, to ty m sam ym m ieć będziem y dowód tw ierd zen ia Pascala. Dw a te tw ierd zen ia są bow iem w zajem ­ nie do siebie-dw oiste. W idzim y więc, że zasada dwoistości, s ta ­ now iąca sam a w sobie in te resu jąc ą tezę, może służyć do u p rasz­ czania budow y teorii, pozw alając na ekonom ię w ysiłku.

Przechodzim y obecnie do sform ułow ania tw ierd zen ia dw o­ istego w zględem tw ierd zen ia Pascala.

3.2. T w ierdzenie B rianchona

J a k p am iętam y w tw ierd zen iu P ascala b y ła m ow a o sześcio- kącie w pisany m w stożkow ą zupełną oraz o p rzecin aniu się

58 M. LUBAN SKI [14]

p a r boków p rzeciw ległych w p u n k tach , k tó re leżą n a jednej prostej.

W celu o trzy m an ia tw ierd zen ia dw oistego należy dokonać odpow iedniego p rzek ład u , zastęp u jąc dane tw ory , operacje, w yrażenia przez ich dw oiste odpow iedniki.

Z am iast sześciokąta w pisanego w stożkow ą bierzem y sześcio- k ą t opisany n a stożkow ej. N iech teraz L i, L 2, L3, L4, Lg, Lg będą stycznym i do danej stożkow ej zupełnej K. P am iętam y , że przez styczną do d an ej stożkow ej К rozum iem y ta k ą prostą, leżącą w płaszczyźnie rzu to w ej P 2, k tó ra posiada za stożkow ą dokładnie jed en p u n k t w spólny, zw any p u n k tem styczności. P rzez b; oznaczam y p u n k t przecięcia boku Li z bokiem L; -f j. P u n k ty b i, b 2, Ьз, b4, Ьэ, bg n azy w am y w ierzchołkam i sześcic- k ą ta opisanego n a danej stożkow ej K. W te n sposób o trz y m u ­ jem y trz y p ro ste w yznaczone przez przeciw ległe w ierzchołki, tj. przez w ierzchołki b i i b4, b2 i bg, Ьз i bg. O znaczam y te p ro ­ ste B i, B2, B3. Zgodnie z zasadą dw oistości pro ste Βχ, B 2, B3

przecin ają się w jed n y m punkcie. I to jest w łaśnie treść tw ie r­ dzenia B rianchona. T w ierdzenie to m ożna słow am i w ypow ie­ dzieć n astęp u jący :

T rzy proste, łączące p a ry przeciw ległych w ierzchołków sze- ścioboku opisanego n a stożkow ej, przecin ają się w jed ny m punk cie 11.

Nie jest rzeczą tru d n ą spraw dzić, że dokonany p rzek ład jest p rzek ład em dw oistym . K orzystano tu z faktów m ówiących,, że tw o rem dw oistym do danej stożkow ej zupełnej jest zbiór stycznych do pew nej innej stożkow ej, że w ierzchołkom sześcio­ k ą ta w pisanego w stożkow ą o dpow iadają «styczne stanow iące sześciobok opisany n a stożkow ej (innej), że parom boków p rze ­ ciw ległych odpow iadają p a ry w ierzchołków przeciw ległych, że trz e m p u n k to m leżącym n a jed n ej p rostej odpow iada p rz e ­ cinanie się trzech p ro sty ch w jed n y m punkcie 12.

11 Tam że, 293.

[15] Z PROBLEM ATYKI DW OISTOŚCI 59

4. Dwoistość w analizie funkcjonalnej

Pojęcie p rze strz e n i liniow ej (zwanej także p rze strz e n ią w ek­ to ro w ą)' je s t podstaw ow e dla analizy fu n k cjo n aln ej. Z tego w zględu p rzy p o m n im y je tu ta j n ajpierw .

Niech С będzie ciałem liczb rzeczyw istych bądź zespolonych. Zbiór n iep u sty E n azy w am y p rze strz e n ią liniow ą, jeżeli w zbio­ rze ty m są określone dw a działania, m ianow icie dodaw anie elem entów zbioru E oraz m nożenie ich przez liczby z ciała C, p rz y czym działania te nie w y p ro w adzają poza zbiór E i speł­ nione są n a stę p u jąc e p ro ste w aru n ki:

!

X l + X2 = X2 '+ X i, (xi h Хг) + Хз = 'X l + (X2 + Хз)>

x + Xi = x + x2 pociąga za sobą χχ = x 2,

a (xi + x 2) = a x i + a x 2, (ai + a 2) x = a ix + a2x,

(aia2)x = ai(a2x), lx = x.

We w zorach pow yższych a, aj, a2 oznaczają elem en ty ciała C, zaś x, x b x2 — elem en ty zbioru E. W yrażenie ax nazyw am y iloczynem liczby a przez elem en t x. Z założenia ax je s t ele­ m en tem zbioru E.

Jeżeli С je s t ciałem liczb rzeczyw istych, to p rze strz e ń linio ­ w ą E zw iem y p rze strz e n ią liniow ą rzeczyw istą. Jeżeli n a to ­ m iast С je s t ciałem liczb zespolonych, to p rze strz e ń E zw iem y p rz e strz e n ią liniow ą zespoloną.

N ietrud n o je st zauw ażyć, że pow yższą definicję m ożna sfo r­ m ułow ać następująco:

P rz estrz e n ią liniow ą (rzeczyw istą w zględnie zespoloną) n a­ zyw am y zbiór E, w k tó ry m są określone' dw a działania: do­ daw anie elem entów zbioru E oraz m nożenie ty ch elem entów przez liczby (rzeczyw iste w zględnie zespolone), p rzy czym spełnione w inn y być n a stęp u jące w arunki:

1° zbiór E je s t g ru p ą abelow ą ze w zględu na działanie do­ daw ania,

60 м. l u b a n s k i [16] 3° iloczyn jedności przez dow olny elem en t zbioru E jest ró w n y tem u elem entow i,

4° działanie m nożenia elem entów przez liczby je st łączne, p rzem ienn e i rozdzielne (ze w zględu n a liczby i elem en ty zbioru E) w stosunku' do działania dodaw ania.

Ja k o p ro sty p rzy k ła d p rze strz e n i liniow ej m ożna podać zbiór w szystkich fu n k cji określonych n a dow olnym zbiorze a p rzy jm u ją c y ch w arto ści liczbowe. D odaw anie fu n k cji i m no­ żenie ich przez liczbę określa się w zw ykły sposób jak dla fu n k cji o w artościach liczbow ych zm iennej liczbow ej.

In n y m i p rzy k ład am i p rze strz e n i liniow ych m ogą służyć: zbiór liczb rzeczyw istych oraz zbiór liczb zespolonych.

P rz ed sta w im y obecnie pew ne p ro ste pojęcia definiow ane dla p rze strz e n i liniow ych, k tó re pro w adzą do dw oistości w zakresie analizy fun k cjo n aln ej.

4.1. L iniow a niezależność i pełność u k ład u w ek torów

N iech dan a będzie p rze strz e ń liniow a E. N iech X; b ę ­ dzie elem en tem p rze strz e n i E, zaś a; elem en tem ciała С (dla i ·= 1, 2, . . . , k). W yrażenie postaci u = a ix i + . . . + a kx k n a ­ zyw am y liniow ą k o m bin acją elem entów (zw anych p u n k tam i bądź w ektoram i) x ; o w spółczynnikach aj. Jeżeli w szystkie w spółczynniki a; d anej ko m b in acji liniow ej w ek torów p rze ­ strzen i E są rów ne zeru, to tak ą k om binację zw iem y try w ia ln ą. W w y p ad k u przeciw n y m zw iem y n ie try w ia ln ą 13.

U kład w ek to rów x j (i = 1, 2, . . . , k) nazy w a się u k ładem liniow o niezależnym jeżeli w szystkie jego n ietry w ialn e kom ­ binacje liniow e są różne od zera. Inaczej m ówiąc, u k ład w ek ­ torów je s t liniow o niezależny, jeżeli ze znik ania kom binacji liniow ej w y n ik a znikanie w szystkich jej w spółczynników . J e ­

13 Zob. np. A. A lexandrow icz, A naliza fu n k c jo n a ln a , W arszaw a 1969, 51—52 oraz I. M. G lazm an, Ju . I. Lubicz, K o niecznom iernyj lin iejn y j

[17] Z PROBLEM ATYKI DW OISTOŚCI 61 żeli w e k to ry X; nie są liniow o niezależnym i, to n azy w am y je liniow o zależnym i.

O toczką liniow ą u k ład u w ektorów X n azy w am y zbiór w szyst­ kich k om binacji liniow ych w ek to rów u k ład u X. Otoczkę u k ła ­ du X oznacza się przez L(X). P o d u k ła d X0 u k ład u X nazyw a się pełn y, jeżeli każd y w e k to r u k ład u X je s t kom binacją liniow ą w ektoró w p o d u k ład u X 0, czyli gdy u k ład X je s t za w a rty w li­ niow ej otoczce p o du k ład u X 0.

Zachodzą n a stę p u jąc e tw ierdzenia:

(1) K ażdy po d uk ład liniow o niezależnego u k ład u w ektorów je st liniow o niezależny.

(2) K ażdy p o d u k ład zaw ierający u k ład p e łn y w ek torów jest p ełny m u k ład em w ektorów .

T w ierdzenie (1) m ożna p rzeredagow ać do postaci:

(1) K ażdy p o d u k ład zaw ierający się w liniowo niezależnym układzie je s t liniow o niezależny.

Jeżeli tera z w ty m zm ienionym sform uło w aniu tw ierd zen ia (1) zastąp im y w y rażen ie „zaw ierający się” przez w yrażenie „z aw ierający ” oraz w yrażen ie „liniow o niezależny u k ła d ” przez w y rażenie „u k ład p ełn y w e k to ró w ”, to wówczas tw ie r­ dzenie (1) przejdzie w tw ierd zen ie (2). Ten fa k t w y rażam y mówiąc, że tw ierd zen ia (1) oraz (2) są w zględem siebie dwoiste. N adto i podane w yżej w y rażen ia w cudzysłow ach m ożna u w a ­ żać za dw oiste w zględem siebie ł4.

Z pow iedzianego w idać, że s tr u k tu ra fo rm aln a obu tw ie r­ dzeń je st identyczna. Można je zapisać w jed n ej sym bolicznej postaci, p rzy czym każde ze w spom nianych tw ierd zeń może być tra k to w a n e jako podstawienie; jednego i tego sam ego sche­ m atu. Nie je s t to jed n a k zw ykłe ty lk o podstaw ienie. Posiada ona bow iem cechę „w zajem ności” m iędzy elem entam i p o d sta­ w ianym i.

14 Por. I. M. G łazm an, Ju . I. Lubicz, K o niecznom iernyj lin iejn y j a n a ­ liz, M oskw a 1969, 13-—14.

62 M. LUBANSKI _[18]

4.2. Baza u k ład u w ektorów

N iech d an y będzie u k ład w ek to ró w x i, х г Xk p rz e strz e ­ ni E. M ówim y że u k ład ten stanow i bazę p rze strz e n i E, jeżeli każd y elem ent p rze strz e n i E d aje się w jeden ty lk o sposób p rzed staw ić w postaci ko m b in acji liniow ej w ekto ró w x; (i = 1, 2 , , k), tj. dla każdego x E zachodzi wzór: x = a kx i + t a2X2 + . . . + a kx k, p rzy czym p rzed staw ienie to jest jedno tylko.

Zachodzą n a stę p u jąc e tw ierdzenia:

(3) N a to, aby u k ład w ek to rów był bazą p rze strz e n i p o trzeb a i w ystarcza, żeby on uk ład em liniow o niezależnym i zarazem m aksym alnym , tj. by nie zaw ierał się w żadnym podukładzie liniow o niezależnym .

(4) Na to, ab y u k ład w ektorów b y ł bazą p rze strz e n i p o trzeb a i w y starcza, żeby był on u k ład em p ełn y m i zarazem m in im al­ nym , tj. by nie zaw ierał żadnego p o d u k ład u pełnego.

Bez tru d u zauw ażam y dwoistość tw ierd z eń (3) oraz (4). W y­ starczy zastąpić w zajem nie w y rażen ia „u kład liniow o n ieza­ leż n y ”, „u k ład m ak sy m a ln y ”, „zaw ierać się” przez w y ra ż en ia „u k ład p e łn y ”, „u k ład m in im a ln y ”, „zaw ierać” ab y z p ie rw ­ szego z ty c h tw ierd zeń otrzym ać d ru g ie i odw rotnie.

Zw róćm y uw agę n a to, że bazę p rze strz e n i m ożna jeszcze określić jak o u k ład w ek to ró w posiadających dw ie cechy: linio­ w ą niezależność oraz pełność. Stąd, oraz z w yżej pow iedzia­ nego, w ynika, że pojęcie bazy je s t dw oiste w zględem siebie samego.

Uw aga, podana n a końcu poprzedniego p a ra g ra fu , może być tak że i w ty m m iejscu pow tórzona. Zezw ala jedn akże ona n a m ałe uzupełnienie przez w y p u n k to w an ie fa k tu istn ien ia pojęć dw oistych w zględem siebie sam ych.

4.3· P o d p rzestrzen ie m aksym alne i m inim alne

P rzy p u śćm y że d an a jest p rze strz e ń E. P rzez A oznaczm y klasę złożoną z p o d p rzestrzen i p rze strz e n i E. Niech Aj będzie

[19] Z PROBLEM ATYKI DW OISTOŚCI ₆₃

elem en tem k lasy A. O znaczam y przez W pew ną w łasność, k tó ra p rzy słu g u je w szystkim elem entom k lasy A.

Pow iem y, że p rze strz e ń Aj je s t m ak sy m aln a ze w zględu na w łasność W, jeżeli nie zaw iera się ona w żadnej innej p rz e ­ strzen i z k lasy A. P rz estrz e ń A, n azy w am y m inim alną ze w zględu na w łasność W, jeżeli nie zaw iera opa żadnej innej p rze strz e n i z k lasy A.

Jeżeli p rze strz e ń Aj zaw iera każdą p rze strz e ń z rodziny A, to nazyw am y ją najw ięk szą p rze strz e n ią ze w zględu n a w ła ­ sność W. Je śli p rze strz e ń Aj je s t z a w arta w każdej przestrzen i k lasy A, to zw iem y ją n ajm n iejszą p rze strz e n ią ze w zględu na w łasność W.

P raw dziw e są n astę p u jąc e tw ierdzenia:

Na to, aby p rze strz e ń m ak sy m aln a Aj b y ła n ajw ięk szą p rze ­ strzen ią potrzeb a i w y starcza ab y b y ła jed y n ą m in im aln ą p rze ­

strzenią.

Na to, aby p rze strz e ń m in im aln a Aj b y ła n ajm n ie jszą p rze ­ strzen ią po trzeb a i w ystarcz aaby b y ła jed y n ą m in im aln ą p rze ­ strzenią.

J e s t widoczne, że podane tu pojęcia różnych rodzajów p rz e ­ strzen i są dw oiste. Także dw a tw ierd z en ia w yżej nieco zacy­ tow ane są w zględem siebie dw oiste 15.

W arto może przypom nieć, że w klasie p rze strz e n i A zawsze istn ieje p rze strz e ń m ak sy m aln a oraz m inim alna. N atom iast p rzestrzen ie najw ięk sza oraz n ajm n iejsza nie zawsze m uszą istnieć.

Jeżeli w klasie A istn ieje p rze strz e ń najw iększa, to je s t ona jednocześnie i m aksym alna. Podobnie, jeżeli w klasie A ist­ n ieje p rze strz e ń n ajm n iejsza, to je s t ona m inim alna. Nie je s t jed n ak odw rotnie, ja k o ty m pouczają nas pow yższe tw ierd ze­ nia. K lasa p rzestrzen i A może posiadać w iele p rze strz e n i m a­ ksy m alny ch i w iele p rzestrzen i m inim alnych. Ż adna z p rz e ­ strzen i m ak sy m aln y ch nie będzie w ów czas najw ięk szą p rz e ­ strzen ią an i żadna z m inim alnych, nie będzie p rze strz e n ią n a j­ m niejszą.

64 M. LUBAfJSKI [ 2 0 ]

Niech d an a będzie p rze strz e ń liniow a E. P rzez E ’ oznaczam y p rze strz e ń z n ią sprzężoną tj. p rze strz e ń złożoną z fu n k cjo n a ­ łów liniow ych 18 określonych n a E.

W ek to r x p rzestrzen i E oraz fu n k cjo n a ł f określony n a E n a ­ zyw ają się w zajem n ie o rtogonalnym i, jeżeli f(x) = O.

Niech В będzie p od p rzestrzen ią p rze strz e n i E. D opełnieniem o rtogonalnym p o d przestrzeni В nazy w am y zbiór w szystkich ty c h fu n k cjo nałó w f należących do E ’, k tó re są ortogonalne do każdego w e k to ra p o d p rzestrzen i B. A nalogicznie, w sposób dw oisty, określa się dopełnienie ortogonalne podprzestrżeni

B ’ zaw artej w E ’.

O trzy m u jem y w ten sposób p a rę pojęć dw oistych. J e s t w i­ doczne, że dopełnienie o rtogonalne dow olnej podp rzestrzeni (E w zględnie E ’) jest n ajw iększą p o d p rzestrzen ią (odpow ied­ nio w E ’ w zględnie w E) o rtogonalną do danej podprzestrzeni. Dwoistość dopełnienia ortogonalnego w om aw ianym p rzy p ad k u p ły n ie stąd, że w e k to r oraz fun k cjo n ał sp ełn iają w a ru n e k o rto - gonalności w sposób dw oisty. Jeżeli zachodzi rów ność f(x) = O, to i w ek to r je s t ortog on aln y do fu n k cjo n ału oraz funkcjonał je s t orto g o naln y do w e k to ra 17.

Można m ówić tak że o ortogonalności po d p rzestrzen i (odpo­ w iednio z E oraz z E ’). M ianowicie, niech В będzie podprze­ s trz e n ią E, zas B ’ — po d p rzestrzen ią E ’. Pow iem y, że В oraz B ’ są w zględem siebie ortogonalne, jeżeli dla każdego x f В oraz dla każdego f ε В ’ zachodzi w zór f(x) = O, czyli gdy x oraz f są w zajem n ie ortogonalne. W te n sposób uzy sk u jem y dalsze po­ jęcie dw oiste, m ianow icie' ortogonalność dw u p o dp rzestrzeni (z p o d przestrzen i w zględem siebie sprzężonych).

4.4. D o p e łn ie n ie o r to g o n a ln e p o d p r z e str z e n i

16 F u n k cjo n a łem nazyw am y odw zorow anie, określone n a p rze strzen i liniow ej, p rzy jm u jąc e w arto śc i liczbowe. F u n k c jo n a ł f nazy w a się li­ niow ym , jeżeli sp ełnione są n a stę p u ją c e dw a w a r u n k i1 f(x i + x 2) = = f(xi) + f(x 2) i f(ax) = af(x).

[21] Z PROBLEM ATYKI DWOISTOŚCI

5. Uwagi końcowe

P rz y g lą d a ją c się podanym w ty m a rty k u le pojęciom oraz tw ierdzeniom , k tó re odnoszą się do p ro b le m aty k i dwoistości, m ożna zauw ażyć przy n ajm n iej n a stę p u jąc e rzeczy. A więc, po pierw sze, stw ierd zam y różnorodność sy tu acji, do k tó ry c h daje się odnosić pojęcie dwoistości. D w oiste b y w ają obiekty, a k sjo ­ m aty, operacje, tw ierdzenia, pojęcia. W szystko to może być zaliczone do dw oistości rozum ianej jak o w e w n ętrzn a w łasność m ająca m iejsce w teo rii m atem aty czn ej. A le to nie je s t w szyst­ ko, bow iem zupełnie uzasadnione je s t spojrzenie n a w spom ­ niane pojęcie jak o n a w łasność sam ej teorii, zatem jako na w łasność m etateo rety czn ą. P o jaw iałb y się więc w ten sposób p o stu la t sp o jrzen ia n a p ro b lem aty k ę zw iązaną z dw oistością z p u n k tu w idzenia m etateoretycznego. Tak jak m ówi o te ­ oriach niesprzecznych, ro zstrzy g aln ych , k ateg o ry czn y ch itp., podobnie w y d aje się być w łaściw e zapoczątkow anie m ów ienia o teorii dw oistej. J e s t to jed n a k te m a t odpow iedni do oddziel­ nego u jęcia i opracow ania. W ty m m iejscu d aje on się ty lk o zasygnalizow ać.

D alsza spraw a, ja k a tu się n asuw a, to pro blem zbadania w sposób m ożliw ie w y czerp u jący a zarazem ogólny, cechy „w zajem ności”, z k tó rą m a się do czynienia w p rz y p a d k u dw oistości (por. np. § 4.1). Ścisłe ujęcie tej cechy pozw oli do­ trzeć do „ is to ty ” dwoistości.

W szystko, co było do tej p o ry pow iedziane, upow ażnia do w y rażen ia prześw iadczenia, iż pojęcie dw oistości posiada cha­ ra k te r pojęcia analogicznego. P o d k reślen ie tej sp ra w y w y d aje się być, z. filozoficznego p u n k tu w idzenia, w ażne i ciekawe. I, zapew ne, nie ty lk o z filozoficznego p u n k tu w idzenia.

Z u r D u alitätssp ro b lem atik in d en form alen W issenschaften (II)

D er A rtik e l b e tra c h te t die fu n d a m e n ta le n E lem en te d e r D u a litä ts­ p ro b lem atik in d er M a th em atik . In sb eso n d e re gilt u n se re A u fm erk sam ­

66 M. LUBAŃSKI [22]

k e it der u n iv e rsa le n A lgebra, p ro je k tiv e n G eom etrie und. F u n k tio n a l­ analysis.

Im B ereiche d er u n iv e rsa le n A lg eb ra d isk u tie rt m a n die D u a litä t d er A xiom e un d T hesen; h ie r w ird auch d er B egriff d er d u a le n K a te ­ gorie gegeben. Es bezeichne К eine gegebene K ategorie. Die d u ale K a ­ tegorie K & d e fin ie rt m a n w ie folgt. Die O b jek te d er K ateg o rie K & sind O b jek te A &, w elche sich in e in -e in d e u tig e r R e la tio n m it den O b jek ten А d er K ate g o rie К befinden. D ieses sch reib en w ir in d e r F orm : A & A. A nalog, die M orphism en d er K ateg o rie K & sind die E lem en te a &, w elche sich in 1— 1 R e la tio n m it d er M orphism en a der K ate g o rie К befinden. D ieses sch reib en w ir so: a & a. M an se tzt noch v o rau s, dass die B edin­ gung a: A_>B d an n un d n u r d an n gilt, w enn die B edingung a: B_>A gilt, un d au sserd em ist die M u ltip lik a tio n a & b & d e fin ie rt d an n un d n u r d an n , w en n die M u ltip lik a tio n b a d e fin ie rt ist un d gleichzeitig die F o r­ m el: a & b & = (ba)& gilt. In d er K ate g o rien th e o rie k a n n m a n auch ü b e r die du alen O p eratio n en sprechen.

Im B ereiche d e r p ro je k tiv e n G eo m etrie illu s trie r t m a n die D u ali­ tä tsp ro b le m a tik an zw ei B eispielen, näm lich an dem S atz von P ascal und an dem S atz von B rianchon. A n je n e r S telle u n te rs tre ic h t m a n auch den m e ta th e o re tisc h e n A sp ek t des B egriffes d er D u alität.

Im B ereiche d er F u n k tio n a n a ly sis o p e rie rt m a n m it versch ied en en "Begriffen w ie: lin e a r u n ab h ä n g ig e s V ektorsystem , V o llstän d ig k e it eines V ektorsystem s, Basis eines V ektorsystem s, m a x im a le r u n d m in im a le r U n te rra u m , orthogonaes K o m p lem en t ein es U n te rra u m e s. D iese B e­ g riffe sind in einem lin e a re n R aum d e fin ie rt un d sind B eispiele fü r die D ualität. E ine M enge h eisst ein lin e r a re r R aum , w en n in ih r zwei O p eratio n en d e fin ie rt sind, näm lich : die A ddition d er E lem ente der M enge E u n d die M u ltip lik a tio n d e r E lem en te von E m it ree llen (oder kom plexen) Z ahlen so, dass die n a c h ste h en d e n B edingungen e rfü llt sind: 1° E ist eine a d d itiv e abelsche G ruppe, 2° Die M u tliplikatiori f ü h r t n ic h t aus E h era u s, 3° Das P ro d u k t des E inselem entes m it einem b eliebigen E lem en t d er M enge E ist gleich diesem E lem ente, 4° Die M u ltip lik a tio n d e r E lem en te m it den Z ahlen ist assoziativ, k o m m u ta ­ tiv un d d istrib u tiv (bezüglich d er Z ah len u n d E lem en te d er M enge E) h in sich tlich d er A ddition. M an b em erk t, dass die fo rm a le S tr u k tu r d er d u a le n S atze dieselbe ist. Die S ätze sind E x em p lifizieru n g en eines und diesselbes S chem ates u n te r d er V orau ssetzu n g der ,,W echselbedin­ gu n g ”.

Es scheint, dass die E rfo rsch u n g d e r „W echselbedingung” im allge­ m ein en F alle den Ü b erg an g zu dem „W esen” d er D u a litä t e rla u b t.

Die D u a litä t sc h ein t m in d e ste n s zw ei A sp ek te zu b esitzen: ersten s einen in n e re n , d er die O b jek te d er T heorie b e trifft, zw eitens, einen

[23] Z PROBLEM ATYKI DW OISTOŚCI 67

e x te rn e n , m e tath e o re tisc h e n , d er sich a u f die E igenschaften d er T h eo ­ rie bezieht. M an k an n m ein en , dass die g e n a u ere A u sarb eitu n g dieser P ro b le m a tik n ic h t ohne Ziel sein w ird . A lso so llte es d o rt um die „d u ­ a le ” B e tra c h tu n g d er D u a litä tsp ro b le m a tik gehen.

A ll diese B e m e rk u n g e n erla u b e n uns zu d er S ch lu ssfo lg eru n g zu gelangen, dass w ir im F alle d er D u a litä t m it dem B eg riff des a n a lo ­ gen C h a ra k te rs Z u sam m entreffen w erd en . Das ist w ah rsch e in lich in te ­ r e s s a n t f ü r die W issenschaft als au ch f ü r die Philosophie.