O pewnych własnościach pola elektromagnetycznego w nieskończonej linii długiej

Stanisław A P A N A S E W IC Z

Katedra E lektrodynam iki i U kładów Elektrom aszynow ych Politechniki R zeszow skiej

O PE W N Y C H W Ł A SN O ŚC IA C H PO LA

E LEK T R O M A G N ET Y C Z N E G O W N IE SK O Ń C Z O N E J LINII DŁUGIEJ

Streszczenie. W pracy przedstaw ione s ą ro zw iązania rów nań M axw ella d la pola elektrom agnetycznego spow odow anego przez przepływ prądu w nieskończonej linii długiej. U w zg lęd n ia się prądy przesunięcia M axw ella.

ON SOME PROPERTIES OF ELECTROMAGNETIC FIELD DISTRIBUTION IN LONG ELECTRIC LINES

Sum m ary. T he paper presents the solutions o f M axw ell equations for the electrom agnetic field caused by flow o f a current in a long electric line. M axw ell displacem ent currents are taken into account.

1. O G Ó L N Y OPIS PO LA E L E K TR O M A G N ET Y C Z N EG O

1.1. Z ałożenie

W artykule rozpatruje się pole elektrom agnetyczne w yw ołane p rzez sinusoidalnie zm ienny prąd w pojedynczej linii długiej. Przyjm uje się następujące założenia:

- przekrój p rzew odu je s t cienki (teoretycznie nieskończenie cienki) na tyle, by m ożna było tw orzyć superpozycję pól w przypadku kilku przew odów ;

- prąd i w linii m a charakter falowy:

i = i0e J(M+A2) (1)

gdzie: io - am plituda prądu, co - pulsacje,

X - liczba falowa.

78 S. A panasew icz

Przew ód pokryw a się z o sią „z” w w alcow ym układzie w spółrzędnych.

Przy założeniu (1) m o g ą istnieć tylko składow a obw odow a pola m agnetycznego H oraz składow e prom ieniow a E] i osiow a E3 natężenia poła elektrycznego. W tym przypadku H, Ei, E3 - am plitudy zespolone tych pól.

1.2. R ozw iązania rów nań M axw clla

Przy poczynionych założeniach rozkład pola je s t o siow o-sym etryczny pola; zgodnie z założeniem funkcje I-I, Ei, E3zależą tylko od prom ienia r we w spółrzędnych w alcow ych. N a p odstaw ie rów nań M axw ella otrzym uje się m iędzy nim i następujące zależności:

D o obliczania prądów w irow ych w ciałach m etalow ych znajdujących się w pobliżu linii prądow ej zakłada się przew ażnie X = 0. W tedy pow inno być albo 80 = 0, albo E] = 0, co w ynika z rów nania (2). Pierw sze założenie je s t fizycznie niepopraw ne; zatem należy przyjąć drugie. W zagadnieniach przepięciow ych pole elektryczne poprzeczne do przew odów z prądem rozpatruje się jak o pole elektrostatyczne, niezależnie od składow ej E 3. Jeśli jed n ak X

= 0 i Ei * 0, to w tedy pow inno być E , = —- , Eo = const, co w ynika z rów nania d iv E = 0 ZE

elektrycznego na pow ierzchni przew odu. K łóci się to z założeniem Eo = 0. Z atem je śli X - 0, to są dw ie m ożliw ości:

a) X = 0, So = 0 = c = co, 6 = 0.

- A H = a>e0E ], (2⁾

(3) r

j A E x - E'3 = -ja>jU0H . (4)

M ożna w prow adzić funkcję \ = 4(r) o w łasnościach:

(5)

C0£„ CD£0

ą " + I ą ' + 5 2ą = 0, 52 = - ^ - - A 2 > 0 , c 2 = — —

r c £ 0Po

(

6

)

r

praw a G aussa w ynika, że pow inno być E , = --- , gdzie a - gęstość ładunku 2jt£0 r

Wtedy:

H = — \ = ^ - l n — , (7)

27t r 27t R

E | = 0 , E 3 = ® ^ A , (8)

2ti R

gdzie R - prom ień przew odu w iodącego prąd.

b / X = 0, Eo 0, 5 = — . C

Wtedy:

ą

= C . . [ j0(5 R )Y 0( 5 r ) - Y 0( 5 R ) J 0(5 r)],

(9)

c = 1°__________________

27i5 R [y,( 5 R ) J 0( 5 R ) - Y o iS R );, (SR )] ’

gdzie:

Jo, J i, Yo, Yi - funkcje B essela.

Przy w yprow adzaniu w zorów (7)—

(9)

przyjęto założenie zero w an ia się E3 na pow ierzchni p rzew odu oraz w ykorzystano praw o A m pera. Składow e pola w ylicza się ze w zorów (5). W przypadku gdy w ym aga się spełnienia w arunku prom ieniow ania w nieskończoności, to rozw iązanie rów nania (6) otrzym uje się w postaci:

“ ( 1 Ü )

c

C , = 1

2

ti

5R Y ,(5 R )-jJ1(5R)'

1.3. R ozkład pola przy niskich częstotliw ościach

Jeśli częstotliw ość prądu je s t nieduża, to w bliskim otoczeniu przew odu m ożna przyjm ow ać 8r « 1 i funkcje B essela zastępuje się funkcjam i elem entarnym i. W tedy okazuje się, że w e w szystkich przypadkach pole m agnetyczne opisuje w zór (7) (pom inięto tu żm udne p rzekształcenia i podano w yniki końcow e). N atom iast spraw a z polem elektrycznym przedstaw ia się inaczej. Jeśli X - 0, to Ei = 0 i składow a E3 odpow iadająca funkcji \ przedstaw ionej w e w zorze (9) zm ierza do w artości opisanej w e w zorze (8).

80 S. A panasew icz

W przypadku rozw iązania (10) odpow iednie graniczne funkcje (8r « 1) m ają postać:

e, = - - !l S T . ! , („,

4 *

2^2 V t 0

r

gdzie:

~ - opór falowy.

W przypadku rozw iązania odpow iadającego fali prostej ^ 5 = 0 = 3. = — j dla małych

częstotliw ości otrzym uje się:

E 3 = 0 , E, = —— H = — (12)

2 n ^ e 0 r 2n

r

1.4. Pole w ytw arzan e przez prądy w linii dw uprzew odow ej

Przy rozw ażaniu linii dw uprzew odow ej zam iast rozw iązania rów nania (6) tw orzy się rozw iązanie ogólniejsze:

= & ) - < & ) (13)

gdzie:

n i r2 “ odległość punktu, w którym oblicza się pole, od odpow iednich przew odów z prądem .

W przypadku w zoru (13) w ystępuje rozkład dw uw ym iarow y i celow e je s t tu stosow anie w spółrzędnych kartezjańskich (x y, z).

2. W N IO SK I

a) N ie m o żn a rozpatryw ać oddzielnie składow ych p o la elektrycznego poprzecznych do przew odów od składow ej w zdłużnej (E3); są one pow iązane poprzez je d n ą funkcję t (w zory (5), (6)).

b) U w zględnianie prądów przesunięcia M axw ella prow adzi do całkiem różnych rozkładów p o la elektrycznego naw et przy niskich częstotliw ościach w p orów naniu z przypadkiem ,

gdy pom ija się (w zory (7 ),(8 ),(1 1),(12)). Pole m agnetyczne ulega zm ianie dopiero przy bardzo dużych częstotliw ościach,

c) A utor niniejszej pracy badał prądy w irow e w m asyw nej ściance rów noległej do p rzew odów [1], O kazało się, że przy niskich częstotliw ościach rozkład pola elektrom agnetycznego w ściance je s t jed n ak o w y dla w szystkich tu zaprezentow anych przypadków . A w ięc np. w przypadkach gdy E3 0, Ei = 0 (w zory (7 ),(8)) i gdy E 3 = 0, E | * 0 (w zory (12)).

O efekcie decyduje w ięc rozkład składow ej stycznej (do pow ierzchni ściany) pola m agnetycznego.

W arto dodatkow o zw rócić uw agę na fakt, że rozw iązanie (7), (8), aczkolw iek przydatne przy o bliczaniu prądów w irow ych, m a jed n ak inne w ady. W linii dw uprzew odow ej przy rozw iązaniu (7), (8) pom ija się:

- transport energii w kierunku przepływ u prądu;

- napięcie m iędzy przew odam i;

- istnienie ładunku elektrycznego na pow ierzchni przew odów .

L IT E R A T U R A

1. A panasew icz S.: A n investigation o f the influence o f the disp lacem en t currents on the electrom agnetic field distribution at a m etallic body surface. C om pel, N o 2, Jam es& Jam es 2 0 0 0.

Recenzent: D r hab. inż. A leksander Żyw iec Prof. P olitechniki Śląskiej

W płynęło do R edakcji dnia 20 kw ietnia 2000 r,

A bstract

In this p ap er the electrom agnetic field distribution caused by the flow o f a current in long electric lines is presented. It is assum ed th at the electric current has the form given by the by the e q u a tio n (l). T he follow ing tw o cases are considered:

82 S. Apanasew icz

a) k=0 (displacem ent current is neglected), b) 1*0 (displacem ent current is taken into account).

B asing on the perform ed analysis one can draw the general conclusiens

a) A ll com ponents o f electrom agnetic field can be expressed by one function o f £, (eq. 5).

b) T he electric field distributions in tw o cases (k=0, k*0) are entirely different from each other even for a low frequency (eq. 11, 12). H ow ever, the m agnetic field distributions are different only for a high frequency,

c) T he eddy currents distributions in a m etallic w all placed in a neighbourhood o f the electric line are not different in tw o cases (k=0, k*0) for a low frequency.

\