• Nie Znaleziono Wyników

Badania nad metodą dyskretnych warstw wirowych

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "Badania nad metodą dyskretnych warstw wirowych"

Copied!
8
0
0

Pełen tekst

(1)

ZESZYTY NATJKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ Seria: ENERGETYKA z. 87

m i

Nr kol. 806

Henryk KUDELA

Instytut Techniki Cieplnej i Mechaniki Płynów Politechniki Wrocławskiej

BADANIA NAD METOD* DYSKRETNYCH WARSTW WIROWYCH

S t r o s z c z e n i e : V pracy zbadano d oś wi ad c za ln ie wpływ wartości pa­

r a m e t r ó w n um er y c z n y c h w y s t ę p u j ą c y c h w me to dz i e w ar st w wirowych na dokładność wyników. Otrzymane rozwiązania porównano ze zna­

ny mi ro związaniami dokładnymi. Zbadano w p ły w zjawisko, oderwania się warstwy przyściennej na jakość otrzymyw an yc h wyników.

1 • W stęp

V pracy [3] C h o r i n p o d a ł nu me ry c z n ą metodę, zwaną m e todą kropel wiro­

w y c h / pa t rz [7] / y p r ze zn ac z on ą do mo d elowania p r z ep ły wó w z dużymi liczba­

mi Rey no ld s a / m a ły mi wa rtościami -współczynniki lepkości/. Istotną własnoś cią m e t od y jest br a k w oblic ze n ia ch siatki numerycznej, '..'prowadza ona zw ykle do obliczeń. tzw, lepkość numeryczną, która moż e być togo samego rzędu co lepkość cieczy. M e to da k r o p e l w i r ow y ch posiada jednak pewne wa­

dy, do k t ó r y c h n al e żą długie czasy o bl ic zeniowe /liczba działań w jednym k r o k u czasowym jest p r o p o rc j on al na do k w a dr at u liczby w i r ó w / i powolna zbieżność roz wi ąz a ń w pobl i żu ściany • Próbą przezwy ciężenia ty cii wad jest metoda w a r s t w w i r o w y c h również za proponowana przez Chorina [/ł] . Odbywa się to jednak k o s z t e m u p ro sz cz e ń równ a ń ruchu cieczy. Metoda w a r s t w wi ro w y c h służy do rozwiąz y wa ni a równań wars t wy przyściennej Prantla. Ce le m obecnej pracy by ło do św i ad cz al n e zbadanie wpły wu wartoś­

ci p a r a m e t r ó w n u m e r y c z n y c h w y s t ę p u j ą c y c h w met od z ie warstw* wir ow yc h na d okładność o t r z ym yw an y ch wyników, a pona dt o zbadanie jak zjawisko oder­

wania w a r s t w y prz y śc ie nn e j wp ływa na otrzymywane wyniki.

2. Krótki opis i wy pr owadzenie letody w a r s t w wi rowych Vi1

R ó w n a n i a wars tw y przyściennej v formie równań transportu wirowości w r a z z r ó w n an ie m ciągłości mają postać:

a t § + ( i i - v) E, = v a y y § (

1

)

gdzie

3^u + 8y v = 0, (2)

5 = - 3 y U (3 )

a 3(.) oznacza różnicz ko wa ni e po zmiennej (.) , V - opera to: gradientu, V - k in e ma t y c z n y ws pó łc z y n n i k lepkości, u =(u,v) - wektor prędkości, kto-

(2)

286 H. Kudela

ro«;o składowa u jest prędkością styc zn ą do ściany, a v składową normalną, L ' x jest skierowana stycznie do ściany, a oś y p ro st o p a d l e do niej. Zak­

łada s j ^ , ¿o ściana znajduje się na dodatniej pó łosi x /y=0/, a ciecz w ypełnia całą półpłaszczyznę y > 0 . W a r u n k i g r a n ic z ne są następujące:

u = 0 dla y = 0 , x > 0 (4)

u = ( U . , 0) dla y = oo (5)

W metodzie wars tw w i r o w y c h w yk o rz y s t u j e się tzw. algo r yt m r o zs zc z ep ie ­ nia, zgodnie z k t ó r y m równanie g łó wn o rozkłada się na sumę d wó ch równań elementarnych. R o zw ią za n ie ot rz y mu je się przez k o l e jn o rozwiązy wa n ie rów­

nań elcmentarnych. n a s z y m pr zy pa dk u równanie (1) rozkłada się na rów­

nanie Eulera / V =0/ oraz równanie dyfuzji. R ó w n a n i e E u le r a rozwiązuje się w z m ie nnych Eagrange*a, w pr ow a d z a j ą c do o b l i cz eń elementy wirow e zwane dalej warstwami wirowymi. R ó w n a ni e dyfuzji n a to mi as t rozwiązuj©

się metodą przy p ad ko we g o błądzenia, dodając do składowej deterministycz­

nej położenia warst w y wirowej, losową o rozkła d zi e Gaussa z odpowiednio dobranymi parametrami. R ównania E u le ra w zm ie n ny ch L a g r a n g e ’a opisujące p rz em ieszczenie infinitezy ma ln e j cząstki cieczy mają postać:

dx

dt = H <61

Jak wiadomo, powy żs z e r ównanie opisuje również ruch w a r s t w wirowych. Je­

żeli do zaaproksymowania równań (ó) użyjemy ilorazu różni c ow eg o w przód, to algorytm p r ze mi eszczania w a r s t w w i r o w y c h już z u w z g l ę d ni en ie m skład­

nika losowego symulującego lepkość ma postać:

x . n+1 = x. + A t • u (?)

x x v 7

n + 1 n _

y i = y i + *V + ? •

gdzie = x. (n-ńt) , x^ = ( x ^ i y , At - k r o k czasowy, ^ - zmienna lo­

sowa o rozkładzie Gaussa z war to śc i ą średnią E [ "?]= 0 i w a r i a nc ja var[ ę] = 2-\>At. Prawą stronę równań (6) można wyrazić poprzez wrirowość (3), p osługując się wzor am i (3 } i (2) następująco:

00

u(x,y) = U«, (x) -

J

§ (x,y) dy (8)

y

yf

V (x,y) = - a y | u(x,y) dy ¡9)

V m etodzie w a rs tw w i r o w y c h wir ow oś ć zastępowana jest z b io re m nie obraca­

jących się równoległych do osi x odc i nk ów / w a r s t w wir ow y ch / o długości h i intensywności 5 . równej różnicy p r ę d ko śc i n a d w a rs t wą i p o d warst wą

S j = u nad " Upod- T a k w i ? c:

S

(x,y)

= Z g j S

(y

_ yj) IjU),

(10)

gdzie 5 (y) jest deltą Diraca, a “X funkc ją c h ar a kt er ys t yc zn ą równą jedności, gdy x

£.[x^-li/2

,x

^+h/2

1 , a poza tym równą zero.

(3)

Śred n ią p r ę d k o ś ć ( z jaką porusza się i-ta warstwa w kie ru n ku osi X, można ob liczyć w st a wi aj ąc w y r a że ni e (10) do w z o r u (8):

,xifh/2 -

Uj = U „ l x ) - -i- (

Z

l>j ^ l y - y j )

X

i l X ) dy ) d x

ZX:-h/2 Ju- i

B a d a n i a n a d m e t o d ą d y s k r e t n y c h w a r s t w w i r o w y c h 2 g 7

y\ >

-U.(x) - i / 2 Bi - S g j d j . m i

gdzie sumowanie odbywa się po wszystk ic h warstwach, dla k t ór yc h y.^>y^ j oraz O ^ d . ^ 1 , d .= 1 - |x. -x . | /h. Po jawienie się składnika 1/2 Jf. można wytłu-

— «3 I rJ \ f \

raczyć n a s t ę p u j ą c o : w ia do m o, żo J^ó(t)=1, gdy t e(t1 , t^J , na tomias t , gdy t = t 1 a rb it r al ni e można przyjąć, że całka ta jest równa 1/2.Składową aprok- symuje się ilo ra ze m centr al n ym

( ą - O y Ą jdzie I

(1 2)

+ są pcczybliżonyrai wartościami J u (x 1 h / 2

)

dy O

I+ = ^ fxi 1 h/2J - £ + 5 j V j * 1

d j = 1 "lx i 1 h/z ' x j 1 / h

y * = min (yi)yj),

a sumowanie Z!+ ( o d p . 2 _ ) odbywa się po w s z y s t k i c h w a r s t w a c h takich, że d j+ ^ 1 (d j_ ^ 1 ^ * W a r u n k i b r z e g o w e u(x,y =00) = Uot>(x) oraz v(x,y = 0 )= 0 spełnione są automatycznie. Dla spełnienia w a ru n ku u-s = 0 , gdzie s jest w e k t o r e m jedn os tk o wy m s t y cz ny m do ściany, na ścianie odbywa się

■proces generacji w a r s t w wirowych. Zakłada się, że pole pr ędkości jest antysymetry czne u (x,-y)= - u(x,y) / s t ą d g (x,-y) =_§(* ,y)/. Jeżeli

u (x >^)~u 0 / 0» w z dł uż ściany tworzy się war st wa wirowa o jednostkowej i ntensywności równej 2 u q , k t ó r ą dziel i się na odcinki o długości h i poz­

wala się tym o dcinkom dyfund ow a ć w obszar przepływu. Dla lepszego odtwo- rżenia p r oc e su dyfuzji pr og ra m o w o zapewnia si(4 , aby każda generowana w a r ­ stwa miała intensywność nie więk s zą od z góry zadanej liczby . y

^niax miejsce pojed yn cz ej w a rs t wy tworzy się więc pewną /patr zy s tą / liczbę w a r s t w 2 - 1 tak, aby ¿ 5 % 2 u q , 2 1 = | > u „ ajj + 1 , gdzie [ ] oznacza

i=1 J część całkowitą wyrażenia.

•./a r un ek J" (x, -yJ =^(x,y) uwz gl ęd n ia ny jest poprzez zwracanie do cieczy w ar st w wirowych, k tó re prze k ro cz ył y ścianę i przeszły do dolnej półpłasz- czyzny y < 0 . Dla zmniejszenia w a r i a n c j i otrzymy w an yc h wyni kó w C ho r in zastosował procedurę "koncówkowania" /szczegóły patrz [^3, [ 0 / * 3« Bad a ni a n umeryczne

3*1« Uwagi wstępne

Do obliczeń wykorzystano, po n ie wi e l k i c h zmianach, p r o gr am Chorina zadokumentowany pr z ez Cheera [ 0 • O bliczenia były p rowadzono koni ec z­

ności dla skończonego odcinka płytki, tzn. dla 0 ^ x ^ a . Aby uniknąć

(4)

283 B. Kudela p rz eciwnych do k i e r u n k u prz ep ły w u ni e po ż ą d a n y c h odd z ia ły wan C h o r i n zap- proponował n as tępującą procedurę*: warstwy wirowe, k tó re przekroczyły x = a f są z obliczeń eliminowane, a* warstwy, k t ó r y c h środki znalazły się w pasku [a-2h, aj,dozna ją ruchu k o n w e kc y jn eg o tylko w k i e r u n k u osi x. W obocnej pracy przyjęto a=1,4. Jałto pi er w s z e rozw ią zy w an o zagadnienie formowania się warstwy p rz yś ciennej nad płask ą płytką, gdy zewnętrzne pole prędkości jest stałe (x ) = U Q • S ta cj o n a r n y m r o z w ią za ni e m takie­

go zagadnienia jest dla (1) -(5) dobrz e znany profil Bla si us a [9 , s . 1 3 4 ], N as tę pn i e rozwiązywano' zagadnienie, w k t ó r y m zewnętrzna prędkość zmie­

niała się jak Utso(x)= U Q - bx , U ^ O , b > 0 . Z a gadnienie to by ło roz­

wiązywano przez llowarthfa [ó] m e to dą rozwinięć asymptotycznych, Do obec­

nej pracy rozwiązania, k t ór e bę dziemy uważali za dokładne, zaczerpnięto 2 [7 s. 598] . Dozwiązania tg zależą od dwóch bezwymiarowych zmiennych x * = - ~ oraz 2 = 1/2- y • W e d ł u g H o w a r t h ’a dla x * = 0,12 za- chodzi ooderwanie warstwy przyściennej. Do o b l i c z e ń p r z y ję t o najpierw rozkład 1- 0,0 7 5 x, dla k t ó re g o pu nk t oderwania p rzypada dla x-1,6 , czyli poza rozp at ry w an ym obszarem, a n a s t ęp ni e U ^ x ) = 1 -0 ,2 3 x, gdzie punkt oderwania przypada dla x = 0 ,5 1 , tzn. wewnątrz rozpatrywane­

go obszaru. Celem zmniejszenia b ł ę d u statyst yc z ne go ro zk ła dy prędkości uśredniano po 20 k r o k a c h czasowych. J e ż el i i nt en sywność no w o pow st aj ą ­ cej warstwy była mn iejsza od z góry zadanej liczby £ o , to w a rs t wa ta była pomijana. K obecnej pracy p r z yj ę to = ^^-^niax'

3.2. Wyniki numeryczne

Parametrami, który mi można w p ł yw a ć na p r oces obliczeniowy, są: § a a x t h i A t . uf pracy i 5l Chor in podał, że dla uniknię ci a oscylacji rozwiązań należy przyjmować A t i h, D laej p r z yj ęt o w e w s z y s t k i c h eksperym e nt ac h

A t = h i oznaczono jedną literą r /At=h=r/. D o bó r Ę oraz r jest max

k o m p ro mi so m pomiędzy dokładnością a cz asom trwania obliczeń. Przykładowo^

dla zagadnienia, gdy U OQ(x) = 1 , £ max = 0 , 1 i r=0, 1 , li czba w a r s t w wiro- w yc h po 6 0 krokach czasowych wynosiła 417, a czas trwania obliczeń pola prędkości dla x = 0 ,2 do 1, co 0,1 na mas z yn ie OD RA -1 30 6 w y n o si ł ok. 100 minut, natomiast dla tego samego zagadnienia z ¿fraax = 0,8 i r=0,2 liczba w i r ó w wyno s ił a 3*1, a czas o b l i c ze ń ok. 2,5 minuty.

W pracy [4] eksperymentalnie stwierdzono, że dla A t ¿'0,2 , h < 0 , 2 oraz 5 raax* 0 , 1 domin uj ąc y m b łę d em jest b ł ą d statystyczny, który w r a z ze w zr os t e m liczby w i ró w m al ej e raczej wolno. Na r y s . 1 pr z ed s t a w i o n o roz- kłady p r ę dk oś c i dla Uoc(x)= 1, a na rys. 2, gdy U ^ x ) = 1-0,075x. Na tle rozwiązań dokład n yc h nanie s io no r oz wiązania n u m e r y c z n e : znak A odnosi się d o j§mQX = 0,1, na t omiast * do J n ax = R y s u n k o m a/ odpowiada r = 0 ,1, a rysunkom b/ r=0,2. P o d rysunkami p o da n o równi eż liczbę N warstw wirowych, k tóre brały udział w obliczeniach.

(5)

B a d a n i a n a d m e t o d ą d y s k r e t n y c h w a r s t w w i r o w v c h ^

Iiys. 1. Uśrednione rozkłady prędkości dla U x=1, x=0,5, v=10"4 a/ r=,1 , û - ^ max= ° . 1. N=^17, N=85 b/ r=0,2, * - £ „ „ = 0 . 1 , Ne 12, - - £ „ „ = 0 , 8 , N=34

Rys. 2. Uśrednione rozkłady prędkości dla U x=1,075x, x=1, ^ = 10^

• a/ r=0<1 < ‘*§.nax=0-»1 - N=i*'17- ‘- ^ a x = ° > 8 > N = 121 b/ r = 0 ,2, * - f m „ = 0 , 1 , N= 162, « - ^ „ = 0 , 8 , N=<ł7

Przedstawione wyniki otrzymano po 60 krokach czasowych. Przyjęto, że w przybliżeniu jest osiągany wtedy stan stacjonarny. Częściowo potwier­

dziły to obserwacje pól prędkości po 40,Ó0 i 80 krokach czasowych. Naj­

lepsze rozwiązania otrzymano dla r = 0 ,2 i ^ =0,1. Można zauważyć, że ro

D max 1

wiązania dla r=0, 1 , .5lnax=°j ® wykazują pewne oscylacjo. Zwiększenie r / r= At=h/ powodowało tłumienie tych oscylacji. Rys. 3 'Przedstawia przykładowe usytuowanie warstw wirowych nad płytką po

60

krokach czaso­

wych dla Uoo(x)= 1 oraz r=0,1 i P = 0 , 1 . max 7

Aby zbadać wpływ oderwania warstwy przyściennej na otrzymywane wyniki przeprowadzono obliczenia dla U ^ x ) = 1-0,23x. Nie uzyskano przepływu stacjonarnego, tfarstwa przyścienna gwałtownie się poszerza. Pojawia się przepływ wsteczny dla x ^ 0 , 5 1 * Rozkłady prędkości, mimo uśredniania, są bardzo nieregularne^ a ich ważność jest wątpliwa. Przykładowy rozkład wirów nad płytką dla t^fxjs

1

-

0

,

23

x, r=0, 1 i £„,„„=0,5 przedstawiono na

(6)

290 B . Kulisia

0,08-r

ow-

• • • • ••• • • ©•o • • • e o o*

. • . »>■*»»«

o ...

R y s .

3

. W ar st wy wirowe nad płytką: U^,(x)=1, r=0,1 » ^ n a s 2 0 '1 ’ N=417 o- warstua wirowa o intensywności podatniej, • - warstwa wiro­

wa o intensywności

0 intensywności p o d a t n i e j, •- we 1 ujemnej^ ^=10

0,08r

ąot.

■ •« o* *• o o* o o • • • e 0% m o #•*•« O» O O O o O o • ooł,o»*• o »o*

• *o * • • ••© o •• o O Q OO » <0 »O łOO««Q o«» »O««

o 1

Rys. 4. Warstwy wirowe nad płytką: U*.(a^= 1 -0,2 3 x , r = 0 ,1 , 5 n ax=^ ^ f N=307 o- warstwa o intensywności dodatniej, •- warstwa o intensyimości ujemnejj V*10

4. »'nioski i uwagi końcowe

Na podstawie przedstawionych wyników można wnioskować, że:

t/ przy ograniczonej liczbie kroków czasowych na ogół nie otrzymuje się najlepszych dokładności przy najmniejszych wartościach At , h , 2/ duże wartości ^ ^ ^ = 0 , 8 przy stosunkowo małych wartościach r / r=dt=h=0,y

mogą powodować, nie mające fizycznego znaczenia, oscylacje rozwiązać, 3/ obecna wersja metody warstw wirowych nie nadaje się do modelowania

przepływów z oderwaniem warstwy przyściennej.

Należy zwrócić uwagę, że metoda warstw wirowych /podobnie jak metoda kro­

pel wirowych /nie jest zorientowana na otrzymywanie bardzo dokładnych rozwiązań, lecz nacisk położony jest w niej na symulację fizycznej strony przepływu cieczy/ wprowadzenie do obliczeń elementu wirowego, generacja wirów na ścianie/.

Równania Prandtla zostały wyprowadzone na podstawie przyjęcia pewnych hi­

potetycznych założeń, z których wynika między innymi v ^ u . C h o r i n w pry­

watnej korespondencji zasugerował, że być może należałoby sprawdzać, czy ten warunek jest spełniony dla każdej warstwy. Jeżeli n i e , to warstwę wi­

(7)

B a d a n i a n a d m e t o d ą d y s k r e t p y o h w a r s t w w i r o w y ob 291

rową należałoby zastąpić kroplą wirową /por. [

2

], [

5

j/. V ten sposób zastępowałoby "dopasowywanie*równań PranĄtla do równań Naviera-Stokesa i być może pozwoliłoby to na modelowanie przepływów z oderwaniem warstwy przyściennej. Prace w tym kierunku zostały już pdojętd przez autora.

Wyniki zostaną zaprezentowane w terminie późniejszym.

Literatura

Lii Cheer A.Y.: BOUNDL: A Program For Calculating Flow Past a Semi- Infinite Flat Plate Using the Vortex Sheet Method, Lawrence Berkeley

Laboratory University of California, Physics Computer Science and Math. Division, IBL - 66kj Supplement, 1978.

[2] Cheer A.Y.J A Study of Incompressible 2-D Vortex Flov Past a Circular Cylinder, ibid, LBL-9950,1979

[3] Chorin A.J.; Numerical Study of Slightly Viscous Flow, J.Fluid Mech.

¿ 2 s - 785-796, 1973

[4] Chorin A.J.j Vortex Sheet Approximation of Bottdary Layers, J.Comp.

Phys. 22 s * *»28-*»*»2, 1978

[5] Chorin A.J. ; Vortex Models and Boundary Layer Instability, SIAM J.Sci. Stat. i, s. 1-21, 1980

[

6

] Howarth L.; On the solution of the Laminar Boundary Layer Equations, Proc. Roy. Soc. London A919, 169, s. 5*17-579, 1938

[

7

] Kudela H.J Metody dyskretnych wirów, w aMetody Analityczne i Kune- ryczne w Mechanice Płynów - wykłady - s. 111-130, Szkoła Letnia Mechaniki Płynów, Mikołajki 1983

18] Kocin N.E., Kibel I.A., Rozę N.M.ZTeoreticeskaja gidromechanika, OGiZ Moskwa

1963

, t. U

L9] ęchłichting H.J Teoria progranl&iowo słoja, Nauka, Moskwa 197*».

HCCJIĘHOBAHKE MESOM BH2P0BUX CliOEB

P e s

x u

e

£ paOote HsyveBo skcnepKKSHTaaLKO B jm z s z e pa3Mepa vacxeHBHx napaMeipos weToxa BExpoEHX cjtoBb Ha ToiHoctt noayvaessHx pesynbiaioB. Pe3yxbiaiu cpas~

H e H O c tohhmmh pemeHHSMB. H c c x e x o B a s o B i M B u e io v k h cenapaRHB norpaHHtsoro exon sa noxyvaeHue pe3yxs,tastu.

(8)

292

S TUDY OF T H E V O R T E X SHEET M E T H O D

S u m m a r y

The paper experimental? investigates the influence of the numerioal parameters in the vort ex sheet m ethod on the accuracy of the results.

The results were compared with the known aoorate solutions. The influence of the boundary separation point on the results w hi ch were being obtained was also investigated.

Cytaty

Powiązane dokumenty

By móc stać się Królewskim Namiestnikiem, by uniknąć pokusy budowania Kościoła po swojemu, musiał poddać się całkowicie Królowi, choć trzeba przyznać, że

Najważniejszym wynikiem przeprowadzonych badań jest to, co zaobserwowano już w odniesieniu do miast tej wielkości, a mianowi- cie wielozawodowość mieszczan – chociaż w

Celem obliczeń jest wyznaczenie obciążenia działającego na belkę (rys. 1), przy znajomości jedynie podzbioru wektora stanu opisującego dynamiczne zachowanie

Ich celem jest też wska- zanie na to, że – wbrew powszechnemu przekonaniu – zjawiska relatywistyczne mogą być łatwo zaobserwowane nawet dla bardzo

Wygląda, bowiem na to, że znasz podstawowe zasady higieny, lecz brakuje Ci wytrwałości w ich stosowaniu.. 0 –

Istnieją liczne zależności, wykresy i tablice na podstawie których można określić wartości p ^ i p ^ dla konstruowanej pompy# brak jest jednak tego typu danych w

Woda pochodzi z rzek Colombo, Sacron i Calorie, przy czym nie można dostar- czyć wody z Calorie do Hollyglas.. zapotrzebowanie 30 70

Niech h(n) oznacza liczbę sposobów połaczenia tych punktów w pary tak, że otrzymane odcinki nie przecinają się.. Na ile sposobów możemy to zrobić, jeśli w