ZESZYTY N A U K O W E POLITECHNIK I ŚLĄSKIEJ Seria: AUTOMATYKA, z. 134
2002 N r kol. 1554
Joanna JÓ ZEFO W SK A , M arek MIKA, Rafał RÓŻYCKI, Grzegorz W A LIGÓ RA, Jan W ĘGLARZ
Politechnika Poznańska
MAKSYMALIZACJA ZAKTUALIZOWANEJ WARTOŚCI NETTO W PROBLEMACH ROZDZIAŁU ZASOBÓW -
PRZEGLĄD MODELI I ALGORYTMÓW
S treszczenie. Rozw ażane są problem y rozdziału zasobów z kryterium maksymalizacji zaktualizow anej w artości netto. Praca zawiera przegląd m odeli i algorytmów dotyczących rozważanej klasy problem ów szeregowania i jednocześnie je st próbą podsum ow ania aktualnego stanu badań w tym zakresie oraz ukazania na tym tle nowych kierunków badawczych.
MAXIMIZATION OF THE NET PRESENT VALUE IN PROJECT SCHEDULING - A SURVEY
S u m m a ry . Project scheduling problem s with the m axim ization o f the net present value (NPV ) criterion are considered. The paper surveys models and algorithms concerning this class o f problem s. The state-of-the-art in this area and the future research directions are presented.
I. Wprowadzenie
N ajczęściej rozpatrywanym kryterium w problem ach rozdziału zasobów (ang. project scheduling) je s t m inim alizacja długości uszeregowania. W praktyce jednak nie mniej ważne są kryteria finansowe, a w śród nich m aksym alizacja zaktualizowanej wartości netto (NPV).
W tym przypadku dodatkowym param etrem , jak i rozw aża się podczas szeregowania, są przepływy gotów kow e występujące podczas realizacji przedsięw zięcia. Rozróżnia się dwa typy przepływ ów gotówkowych: wypływy (m.in. koszty materiałowe, robocizny, w yposażenia itp.) oraz wpływy (np. zapłata za ukończone prace). Celem je st znalezienie takich chw il rozpoczęcia oraz zakończenia wykonywania czynności, dla których,
244 J. Józefowska, M . M ika, R. Różycki, G. W aligóra, J. W ęglarz
przy założonej stopie dyskontowej, N PV przedsięw zięcia osiąga w artość maksymalną, przy spełnieniu ograniczeń kolejnościow ych i zasobowych. Ten N P-trudny problem jest w ostatnich latach intensywnie badany w w ielu ośrodkach na świecie. W iększość prac dotyczy determ inistycznej wersji problem u, w której wszystkie dane, łącznie z przepływami gotów kow ym i, s ą znane a priori. W iele prac różni się pod względem przyjętych założeń dotyczących rozpatryw anego m odelu oraz m etod rozwiązyw ania. N iniejsza praca je st próbą podsum ow ania aktualnego stanu badań w tym zakresie i ukazania na tym tle nowych kierunków badawczych.
2. Opis problemu
W klasycznych problem ach rozdziału zasobów m ożna wyróżnić cztery podstawowe elem enty: czynności, zasoby, ograniczenia kolejnościow e oraz kryterium szeregowania.
Problem rozdziału zasobów polega na uszeregow aniu zbioru n czynności. W ogólności każda z czynności m oże być w ykonana jednym z w ielu alternatywnych sposobów . Sposób określa czas w ykonywania, zapotrzebowanie na zasoby różnych kategorii oraz ewentualne przepływ y gotówkow e, które m o g ą wystąpić zarówno na początku, w trakcie, ja k i na końcu w ykonyw ania czynności. B ardzo często wymogi technologiczne narzucają kolejność, w jakiej czynności pow inny być wykonywane. W takim przypadku m ówim y o istnieniu ograniczeń kolejnościow ych pom iędzy czynnościam i, które z reguły reprezentow ane s ą za pomocą digrafu. Zasoby w ykorzystywane podczas w ykonyw ania czynności m ożna podzielić na cztery podstaw ow e kategorie: odnawialne, nieodnawialne, podw ójnie ograniczone [5] i częściowo odnaw ialne [6]. Ponadto zasoby m ogą się różnić typem oraz liczbą dostępnych jednostek.
G łów nym kryterium finansow ym w problem ach rozdziału zasobów je st maksymalizacja N PV . N ajogólniejsza postać w zoru, w g którego obliczana je st wartość N PV , je st następująca:
N P V = CF0 + j r CF, (1 + r ) ~ ', (1)
/•i
gdzie CFo je s t przepływ em gotówkowym (z reguły w ypływem) występującym na początku realizacji przedsięw zięcia, a CFt je s t przepływ em gotów kowym występującym na końcu okresu t, r oznacza stopę dyskontową. N PV je st m ia rą regularną, gdy rozw ażane s ą wyłącznie dodatnie przepływ y gotówkow e, a nieregularną w pozostałych przypadkach.
M aksym alizacja zaktualizowanej wartości netto... 245
Ograniczenia kolejnościow e przedstaw iane są za pom ocą grafów o reprezentacji lukowej (AoA ) lub wierzchołkowej (AoN). Zorientow ana zdarzeniowo reprezentacja łukowa ułatwia zam odelow anie przepływ ów gotówkowych związanych z rozpoczęciem lub zakończeniem pewnej grupy czynności. N atom iast przedstawienie za jej pom ocą przepływów gotów kow ych zw iązanych z rozpoczęciem lub zakończeniem pojedynczych czynności je s t znacznie trudniejsze. W tym przypadku wygodniejsze je st stosowanie reprezentacji w ierzchołkow ej. Oczywiście m ożliwe je st powiązanie zalet obydwu reprezentacji przez w prow adzenie dodatkowych pozornych: czynności i zdarzeń. Jednakże rozw iązanie takie pow oduje znaczny w zrost liczby w ierzchołków i łuków w sieci, a co za tym idzie - rów nież złożoności obliczeniowej problemu.
W literaturze dotyczącej problem u rozdziału zasobów w przeciągu ostatnich kilku lat pojawiło się w iele istotnych rozszerzeń m odelu klasycznego. K olejność wykonywania czynności m oże być określona in n ą - ogólniejszą m etodą za pom ocą tzw. minim alnych i/lub m aksym alnych odstępów czasowych m iędzy czynnościami [3], za pom ocą których m ożna rów nież zam odelow ać term iny gotowości i linie krytyczne dla poszczególnych czynności [9]. Ponadto istnieje kilka istotnych rozszerzeń dotyczących zasobów. W ystarczy wspom nieć w ym ienione w cześniej zasoby częściowo odnawialne [6], zasoby podzielne w sposób ciągły [51], czy też zasoby o param etrach, takich jak: dostępność i żądania zasobowe, zm iennych w czasie [45]. Inny rodzaj zasobów stanow ią rozważane w [4] zasoby dedykowane, które w danej chw ili m ogą być przydzielone do wyłącznie jednej czynności.
Opis pozostałych m odyfikacji klasycznego m odelu problem u rozdziału zasobów m ożna znaleźć w w ielu publikacjach z tego zakresu. Podsum ow ania dotyczące różnych aspektów tych badań m ożna znaleźć m iędzy innymi w następujących pracach przeglądowych [7,11,17,22,24,25,29].
3. Przegląd literatury
W ostatnich latach problem rozdziału zasobów je st intensywnie badany w wielu ośrodkach na świecie. M aksym alizacja N PV jest, obok minim alizacji długości uszeregow ania, najpopularniejszym kryterium. Klasyfikację i opisy różnych m odeli płatności oraz kontraktów klient-w ykonaw ca m ożna znaleźć m iędzy innymi w [17] oraz [8]. W pracach przeglądow ych [17,24,25] położono szczególny nacisk na podejścia, w których rozw ażane są
246 J. Józefowska, M. M ika, R. Różycki, G. W aligóra, J. W ęglarz
problem y rozdziału zasobów z kryteriami finansowymi. Podobnie ja k to uczyniono w w ym ienionych pracach, w naszych rozw ażaniach w yróżnim y dw a przypadki: pierwszy, w którym om ów im y problem y bez ograniczeń zasobow ych, oraz drugi - z nałożonymi ograniczeniam i zasobowym i.
3.1. P ro b le m ro zd z iału zasobów bez ogran iczeń zasobow ych
P ierw szą p racą pośw ięconą maksym alizacji N PV była praca Russella z 1970 [35], w której rozw ażano zarówno dodatnie, ja k i ujem ne przepływy gotówkowe powiązane ze zdarzeniam i reprezentow anym i przez w ęzły sieci AoA. Problem sformułowano ja k o problem program ow ania nieliniow ego z w ykładniczą funkcją celu i liniowymi ograniczeniam i. Po rozw inięciu funkcji celu w szereg Taylora i w efekcie otrzym ano problem program ow ania liniowego, do którego problem em dualnym je s t problem przepływu w sieciach, w oparciu o który opracowano optymalny algorytm dla rozważanego problemu.
D ziałanie tego algorytm u przedstaw iono w przykładzie o małym rozm iarze. Grinold [15]
rozw inął prace nad m odelem Russella [35] i pokazał, że m ożna go w bezpośredni sposób sprow adzić do problem u PL. K orzystając ze specjalnej struktury otrzym anego modelu, zaproponow ał dw a podejścia optymalne. Pierw sze rozw iązujące problem z ustaloną linią krytyczną dla całego przedsięw zięcia i drugie - param etryczne - rozw iązujące problem dla w szystkich potencjalnych linii krytycznych. Działanie obydwu podejść przedstawiono na m ałym przykładzie. W [12] użyto m odelu Russella, dla którego opracowano uproszczony algorytm optymalny. Ponadto w ykazano, że w ogólności, aby znaleźć uszeregowanie optym alne, w ystarczy uszeregow ać zdarzenia z dodatnim i przepływ am i możliwie ja k najw cześniej, a zdarzenia z przepływam i ujemnymi m ożliw ie ja k najpóźniej, przy spełnieniu ograniczeń kolejnościowych. Dodatkowo pokazano, że jeśli nie występuje linia krytyczna dla całego projektu, to w niektórych przypadkach (gdy NPV<0) przedsięw zięcie będzie opóźniane w nieskończoność. Eksperym ent obliczeniow y dla tego podejścia przeprow adzony na 250 losowo wygenerowanych problem ach opisany je st w [16].
N atom iast Sepii [39] przedstaw ił słabe punkty i błędy znalezione w tym podejściu. W [13]
rów nież rozw ażano problem reprezentow any przez sieć AoA z przepływ am i gotówkowymi zw iązanym i ze zdarzeniam i. D odatkow o przyjęto założenie, że w ielkość przepływów gotów kow ych zależy od czasu realizacji, co uzasadniono zm ieniającym i się w czasie kosztam i zasobów . Ponadto przyjęto system nagród za wcześniejsze i kar za późniejsze w ystąpienie zdarzeń. D la tego m odelu zaproponowano algorytm sym ulowanego wyżarzania
Maksymalizacja zaktualizowanej wartości netto.. 247
z kilkoma różnym i strategiam i i przetestowano go na 168 różnych problem ach. Ten sam problem był rozw ażany w [41], gdzie do znajdow ania optim ów zaproponowano metodę podziału i ograniczeń. W [34] rozw ażano problem zam odelow any przy użyciu sieci AoN z minimalnymi i m aksym alnym i odstępam i czasowymi m iędzy czynnościam i oraz dodatnim i i ujemnymi przepływ am i związanym i z czynnościami, do rozwiązyw ania którego zaproponowano algorytm podziału i ograniczeń ze strategią przeszukiw ania w głąb. Jakość algorytmu została przebadana na podstaw ie obszernego eksperymentu na losowo wygenerowanych problem ach. W pracy [23] om ów iono model z płatnościam i progresywnymi zależnymi od czasu i zastosow ano dekom pozycję Bendersa do jego rozwiązania. W [14]
przedstawiono m odel z siecią AoA, w którym czynności m ogą być wykonywane jednym z kilku alternatywnych sposobów , a przepływy s ą zw iązane zarówno ze zdarzeniam i, jak i czynnościam i. W ielkości przepływów zw iązanych z czynnościami zależą od sposobu wykonywania danej czynności. Dekom pozycja Bendersa została użyta do znalezienia rozwiązań optym alnych dla tego problem u. Schw indt i Zim m erm ann [38] rozw ażają problem z minimalnymi i maksymalnymi odstępam i czasowymi między czynnościami i proponują dla niego m etodę największego wzrostu, która została przetestowana w oparciu o eksperyment obliczeniowy przeprow adzony dla losowo wygenerowanych instancji zaw ierających do 1000 czynności. W [49] rozw ażano problem , w którym z każdą czynnością zw iązana je st deterministyczna, nierosnąca funkcja, liniowo zależna od czasu zakończenia czynności, określająca w artość przepływ ów gotówkow ych związanych z tą czynnością. W m odelu tym wszystkie płatności w ystępują po zakończeniu czynności. Zaproponowano do jego rozwiązywania m etodę pełnego przeglądu z w budow aną procedurą stanow iącą rozszerzenie dokładnego algorytm u dla problem u z przepływam i gotówkowymi wyrażonymi funkcjami niezależnymi od czasu. Jakość algorytm u została oceniona na podstaw ie eksperymentu obliczeniowego na losowo wygenerowanych danych.
3.2. P ro b le m ro zd z ia łu zasobów z ogran iczen iam i zasobow ym i
P roblem rozdziału zasobów z kryterium m aksymalizacji N PV , w przypadku gdy występują w nim ograniczenia zasobow e, je st N P-trudny [17], stąd w iększość prac na ten temat dotyczy algorytm ów heurystycznych. Jednakże kilka prac poświęcono algorytmom dokładnym. D oersch and Patterson [10] sform ułowali model program ow ania binarnego, w którym jedynym ograniczonym zasobem je st kapitał. Problem ten rozwiązano dokładnie za pom ocą standardow ego oprogram ow ania dla instancji składających się z 15-25 czynności.
248 J. Józefowska, M. M ika, R. Różycki, G. W aligóra, J. Węglarz
M odel ten został poszerzony w [44] o ograniczenia m ateriałowe oraz koszt. W [52]
zaproponow ano m etodę podziału i ograniczeń ze strategią przeszukiw ania w głąb dla modelu z sie cią A oN i przepływ am i występującym i podczas wykonyw ania czynności. Przetestowano j ą na 10 problem ach składających się m aksym alnie z 21 czynności. Icmeli i Erengiię [20]
rów nież opracow ali m etodę podziału i ograniczeń dla problem u z dodatnim i i ujemnymi przepływ am i zw iązanym i z czynnościam i projektu reprezentow anego siecią AoN. Baroum i P atterson [2] sform ułow ali m odel reprezentow any przez sieć A oN z w yłącznie dodatnimi przepływ am i zw iązanym i z czynnościam i. Zaproponowane przez nich podejście optymalne, oparte na m etodzie podziału i ograniczeń, zostało przebadane w eksperymencie obliczeniow ym opartym na 50 instancjach z tzw. zbioru danych Pattersona [32] oraz 40 instancjach wygenerow anych za p o m o cą generatora ProG en [26]. N ajw iększa przebadana instancja składała się z 51 czynności. De Reyck i H erroelen [34] rozw ażają problem z m inim alnym i i m aksym alnym i odstępam i czasowym i m iędzy czynnościam i oraz dodatnimi i ujem nym i przepływ am i gotówkow ym i zw iązanym i z czynnościami. D la tego problemu zaproponow ano podejście oparte na m etodzie podziału i ograniczeń z przeszukiwaniem w głąb i przetestow ano je na losowo wygenerowanych instancjach składających się z co najwyżej 50 czynności. W [50] rozw ażano problem z ustaloną lin ią krytyczną oraz dodatnimi i ujem nym i przepływ am i w form ie płatności progresywnych w ystępujących na końcu czynności. D la tego problem u opracowano m etodę podziału i ograniczeń z przeszukiwaniem w głąb. Jak dotąd nie opracowano jeszcze algorytm u dokładnego dla wersji problemu z w ielom a sposobam i w ykonywania czynności.
Istnieje w iele podejść heurystycznych stosowanych do znajdow ania suboptymalnych rozw iązań rozw ażanego problem u. Pierw sze heurystyki zaproponował w 1986 roku Russell [36]. M odel opierał się na sieci A oA z dodatnim i i ujem nym i przepływ am i związanymi ze zdarzeniam i. D la tego m odelu przedstaw ił 6 heurystyk: regułę losow ą polegającą na w yborze najlepszego z 50 w ygenerowanych losowo rozw iązań, dw ie (MINSLK/LAN i LFT) oparte n a regułach priorytetow ych oraz trzy oparte na rozw iązaniach dla problemu bez ograniczeń zasobowych. Heurystyki porównano m iędzy so b ą w oparciu o eksperyment, z 80 różnym i instancjam i składającym i się z 30 do 1461 czynności. W [42] rozw ażano probiera z sie cią A oN , gdzie wypływy były zw iązane z początkiem każdej czynności, natomiast wpływy były realizow ane w form ie jednej płatności na końcu projektu. Zaproponowano dwie heurystyki bazujące na m etodzie ścieżki krytycznej i przetestowano je na 550 instancjach testow ych opartych na zbiorze danych Pattersona. Padm an i Sm ith-D aniels [30] zastosowali
M aksym alizacja zak tu a lizo w an ej w artości netto.. 249
osiem różnych heurystyk w algorytmie zachłannym wykorzystującym inform acje 0 zrelaksowanym (bez ograniczeń zasobowych) m odelu problem u. Praca ta była następnie rozwijana w [43] i [31], gdzie przedstaw iono kilka dodatkowych heurystyk. W szystkie podejścia były testow ane na tzw. zbiorze danych PSD opracowanym przez autorów, odpowiednio dla problem ów składających się z maksym alnie 110, 230 i 1000 czynności.
Icmeli i Erenguę [19] przedstaw ili dwie różne adaptacje algorytmu przeszukiw ania tabu dla problem u z siecią typu AoN, gdzie przepływy związano z czynnościami i zastosowano funkcję kary dla uszeregow ań kończących się później od założonego terminu. Obydwa podejścia przetestow ano na 50 problem ach ze zbioru Pattersona, a wyniki pokazały, że metody d a ją rozw iązania bliskie optymalnym. W [53] przedstaw iono dziew ięć różnych procedur stochastycznych i pokazano na podstaw ie eksperym entu obliczeniow ego, przeprowadzonego na 1440 instancjach składających się z m aksym alnie 20 czynności, że najlepsze wyniki d ają algorytm symulowanego w yżarzania oraz dw ie reguły priorytetowe:
RPW i D CCFW . W pracy [1] Baroum i Patterson przedstaw ili kilka heurystyk opartych na regułach priorytetow ych i porównali je na podstaw ie eksperymentu obliczeniowego, w którym najw iększy problem składał się z 50 czynności. Otrzymane wyniki pokazały wyższość reguł w ieloetapowych. P inder i M arucheck [33] opracowali 10 nowych heurystyk 1 porównali j e na drodze eksperym entu obliczeniow ego z 7 innymi. W rozw ażanym m odelu przyjęli sieć A oN i przepływ y zw iązane z czynnościami. W yniki pokazały, że dw ie spośród nowych heurystyk d ają znacznie lepsze wyniki. Sepii i Ortaę [40] rozw ażali problem z płatnościam i progresyw nym i, dla którego zaproponowali trzy heurystyki, których jakość zweryfikowano na instancjach zawierających do 200 czynności. Zhu i Padm an [54]
zaproponowali algorytm przeszukiw ania tabu. Problem z m inimalnymi i maksymalnymi odstępami czasow ym i był rozw ażany przez N eum anna i Zim m erm anna [27]. W nielicznych pracach analizow ano rów nież w ersję rozważanego problem u z w ielom a sposobam i wykonywania czynności. Sung i Lim [46] analizowali problem z ograniczeniam i dotyczącymi zasobów odnawialnych oraz dostępności kapitału, dla którego zastosowali heurystykę dwufazową. Icmeli i Erenguę [21] przedstaw ili problem, w którym czas wykonywania czynności m oże ulec skróceniu dzięki przydzieleniu dodatkowych zasobów , i zaproponowali do jego rozw iązyw ania algorytm heurystyczny z w budow aną regułą priorytetową. U lusoy i Cebelli [47] połączyli w jednym m odelu punkty w idzenia klienta i wykonawcy. Zaproponow ali algorytm genetyczny z podw ójną p ę tlą który poszukiw ał rozwiązania “spraw iedliw ego”, czyli takiego, które zarówno dla klienta, ja k i w ykonawcy
250 J. Józefowska, M. M ika, R. Różycki, G. W aligóra, j. Węglarz
różni się o taki sam procent od rozw iązania idealnego dla każdego z nich. Idealne rozwiązanie dla w ykonaw cy oraz klienta otrzym uje się odpowiednio, albo przez ustalenie wszystkich płatności na początku, albo na końcu projektu. W pracy [48] analizow any je s t problem z w ielom a sposobam i w ykonyw ania czynności oraz zasobam i trzech kategorii: odnawialnymi, nieodnaw ialnym i i podw ójnie ograniczonymi. Rozw ażane s ą cztery m odele płatności: całość na końcu projektu, płatności zw iązane ze zdarzeniam i, okresow e płatności w określonych term inach oraz płatności progresywne. Jako algorytm u służącego znajdow aniu rozwiązań w tych czterech m odelach użyto algorytm u genetycznego ze specjalnym operatorem krzyżow ania. Ó zdam ar i Diindar [28] rów nież rozw ażają problem z w ielom a sposobami w ykonyw ania czynności. W ich m odelu w ystępują stałe i niezależne od sposobu w ykonyw ania czynności wypływy gotówki, które zw iązane s ą z czynnościam i projektu oraz probabilistyczne wpływy, gotówki. Do rozw iązania zaproponowano procedurę FLEX-PR0, która m oże być użyta zarówno do skonstruow ania, ja k i późniejszego przekonstruowania uszeregow ania w zależności od aktualnego stanu finansów, które traktowane s ą jako zasób nieodnaw ialny. Algorytm przetestowano na zbiorze praktycznych danych związanych z rzeczyw istym projektem oraz na danych hipotetycznych.
4. Wnioski i kierunki dalszych badań
Przedstaw iony przegląd prac dotyczących różnych m odeli i algorytm ów służących do rozw iązyw ania różnych klas determ inistycznych problem ów rozdziału zasobów z kryterium m aksym alizacji zaktualizowanej w artości netto w skazuje na rosnące zainteresow anie tymi problem am i zarów no od strony teoretycznej, ja k i praktycznej. M nogość różnych podejść, m odeli i m etod rozw iązyw ania wskazuje, że je st to bardzo szeroki obszar badawczy, który jed n ak wym aga usystem atyzowania. Szczególnie ważne wydaje się być zgromadzenie danych, m ogących stanow ić bazę danych z instancjami testow ym i, które stanowiłyby cenne źródło dla badaczy, chcących porów nać jakość opracowanych przez siebie algorytmów z innymi algorytm am i. W zw iązku z tym istotne je st też opracowanie algorytm ów dokładnych dla w ielu m odeli, dla których nie zostały one jeszcze opracowane. Szczególnie można tu w yróżnić problem y rozdziału zasobów z w ielom a sposobami wykonyw ania czynności, dla których do tej pory nie powstał żaden algorytm dokładny. Innym istotnym kierunkiem badań je st opracow anie ja k najlepszych algorytm ów dokładnych i heurystycznych dla modeli
M a k sy m a liz a c ja z a k tu a lizo w an ej w arto ści netto.. 251
problem ów, które pow stałyby przez rozszerzenie klasycznego m odelu problem u rozdziału zasobów z kryterium N PV o dodatkowe kategorie zasobów (np. częściowo odnawialne, podzielne w sposób ciągły, zasoby o param etrach zm iennych w czasie) lub inne param etry opisane w punkcie drugim. Rów nież bardzo istotnym kierunkiem dalszych badań są różne modele płatności i kontraktów zawieranych pom iędzy klientem a wykonawcą. Spojrzenie na problem od strony w ykonawcy lub od strony klienta m oże prowadzić do zupełnie innych wniosków, a zatem do różnych m odeli oraz m etod rozwiązania.
LITERATURA
1. Baroum S.M ., Patterson J.H.: The developm ent o f cash flow weight procedures for m axim izing the net present value o f a project. Journal o f Operations M anagem ent, 14,
1996, 209-227.
2. Baroum S.M., Patterson J.H.: A n Exact solution procedure for m axim izing the net present value o f cash flow s in a network, w: Project scheduling: Recent models, algorithms and applications. (W ęglarz J. - red.), Kluwer, 1999, 107-134.
3. B artusch M ., M öhring R., Raderm acher F.J.: Scheduling project networks w ith resource constraints and tim e windows. Annals o f Operations Research.
4. Bianco L., D elPO lm o P., Speranza M.G.: Heuristics for m ultim ode scheduling problem s w ith dedicated resources. EJO R, 107, 1998, 260-271.
5. B łażew icz J., Cellary W., Słowiński J., W ęglarz J.: Scheduling under resource constraints - determ inistic m odels. Baltzer, Basel, 1986.
6. B öttcher J., D rexl A ., K olisch R., Salewski F.: Project scheduling under partially renewable resource constraints. M anagem ent Science, 45, 1999, 543-559.
7. Brucker P., D rexl A., M öhring R., N eum ann K., Pesch E.: Resource-constrained project scheduling: N otation, classification, models and m ethods. EJOR, 112,1999, 3-41.
8. D ayanand N ., Padm an R.: On m odeling paym ents in projects. Journal o f the Operational Research Society, 4 8 ,1 9 9 7 , 906-918.
9. D em eulem eester E.L., H erroelen W .S.: A branch-and-bound procedure for the generalized resource-constrained project scheduling problem . Operations Research, 45, 1997, 201- 2 1 2 .
10. D oersch R.H ., Patterson J.H.: Scheduling a project to m axim ize its net present value: A zero-one program m ing approach. M anagem ent Science, 23, 1977, 882-889.
11. Elm aghraby S.E.: A ctivity nets: A guided tour through some recent developments. EJOR, 64, 1995, 199-215.
12. Elm aghraby S.E., H erroelen W.S.: The scheduling o f activities to m axim ize the net present value o f projects, European Journal o f Operational Research, 49, 1990, 35-49.
13. E tgar R., Shtub A ., LeBlanc L.J.: Scheduling projects to m axim ize net present value -the case o f tim e-dependent, contingent cash flows. EJOR, 96,1 9 9 7 , 90-96.
252 J. Józefowska, M. M ika, R. Różycki, G. W aligóra, J. Węglarz
14. Erengii? S.S., Tufekci S., Zappe C.: The solution o f the tim e/cost tradeoff problem with discounted cash flows using generalized Benders decom position. N aval Research Logistics, 40, 1993, 25-50.
15. G rinold R.C.: The paym ent scheduling problem . N aval Research Logistics, 19, 1972, 123- 136.
16. H erroelen W .S., Gallens E.: Com putational experience w ith an optim al procedure for the scheduling o f activities to m axim ize the net present value o f projects. EJOR, 65, 1993, 274-277.
17. H erroelen W .S., V an D om m elen P., D em eulem eester E.L.: Project netw ork m odels with discounted cash flow s a guided tour through recent developm ents. EJO R, 100, 1997, 97-
121
.
18. H erroelen W .S., V an D om m elen P., D em eulem eester E.L.: R esource-constrained project scheduling: A survey on recent developments. Com puters and Operations Research, 25, 1998, 279-302.
19. Icm eli O., Erengiif S.S.: A tabu search adaptation to resource constrained project scheduling problem w ith discounted cash flows. Com puters and O perations Research, 21, 1994, 841-854.
20. Icm eli O., Erengu? S.S.: A branch and bound procedure for the resource constrained project scheduling problem w ith discounted cash flows. M anagem ent Science, 42, 1996,
1395-1408.
21. Icmeli O., E rengtif S.S.: The resource constrained tim e/cost tradeoff project scheduling problem w ith discounted cash flows. Journal o f O perations M anagem ent, 14, 1996, 255-275.
22. Icm eli O., ErengO? S.S., Zappe C.J.: Project scheduling problem s: A survey. International Journal o f O perations & Production M anagement, 13, 1993, 80-91.
23. K azaz B., Sepil C.: Project scheduling w ith discounted cash flows and progress payments.
Journal o f the Operational Research Society, 4 2 ,1 9 9 6 ,1 2 6 2 -1 2 7 2 .
24. K im m s A.: M athem atical Program m ing and Financial O bjectives for Scheduling Projects.
K luw er A cadem ic Publishers, 2001.
25. K olisch R., P adm an R.: A n integrated survey o f determ inistic project scheduling. Omega - T he International Journal o f M anagem ent Science, 29, 2001, 249-272
26. K olisch R., Sprecher A.: PSPLIB - A project scheduling problem library. European Journal o f O perational Reasearch, 96, 1997,205-216.
27. N eum ann K., Zim m erm ann J.: Procedures for resource leveling and net present value problem s in project scheduling w ith general tem poral and resource constraints. EJOR,
1 2 7 ,2 0 0 0 ,4 2 5 -4 4 3 .
28. O zdam ar L., Diindar H.: A flexible heuristic for a m ulti-m ode capital constrained project scheduling problem w ith probabilistic cash inflows. Com puters & O perations Research, 2 4 ,1 9 9 7 ,1 1 8 7 -1 2 0 0 .
29. O zdam ar L., U lusoy G.: A survey on the resource-constrained project scheduling problem . HE Transactions, 27, 1995, 574-586.
M aksym alizacja zaktualizowanej wartości netto.. 253
30. Padm an R., Sm ith-D aniels D.E.: Early-tardy cost trade-offs in resource constrained projects w ith cash flows: A n optim ization-guided heuristic approach. EJOR, 64, 1993, 295-311.
31. Padm an R., Sm ith-D aniels D.E., Smith-Daniels V.L.: Heuristic scheduling o f resource-constrained projects w ith cash flows. N aval Research Logistics, 44, 1997, 365-381.
32. Patterson J.H.: A com parison o f exact approaches for solving the multiple-constrained resource, project scheduling problem . M anagem ent Science, 30, 1984, 854-867.
33. Pinder J.P., M arucheck A.S.: U sing discounted cash flow heuristics to im prove project net present value. Journal o f O perations M anagement, 14, 1996, 229-240.
34. De Reyck B., H erroelen W .S.: A n optim al procedure for the resource-constrained project scheduling problem w ith discounted cash flows and generalized precedence relations.
C om puters and Operations Research, 2 5 ,1 9 9 8 ,1 -1 7 .
35. Russell A.H.: Cash flows in networks. M anagem ent Science, 16,1970, 357-373.
36. Russell R.A.: A com parison o f heuristics for scheduling projects with cash flows and resource restrictions. M anagem ent Science, 32, 1986,1291-1300.
37. Salewski F., Schrim er A., Drxl A.: Project scheduling under resource and m ode identity constraints: M odel, com plexity, methods, and applications. EJOR, 102, 1997, 88-110.
38. Schw indt Ch., Zim m erm ann J.: A steepest ascent approach to m axim izing the net present value o f projects. M athem atical M ethods o f Operations Research, 53,2 0 0 1 , 435-450.
39. Sepil C.: C om m ent on Elm aghraby’s and H erroelen’s The scheduling o f activities to m axim ize the net present value o f projects. EJOR, 73, 1994, 185-187.
40. Sepil C., Orta? N.: Perform ance o f the heuristic procedures for constrained projects with progress paym ents. Journal o f the Operational Research Society, 48, 1997, 1123-1130.
41. Shtub A., Etgar R.: A branch and bound algorithm for scheduling projects to m axim ize net present value: the case o f tim e dependent, contingent cash flows. International Journal o f Production Research, 35, 1997, 3367-3378.
42. Sm ith-D aniels D.E., A quilano N.J.: U sing a late-start resource-constrained project schedule to im prove project net present value. Decision Sciences, 18, 1987, 617-630.
43. Sm ith-D aniels D.E., Padm an R., Smith-Daniels V.L.: Heuristic scheduling o f capital constrained projects. Journal o f Operations M anagement, 14,1996,241-254.
44. Sm ith-D aniels D .E., Sm ith-Daniels V.L.: M axim izing the net present value o f a project subject to m aterials and capital constraints. Journal o f O perations M anagem ent, 7, 1987, 33-45.
45. Sprecher A.: R esource-constrained project scheduling: Exact m ethods for the multi-m ode case. Lecture N otes in Econom ics and M athem atical Systems. Springer, Berlin 1996.
46. Sung C.S., Lim S.K.: A project activity scheduling problem w ith net present value measure. International Journal o f Production Econom ics, 37, 1995, 177-187.
47. U lusoy G., Cebelli S.: A n equitable approach to the paym ent scheduling problem in project m anagem ent. EJOR, 127, 2000, 262-278.
254 J. Józefowska, M. M ika, R. Różycki, G. W aligóra, J. Węglarz
48. U lusoy G., S ivrikaya-§erifo|lu F., §ahin S.: Four paym ent m odels for the multi-mode resource constrained project scheduling problem w ith discounted cash flows. A nnals of O perations Research, 102,2001, 237-261.
49. V anhoucke M ., D em eulem eester E.L., H erroelen W .S.: M axim izing the net present value o f a project w ith linear tim e-dependent cash flows. International Journal o f Production Research, 3 9, 2001, 3159-3181.
50. V anhoucke M ., D em eulem eester E.L., H erroelen W .S.: On m axim izing the net present value o f a project under renewable resource constraints. M anagem ent Science, 47, 2001,
1113-1121.
51. W ęglarz J.: Project scheduling w ith continuously divisible doubly-constrained resources.
M anagem ent Science, 27, 1981,1040-1053.
52. Y ang K.K., T albot F.B., Patterson J.H.: Scheduling a project to m axim ize its present value: A n integer program m ing approach. EJO R, 6 4 ,1 9 9 3 ,1 8 8 -1 9 8 .
53. Y ang K .K ., Tay L.C., Sum C.C.: A com parison o f stochastic scheduling rules for m axim izing project net present value. EJO R, 85,1 9 9 5 , 327-339.
54. Zhu D ., Padm an R.: A m etaheuristic scheduling procedure for resource-constrained projects w ith cash flows. N aval Research Logistics, 4 6 ,1 9 9 9 , 912-927.
Recenzent: D r hab. inż. Eugeniusz Nowicki
A b s tra c t
T his paper is a survey on determ inistic project scheduling problem s w ith the m axim ization o f the net present value (NPV) criterion. In recent years m any w orks have been devoted to the considered class o f project scheduling problem . M ost o f them differ among them selves in som e aspects o f assum ed m odels and algorithm s used to solve them. An overview o f these m odels and algorithm s for both project scheduling problem versions: with and w ithout resource constraints is presented. The future research directions are discussed.
