O wzorach służących do obliczenia liczby liczb pierwszych nie przekraczających danej granicy

K s. BISKUP A . BARANOWSKI.

O " W Z O R A C H

SŁUŻĄCYCH DO

U

CZE PIH

NIE PRZEKRACZAJĄCYCH DANEJ DRANICY.

W K R A K O W I E . NAKŁADEM AKADEMII UMIEJĘTNOŚCI.

S K Ł A D G Ł Ó W N Y W K S IĘ G A R N I S P Ó Ł K I W Y D A W N IC Z E J P O L S K I E J .

N O W S Z E W Y D A W N I C T W A

A K A D E M I I U M I E J Ę T N O Ś C I

W Y D Z IA Ł U MATEM ATYCZNO-PRZYRODNICZEGO.

B a m i ę t n i k A k a d e m i i U m i e j ę t n o ś c i . W y d z i a ł m a t e m a t y c z n o - p r z y ­ r o d n i c z y . T o m XVIII. 4°, str. 243, z 27. ta b lic a m i i lic z n e m i ry c in a m i w tek ście. C ena 5 zir.

R o z p r a w y A k a d e m i i U m i e j ę t n o ś c i . W y d z i a ł m a t e m a t y c z o - p r z y r o d n i - c z y . S e ry a H. to m III, ogólnego z b io ru tom XXIII, 1891, w 8° d u żej, str. 407 z ta b lic a m i i 7 ry c in a m i w tekście. C en a 10 złr.

— S e ry a II, to m IV. Ogólnego z b io ru tom XXIV lex. 8° str. 395 z 7 ta b lic a m i i 10 ry c in a m i w tekście. C ena 7 złr.

— S e ry a II, to m V. ogólnego z b io ru tom XXV. lex. 8" str. 377 z 6 ta b lic a m i i 12 ry c in a m i w tek ście. C ena 6 złr.

— S e ry a II, to m VI. ogólnego z b io ru tom XXVI. lex. 8° str. 436. z 9 tab lica m i i 19 ry c in a m i w tek ście. C en a 6 złr.

E. B a n d r o w s k i : O p a raz o fen y len a c h , c h in o n im id a c h i p o ch o d n y ch , lex. 8° str. 7.

C ena 15 ct.

— O u tle n ie n iu p a ra fe n ile n o d w u a m in u , lex. 8° s tr. 13. C en a 20 ct.

A. B e c k : O z m ia n a c h c iś n ie n ia k rw i ,w ży łach , lex. |8°, str. 40, z 20 ry c in a m i w tek ście. C en a 70 ct.

L. B i r k e n m a j e r : M arcin B ylica z O lk u sza o ra z n a rz ę d z ia a stro n o m ic zn e , k tó re z a p is a ł U n iw ersy teto w i Ja g iello ń sk iem u w ro k u 1493, z 12 ry c in a m i w tek ście lex. 8° s tr. 163. C en a 1 11. 50 ct.

C y b u l s k i i Z a n i e t o w s k i : D alsze d o św ia d c ze n ia z k o n d e n s a to ra m i: Z a le ż n o ść p o b u d z e n ia n e rw ó w o d en erg ii ro z b ro je n ia , lex. 8° str. 5. C en a 10 ct.

S. D i c k s t e i n : O ro z w ią z a n iu k o n g ru e n cy i z'1-— a yn == 0 (m od M) lex. 8° str. 5.

C ena 10 ct.

B. E i c h l e r i M. R a c i b o r s k i : N ow e g a tu n k i zielenic. 8° st r. 11 z tab licą . C en a 20 ct.

B. E i c h l e r i R. C u t w i t i s ' k i : 1 De n o n n u llis sp e c ie b u s a lg a ru m n o v a r u m . lex.

8° s tr . 17, z 2 tab lica m i. C en a 40 ct.

W . G o s i e w s k i : O p rz e k sz ta łc e n iu n ajp raw d o p o d o b n iejszem u c ia ła m ate ry a ln eg o . lex. 8°, str. 13. C en a 20 ct.

J. T a l l t o - H r y n c e w i c z : Z a ry s y leczn ictw a ludow ego n a R u si p o łu d n io w ej, lex . 8° s tr. 461. C en a 3 złr.

E. J a n c z e w s k i : C lad o sp o riu m h e rb a ru m i jeg o n a jp o s p o litsz e n a zbożu to w a ­ rzy sze, lex. 8°, str. 45 z 4 tab lica m i. C en a 1 złr.

— Z aw ilce. C zęść III. lex. 8°, str. 20, z tab licą . C ena 40 ct.

S. J e n t y s : O p rz esz k o d a ch u tru d n ia ją c y c h w y k ry c ie d ia s ta z y w liś c ia c h i ło d y ­ g a c h , lex. 8° str. 47. C en a 60 ct.

— S tu d y a n a d ro z k ła d em i p rz y sw a ja ln o śc ią zw iązk ó w azo to w y c h w o d c h o d ac h zw ierzęcy ch , lex. 8°, str. 113, z 9 ry c in a m i. C ena 1 złr. 25 ct.

H. K a d y i : P rzy czy n k i do a n a to m ii p o ró w n aw czej z w ierz ąt d o m o w y ch (z ta b lic ą je d n ą i 2 ry c in a m i) lex. 8° str. 22. C ena 50 ct.

S. K ę p i ń s k i : Z te o ry i n ieciąg ły ch g ru p p o d sta w ie ń lin io w y ch p o sia d a ją c y c h sp ó ł- czy n n ik i rzeczy w iste. Z tab licą , lex. 8° str. 30. C e n a 50 ct.

— O c a łk a c h ro z w ią z a ń r ó w n a ń ró żn iczk o w y ch zw y cz a jn y c h lin io w y c h je d n o ­ ro d n y c h rz ę d u 2-go, lex. 8° str. 65. C ena 80 ct.

Ks. biskup Ä. Baranowski.

O W Z O R A C H

SŁUŻĄCYCH DO

l i i i

cni c m ^liczb

GRANICY.

NIE PRZEKRACZAJĄCYCH DANEJ

W K R A K O W I E . NAKŁADEM AKADEMII UMIEJĘTNOŚCI.

S K Ł A D G Ł Ó W N Y W K S IĘ G A R N I S P Ó Ł K I W Y D A W N IC Z E J P O L S K I E J .

Osobne odbicie z T om u X X V III. B ozpraw W ydziału m atem atyczno-przyrodniczego A kadem ii U m iejętności w K rakow ie.

' b

K raków , 1895. — W drukarni U n iw ersytetu J a g ie llo ń sk ieg o , p o d zarządem A. M. K osterkiew icza.

O wzorach

służących do obliczenia liczby liczb pierwszych

nie przekraczających danej granicy.

P rzez

ks. biskupa A. Baranowskiego.

Rzecz przedstaw iona n a posiedzeniu W ydz. m a t.-p rz y r. z dnia 2. lip ca 1894 r .;

referent czl. M ertens.

#---

Od lat kilku zupełnie zależałem pole gram atyki, a ugrzązłem, ra­

czej pogrążyłem się w matematyce, nie jako fachowy, ale ja k dyletant, samouczek, bez prawideł, wskazówek i znajomości powszechnie przyjętych formuł. Napisałem kwadraty i sześciany liczb od 1 do 1000 z ich różnicami.

Potęgowałem liczby małe: 2 , 22, 23... 2300 ; 3, 3'2, 33... 3 200; 5, 52, 53...

515°. 72 ^ 7 3 . . . 7 3 5 . p r Z y tej pracy poznałem stosunki i prawidła, o których później się dowiedziałem, źe nazywane są dwumianem Newton’a.

Zastanawiając się nad stosunkami i prawami wykładników, wpadłem na trop, który mię doprowadził do zbadania wielokształtu podzielności liczb złożonych. Przytem zbadałem wszystkie liczby w zakresie numera- cyi od 0 do 1000; potem do 10000. Za wskazówką i poradą Dra W ebera zapisałem sobie dzieło W ertheima „Die Theorie der Zahlen“, ale jego wykład i znakowanie — dla m nie, jako la ik a , były orzechami zanadto twardemi na moje zęby. Zainteresowała mię jednak funkcya

<p(m), jako mająca związek z moją analizą liczb w celu znalezienia pra­

wideł, zapomocą których mógłbym poznać, która liczba jest pierwszą, 1

A . Ba r a n o w s k i. [193]

a jakie są cechy liczb złożonych. Przy pomocy Dra Hossfelda w Eise­

nach, poznałem zasady funkcyi <p(ni). Opracowując tę funkcyę w za­

kresie do 1 0 0000, potem do 1,000 0 0 0 , wykryłem okresy symetrycz­

nych luk między liczbami względnie pierwszemi, po usunięciu każdej z porządku z liczb pierwszych ze wszystlciemi przez nią podzielnemi liczbami i prawidło ogólne, że

? ( P v Pi- P b - P", n) "= (Pi - 1) (P-²— 1) iPz— 1) - ( P n — 1) oraz że <p ( g p . , ( f a — (fg— 4 - ( p ,— -f)-

W ykryta zaś symetrya luk w danym okresie, t. j. że luka 1-sza

= luce ostatniej, 2-ga = przedostatniej , 3-cia z początku = 3-eiej od końca i t. d. aż do połowy, czyli środka okresu, to jest do

wskazała możność obliczenia na poczekaniu i zakresu n u m era cji 0, 1, 2, 3, ... m = p v p 2, p 3 ... p n + r,

oraz m = g. p 1. p 2. p s... p„ ± r,

gdyż ? ( p if ,P 3 .. .p . ± r,%) = ( p i — i ) ( p, — i)... (p.—

oraz f(p.(pi.p:P 8...p.± r, 4 ) = 0 ł ( p i — ^)(pg— (P.—

Zakomunikowałem te spostrzeżenia przez p. W ebera Drowi Hoss- feldowi, który przyznał im wielką w agę; ale potem zawiadomił mię, że już w roku 1872 Dr. Meissel te same prawa odkrył i ogłosił, tylko jeszcze nić wiedział o wewnętrznej symetryi okresów i dla tego wzór jego posiada tylko -j- r , ale nie — r. W ydrukował o tern za mojem przyzwoleniem króciutki artykulik o dopełnieniu przeze mnie wzoru Meissela. Artykulik wyszedł niefortunnie, bo przed wydruko­

waniem nie przysłał mi go do przejrzenia. Wsadził doń bez potrzeby własnego pomysłu p T, bez potrzeby i sensu. Kiedym go później przeko­

nał, iż wszystkie trudności i pomyłki wyrażenie —1> '(r— 1 , n) usuwa, przysłał mi do przejrzenia napisany do druku drugi artykulik o tern samem; ale jego objaśnienie — ip (r— 1, ra), — 7 , nie trafiło do mojego przekonania; moje zaś objaśnienie on uważał za naciągnięte. W ten sposób artykulik jego nie wyszedł z druku.

Dla większego jeszcze uproszczenia obliczeń funkcyi <p (m), ułoży­

łem analityczną tablicę okresu p s , t. j. <p(2. 3. 5. 7. l l . 13, 6) —

<p (30 030, 6), która wielkie daje ułatwienie przy obliczaniu większych zakresów numeracji.

[194] O WZORACH DO OBLICZENIA LICZBY LICZB PIER W SZY C H . 3 Potem napisałem teoryę lu k , których Dr. Hossfeld nie podjął się sprawdzić.

Nareszcie usunąwszy wszystkie liczby podzielne przez 2 , 3 i 5, jako łatwe do poznania, zanalizowałem zakres numeracyi 0, 1, 2, 3, ...

150060, czyli liczby wszystkie pierwsze w tym zakresie, oraz podzielne przez 7, U , 13, 1 7 ,..., t. j. przez p5, p6, j?7, . . . Spisałem na ogół liczb 40008, oznaczając je właściwemi czynnikami n. p. 49 = 7 2, 77 = 7.11; 9 1 -.7 .1 3 , 1001-=7. 11. 13 i t, d.

Później z tego kajetu wypisałem osobno same tylko liczby pierwsze, to jest

P j ?2 = 3 , p s —5 , Pi = " . . . . Pi3S52 = 1 5 0 0 5 3 .

Gustaw Wertheim w dziele „Elemente der Zahlentheorie“ (Leipzig 1887) rozwija i przykładem objaśnia następujący wzór Meissel’a do obli­

czenia w danym zakresie numeracyi liczb pierwszych str. 24.

-j/ (w) = <p (w, m ) + m ( p .+ l ) + \ — — 1 — V ^ ( — — - )

Ł kr, v 7

(n) oznacza tutaj, ile się zawiera liczb bezwzględnie pierwszych w za­

kresie numeracyi od 0, 1, 2, 3, . . . . n.

m oznacza, ile liczb pierwszych znajduje się w sześciennym pierwiastku zakresu n , czyli m=<\i(\jn).

y. oznacza, ile liczb pierwszych znajduje się w pierwiastku kwa­

dratowym V n , po odjęciu liczby tychże liczb, będących w pierwiastku sześciennym, czyli p, = iL y n — m.

m-\- (* = <K Vw)-

Wzór ten, dobry przy obliczaniu niewielkich zakresów nume­

racyi, kiedy n nie przewyższa setek, tysięcy; znośny jeszcze i przy obliczaniu dziesiątek tysięcy; w wielkich zaś zakresach numeracyi, wy­

maga wiele miejsca, czasu i pracy. Można się o tern przekonać, oblh czając choćby tylko

M = 100000; y i T = 4 6; ^ (46) = 14; \ ⁿ = 316; <|/(316) — 65;

ponieważ zaś m — 6 (V n) = ^ (46) = 14,

4 ^A. b a r a n o w s k i. [195]

przeto [a= [ ł (

V

<p («, to) = <p (100 000, 14) = 14204, Tego trzeba dowieść rachunkiem następującym.

Liczby te 14 są następujące: <px = 2 , p2 = 3 , p3 = 5, p 4 = 7, p 5 — 11, p6 = 13, p 7 = 17, _p8 = 19, p9 = 23, p10 = 29, p n = 3 1 , p 12=37, Pl3 = 1 B i = 431

'100000 9 (100000, 14) = <p(100000j 13)— [ ? (

= 14 540 — 336 = 14 204

<p (100000, 13) = (p(100000, 12)— [ 9 ^ 100000

= 14899 — 351 9 (100000, 12)= 9(100000, 11) — [ 9 (

43 ^, 13

41 , 12)

= 14 899 — 359 = 14540 100000

37 ^, U 15 305 — 406 = 14899

100000 9 (100000, 11)= 9(100000, 10) — [ 9 (

31 ^, 10 15805 — 500 = 15305

100000 9 (100000, 10)= 9(100000, 9) — [ 9 ( 29

= 16 361 — 556 = 15805 9 (100000, 9) = 9 (100000, 8) - [ 9 ( 100000

23 '

= 17 103 — 742 = 16361 9 (100000, 8) = 9(100000, 7)— [ 9 (

= 1 8 0 5 3 — 950 9 (100000, 7) = 9(100000, 6)— [ 9 ^

= 19181 — 112 9 (100000, 6) = 9( 100000, 5)— [ 9 (

100000

6 19 ’

= 1 8 0 5 3 — 950 = 17103 100000

17 ’ 19181 — 1128 = 18053

100000 _ 13 , 5 20779 — 1598 = 19181

100000 , (100000, 5) = 9(100000, 4) — [ 9 ( 4

11 ^’ 22 857 — 2078 = 20 779

= 9(2325,13)

= 9(2439, 12)

= 9(2707,11)

= 9(8225,10)

9(3448, 9)

= 9 (4347, 8)

= 9(5263, 7)

- 9(5882, 6)

= 9 (7692, 5)

= ? (9090, 4)

|1 9 6 ] O WZORACH DO OBLICZENIA LICZBY LICZB PIERW SZY CH , 5

9 ( 100000, 4) = 9 (100000, 3)— [ 9 ( ^ ^ 9 , 3 ) = 9 (1 4 2 8 5 ,3 )] =

= 26666 — 3809 = 22857

9 (100000, 3) = 9 (100000, 2)— [ 9 ^ ^ ^ ^ , 2 ) = 9 (20000,2)] =

= 33383 — 6667 = 26666

9 (100000, 2) = 9 (100000, 1)— F 9 , 1 ) = ? (33 333,1)] =

= 5 0 0 0 0 — 16 667 = 33 333.

<p (20000, 2) = 9 (20000, 1) — 9 (6 6 6 6 , 1) = 10000 — 3 3 3 3 = 6 6 6 7

<p (14 285, 3) = 9 (14 285, 2 ) - 9 (2 857, 2)= 4 762 - 9 5 3 = 3 809 9 (14285, 2) = 9 (1 4 2 8 5 , 1 )-® (4 761, 1 )= 7 143—2 381=4 762

9 (2 8 5 7 , 2) = 9 (2 8 5 7 , 1) - 9 (952, 1) = 1429 — 476 = 953 9 (9 090, 4) = 9 (9 090, 3) - 9 (1298, 3) = 2 424 - 346 = 2 078 9(9090, 3) = 9 (9090, 2) - 9 (1818, 2) = 3 0 3 0 - 6 0 6 = 2 4 2 4 9(9090, 2) = 9 ( 9 0 9 0 , l ) - 9 ( 3 0 3 0 , 1) = 4 5 4 5 - 1 5 1 5 = 3030

9 (1 8 1 8 , 2)= 9 ( 1 8 1 8 ,l ) - 9 (606,1) = 9 0 9 - 3 0 3 = 606 9 (1298, 8) = 9(1 298, 2) - 9(259, 2 ) = 433 - 87 = 346 9 (1 2 9 8 , 2 ) = 9(1 298, l ) - 9(432, 1 ) = 649 - 2 1 6 = 4 3 3

9(259, 2) = 9(259, 1) - 9(86,!)= 1 3 0 - 4 3 = 87 9 (7 692, 5) = 9 (7 692, 4 ) - 9 ( 699, 4) = 1 7 5 8 - 1 6 0 = I 598 9(7 692,4) = 9(7 6 9 2 ,3 ) - 9 (1098, 3 ) = 2 051 - 2 9 3 = 1758 9(7 692.3) = 9(7 692, 2 ) - 9 (1538, 2) = 2 5 6 4 - 5 1 3 = 2 0 5 1 9 (7 692, 2) = 9 (7 692, 1) - 9 (2 564,1) = 3 846 - 1 282 = 2 564

9 (1 538, 2) = 9 (1 538, 1)—<p(512,11= 769 - 2 5 6 = 513 9 (1098, 3) = 9 (1098, 2 ) - 9 ( 219,2) = 366 - 73 = 293 9 (1 098, 2) = 9 (1 098, 1) —9 ( 366, 1) = 549 - 1 8 3 = 366

9 ( 2 1 9 ,2 )= 9 ( 219,1) - 9(73,1) = 110 - 37 = 73 9 ( 699, 4) = 9 (699, 3) —9 ( 99, 3) = 186 - 26 = 160 9 ( 699, 3) = 9(699, 2 ) - 9 ( 139,2) = 233 - 47 = 186 9 ( 699, 2) = 9 (699, 1) - 9 ( 233,1) = 350 - 1 1 7 = 233

9(139, 2) = 9 ( 139, 1) - 9 ( 4 6 ,1 ) = 7 0 - 23= 47 9 (99, 3) = 9 (99, 2) - 9 (19, 2) = 33 - 7 = 26 9(99, 2) = 9 (9 9 ,1 ) - 9(33, I) = 50 - 1 7 = 33

9(19, 2) = 9 (19, 1 ) - 9(6,1)= 10 - 3 = 7

6 A.. BARANOW SKI. [107]

9(5882, 6)=<p(5882, 5 ) - 9 ,( 452, 5 ) - 1 2 2 2 - 94 = 1128 9(5882, 5)= 9 (5 8 8 2 , 4)-< p( 534, 4 ) = 1 3 4 5 - 123 1222 9(5882, 4 )= y (5 8 8 2 , 3)—? ( 840, 3 ) = 1569 — 224 = 1345 9(5882, 3)=<p(5882, 2 )-< p (ll7 6 , 2 ) = 1961 - 3 9 2 = 1569 9(5882, 2 ) = ? (5882, 1) - 9 (1960^ 1 )= 2941 - 9 8 0 - 1961

9 (1176, 2) = ? (1176, 1)—<p(391,l)=588 - 196 = 392 9(840, 3) = 9(840, 2) - - 9 (168, 2) - 280 - 56 = 224

9(840, 2) = 9 (8 4 0 , 1) - ^ ( 2 8 Ą 1) = 420 - 1 4 0 = 280

9(168, 2) = 9 (168, 1) - 9 (56,1) = 84 - 28 = 56 cp' (534, 4) — fp. (534, 3) -—9 ( 76, 3) — 143 — 20 — 123

9(534, 3) = 9 (5 3 4 , 2) -<p(106, 2) = 178 - 35 = 143 9(534, 2) ={,(534, 1) - 9 ( 1 7 8 , 1) = 267 - 89 = 178

9(106, 2) = 9 (106, 1) - 0 ( 3 5 .1 ) = 53 - 18 = 35 9(76, 3 ) = {,(76, 9) - 9(15, 9 ) = 2 5 - 5 = 2 0

9(76, 2 ) = 9(76, l ) - 9 ( 2 5 , 1 ) ^ 3 8 - 1 3 = 2 5

9(15, 2) = 9(15, 1 ) - 9 ( 5 ,1 ) ^ 8 - 3 = 5 9 (452, 5 )= 9 (452, 4)— 9 ( 41, 4}= 104 - 1 0 = 94

9(452, 4 ) = 9 (452, 3 ) - o ( 64, 3) = 121 - 1 7 = 104 9(452, 3 )= 9 (452, 2) - 9 ( 90, 2 )= 151 - 30 = 121 9(452, 2 )= 9 (452, 1 ) - 9 ( 1 5 0 , 1) = 226 - 75 = 151

9 (90, 2 ) - 9 ( 9 0 ,1 ) = 9 (30,1)^45 - 1 5 = 30 9 (64, 3 )= 9 (64, 2.)—9 (12, 2 ) = 2 1 — 4 = 1 7

9 (64, 2 )= 9(64, ) ) - 9 ( 1 2 , 1 ) = 3 2 - 1 1 = 21

9 ( 12, 2) —9 (12, 1 ) - 9(4,1) = 6 - 2 = 4 9 (41, 4 ) = 9 (41, 3)—9 ( 5, 3)= 11 — 1 = 10

9(41, 3) = 9 (41, 2) - 9 ( 8j 2) = 1 4 - 3 = 11 9(41, 2) = 9 (41, 1)— 9 (13, 1) =21 — 7 = 14 9 (5263, 7)= 9 (5263, 6) - 9 ( 309, 6) = 1009 - 59 = 950 9 (5263, 6)= 9 (5263, 5 ) - 9 ( 404, 5) = 1094 — 85 = 1009 9 (5263, 5)= 9 (5263, 4 ) - 9 ( 478, 4) = 1203 - 109 = 1094 9 (5263, 4)= 9 (5263, 3 ) - 9 ( 751, 3) = 1404 - 2 0 1 = 1203 9(5263, 3)= 9 (5263, 2 ) - 9(1052, 2) = 1755 - 3 5 1 = 1404 9 (5263, 2)= 9 ( 5 2 6 3 ,1 )- 9 (1754, 1) = 2632 - 8 7 7 = 1755

9 (1052, 2)= 9(1052, 1)— 9(350,1) = 526 — 175 = 351

[198] ^o WżorAoS bo oBlicżrnia LiCzBy liOzb pibBWszYcIi.

9(751, 3) = 9(751, 2) - ?(150, 2) = 251 - 50 - 2 0 1 9(751, 2 ) = 9 (751, 1) - 9 (250, 1) = 376 - 1 2 5 = 251

9 (150, 2) = 9 (150, 1) —9 (5 0 ,1 )= 7 5 — 25 = 9 (478, 4) = 9 (478, 3) — 9 ( 68, 3) = 127 — 18 = 109 9 (478, 3) - 9 (478, 2) - 9 ( 95, 2) = 159 — 32 = 127 9(478, 2) = 9 (478, 1) - 9 (159, 1) = 239 - 80 = 159

9 (95, 2) = 9 ( 95, 1) — 9 (31.1) = 48 — 16 = 9 ( 68, 3) = 9 (O8, 2)—9 (13,2) = 23— 5 =18 9 ( 6 8 , 2) = 9 (68, 1)—9 (22,1)=34—11 =23

9 (13, 2 )= 9 (13,1) - 9 (4, 1) =7 —2__ — 9 (404, 5) = 9 (404, 4) — 9 ( 36, 4) = 93 — 8 = 85 9 (404, 4) = 9 (404, 3) - 9 ( 57, 3) = 108 - 15 = 93 9 (404', 3) = 9 (404, 2) - 9 ( 80, 2) = 135 - 27 = 108 9 (404, 2) = 9 (404, 1) - 9 (134,1) = 202 - 67 = 135

9 ( 80, 2) = 9 ( 30, 1)—9(26,1) = 40 — 13 = 9 (57, 3) = 9 (57, 2 ) - 9(11,2) = 19 - 4= 1 5

9(57, 2) = 9(57, 1 ) - 9(19,1) = 2 9 - 1 0 = 1 9 _________ 9(11, 2) = 9(11,1) -9 (3 ,1 )= 6 - 2 = 9(36, 4) = 9(36, 3 ) - 9 ( 5,3) = 9 - 1= 8 9 (36, 3) = 9 (36, 2) — ^ep( 7,2) = 12 — 3= 9 9(36, 2 ) = 9 (86, 1 ) - 9(12,1) = 18 - 6= 12

9 ( 7, 2) = 9( 7,1) —9(2,1) = 4 — 1 = 9 ( 5, 3) = 9( 5,2) 9(1,2) = 2— 1= I 9 ( 5, 2) = 9( 5,1) —9(1,1) = 3— 1 = 2 _____

9 (309, 6) = 9 (309, 5) - 9 ( 23, 5) = 64 - 5 = 59 9 (309, 5) = 9 (309, 4) - 9 ( 28, 4) = 70 - 6 = 64 9(309, 4) = 9(309, 3) - 9 ( 44, 3) = 82 - 12 = 70 9(309, 3) = 9(309, 2) - 9 ( 61, 2) = 103 - 21 = 82 9(309, 2) = 9 (309, 1) - 9 (103, 1) =155 - 52 =103

9(61, 2 )= 9 (6 1 , 1) - 9 (20,1) = 31 - 10 = 9(44, 3 )= 9(44, 2 ) - 9 ( 8 ,2) = 1 5 - 3 - 1 2 9 (44, 2)— 9 (44, 1)—9 (14, 1) = 2 2 — 7 = 1 5

9 (8, 2)= 9 (8, 1) — 9 (2, 1) = 4 — 1 = 9 (28, 4) — 9 (28, 3) — 9 ( 4, 3) = 7 — 1 = 6 9(28, 3 )= 9 (2 8 , 2 ) - 9 ( 5, 2 ) = 9 - 2 - 7 9 (28, 2) = 9 (28, 1) — 9 ( 9, 1) — 14 — 5 = 9

9 (5, 2) — <p (5, 1) —9 (1, 1) = 3— 1 - 7

50

32

5

27

4

3

21

3

2

8 A. M H A N O W S K i, [199)

9(23, 5 ) = 9(23, 4 ) - 9 (2, 4 ) = 6 - 1 = 5 9(2 3 , 4 ) = 9 (23, 3) - 9 (3, 3 ) = 7 - 1 = 6 9(23, 3 ) = 9 (23, 2 ) - 9 (4, 2 ) = 8 - 1 = 7 9 (23, 2 ) = 9(23, 1 ) - 9 (7, 1 )= 1 2 - 4 = 8 9 (4347, 8) = 9 (4347, 7 ) - ? ( 228, 7) = 7 8 5 - 4 3 = 742 9(4347, 7) = 9(4347, 6) - 9 ( 255, 6) = 8 3 4 - *9 = 785 9(4347, 6) = 9(4347, 5 ) - 9 ( 334, 5) = 9 0 3 - 6 9 = 834 9(4347, 5) = 9(4347, 4 ) - 9 ( 395, 4) = 993— 9 0 = 903 9(4347, 4) = 9(4347, 3 ) - 9 ( 621, 3) = 1 1 5 9 - 1 6 6 = 993 9(4347, 3) = 9(4347, 2 ) - 9 ( 869, 2) = 1 4 4 9 -2 9 0 = 1 1 5 9 9 (4347, 2) = 9 (4347, 1)— 9(1449, 1) = 2 1 7 4 -7 2 5 = 1 4 4 9

9 (869, 2) = cf (869, 1) - 9 ( 2 8 9 ,1 ) = 4 3 5 - 145 = 290 9 (621, 3 )= 9(621, 2) -9 (1 2 4 ,2 )= 2 0 7 - 41 = 164 9(621, 2 ) = 9(621, 1) - 9(207,1)=311 - 104 = 207

9(124, 2)= 9(124,1)-9(41,1) = 62 - 21 = 4 ! 9 (395, 4 ) = 9 (395, 3 ) - 9 ( 5 6 ,3 ) = 1 0 5 - 1 5 = 90

9(395, 3 ) = 9(395, 2 ) - 9 ( 7 9 ,2 ) = 1 3 2 - 2 7 = 105 9(395, 2 )= 9(395, 1 )-9 (1 3 1 ,1 )= 1 9 8 -6 6 = 1 3 2

9(79, 2) =9(79,1) - 9 ( 2 6 ,1 ) = 4 0 - 13 = 27 9 (06, 3) = 9(56, 2) - 9 ( l l , 2) = 1 9 - 4 = 1 5

9 (56, 2) = 9 (56, l ) - 9 (18, 1) = 2 8 - 9 = 19

9 (11, 2 ) = 9 (11, 1) —9(3,1 ) = 6 — 2 = 4 9 (334, 5) = 9 (334, 4 ) - 9 ( 30,4) = 76 - 7 = 69

9(334, 4) = 9(334, 3 ) - 9 ( 4 7 ,3 ) = 89 - 13 = 76 9(334, 3) = 9(334, 2) - 9 ( 6 6 ,2 ) = 111 - 22 = 89 9(334, 2) = 9(334, 1 ) - 9 ( 1 1 1 ,1 )= 167 - 56 = 111

9 ( 66, 2 ) = 9 ( 66,1) - 9 (22, 1) = 33 - 11 = 22 9 ( 4 7 , 3 ) = 9 ( 4 7 , 2 ) - 9 ( 9 , 2 ) = 16 - 3 = 13 9 ( 47, 2 )= 9 ( 47,1) — 9 ( 1 5 ,1 ) = 24 - 8 = 16 9 ( 9,2) = 9 ( 9)1) = 9 (3,1)= 5 —2 = 3 9 ( 30, 4) = 9 (30,3) — 9 ( 4,3) = 8 — 1 = 7

9 ( 30, 3 ) = 9(30,2) - 9 ( 6,2) = 1 0 - 2 = 8 9 ( 3 0 , 2 ) = 9(30,1) - 9(10,1) = 1 5 - 5 = 1 0

[200] O WZORACH DO OBLICZBHIA LICZBY ŁlCZB PIER W SZY C H . 9 9 (255, 6) = 9 (255, 5)— 9 (19,5)= 53 — 4 = 49

9(255, 5) = 9(255, 4 ) - 9(23,4) = 59 - 6 =53 9(255, 4 ) = 9(255, 3 ) - 9 (3 6 ,3 )= 68 - 9 =59 9 (255, 3) = 9 (255, 2) - 9 (51,2) = 85 - 17 =68 9(255, 2) = 9(255, 1 ) - 9 (8 5 ,1 )= 128 - 43 =85

9 ( 51, 2 )= 9 ( 5 1 ,1 ) - 9(17,1) = 2 6 - 9 = 17 9 ( 36, 3) ^ 9 ( 3 6 ,2 ) - 9 ( 7,2) = 1 2 - 3 = 9

9 ( 36, 2 ) = 9 ( 3 6 ,1 ) - 9(12,1) = 18 — 6 = 12 9 ( 7,2) — 9 ( 7,1) — 9 (2,1)= 4 — 1 == 3 9 ( 23, 4) = 9 (23,3) 9 ( 3,3) = 7 - 1 = 6

9 ( 23, 3) = 9(23,2) - 9 ( 4,2) = 8 - 1 = 7 9 ( 23, 2) = 9 (23,1) — 9 ( 7,1) = 12 — 4 = 8 9 ( 19, 5) = 9 (19,4) — 9 ( 1,4) = 5 - 1 = 4 9 ( 19, 4 ) = 9 ( 1 9 ,3 ) - 9 ( 2,3) = 6 - 1 = 5 9 ( 19, 3 ) = 9 ( 1 9 ,2 ) - 9 ( 3,2) = 7 - 1 = 6 9 ( 19, 2) = 9 ( 1 9 ,1 ) - 9 ( 6, 1) = 10 - 3 = 7 9 (228, 7) = 9 (228, 6) - 9 (13,6) = 44 - 1 = 4 3 9 (228, 6) = 9 (228, 5) - 9 (17,5) = 47 - 3 = 44 9 (228, 5) = 9 (228, 4) - 9 (20,4) = 52 - 5 = 47 9 (228, 4) = 9 (228, 3) - 9 (32,3) = 61 - 9 = 52 9 (228, 3) = 9 (228, 2) - 9 (45,2) = 76 - 15 = 61 9(228, 2) = 9(228, 1 ) - 9(76,1) = 114 - 38 = 76

9 ( 45, 2) = 9 (45,1) - 9(15,1) .= 2 3 - 8 15 9 ( 32, 3) = 9 (32,2) — 9 ( 6,2) = 1 1 - 2 = 9 9 ( 32, 2) = 9 ( 3 2 , 1 ) - 9(10,1) = 1 6 - 5 = 11 9 (3448,9) = 9 (3448,8) - 9 ( 149,8) 584 - 28 = 556

9 (3448,8) = 9 (3448,7) - 9 ( 181,7) = 620 - 36 = 584 9 (3448,7) = 9 (3448,6) — 9 ( 202,6) = 661 - 41 = 620 9 (3448,6) = 9 (3448,5) — 9 ( 265,5) = 716 - 55 - 661 9 (3448,5) - 9 (3448,4) - 9 ( 313,4) ?= 788 - 72 w 716 9 (3448,4) = 9 (3448,3) - 9 ( 492,3) == 919 - 131 = 788 9 (3448,3) = 9 (3448,2) - 9 ( 689,2) = 1149 - 230 919 9(3448,2) - 9 (3448,1) - 9 (1149,1) = 1724 - 575 = 1149

9 ( 689,2) = 9 ( 689,1) - 9(229,1) = 345 - 115 = 230

<p( 492,3) =«p( 492,2) - <p (9 8 ,2 )= 164 - 3 3 = 131

<p ( 492,2) = ip ( 492,1) — <p( 164,1) = 246 — 82 = 164 9(9 8 ,2 )= 9(98,1)—9 (3 2 ,1 ) = 4 9 - 16 = 33

Ä . b a r a n o w s k i. 1201]

<p (318,4)= 9 (313,3)— <p( 44,3) = 84 — 1 2 = 72 9 (3 1 3 ,3 )= 9 ( 8 1 3 ,2 )- y( 62,2) = 105 — 21— 84 9 (313,2)= 9 (3 1 3 ,1 )- 9(104,1) = 157 — 52 = 105

9 ( 62,2)= 9( 62,1) - 9 (20, 1) 3 1 - 10 = 21 9 ( 44,3)= 9 ( 44,2) — 9 ( 8,2) 1 5 - 3 = 12 9 ( 44,2) = 9 ( 44,1) — 9(14,1) — 22 - 7 = 15 9 (265,5)= 9 (265,4)- 9 ( 24,4) = 61 ■ 6 = 55 9 ( 2 6 5 ,4 )= 9 ( 2 6 5 ,3 )- 9 ( 37,3) = 71 • 10 = 61 9 (265,3) = 9 (265,2) - 9 ( 53,2) = 89 18 = 71 9 (265,2) = 9 (265,1) - 9 ( 88,1) = 133 44 = 89

9 ( 53,2)= 9( 53,1) - 9(17,1) =*s 27 - 9 = 18 9 ( 37,3) = 9 ( 3 7 , 2 ) - ?( 7,2) = 13 — 3 = 10 9 ( 3 7 ,2 )= 9 ( 3 7 , 1 ) - 9(12,1) 19 - 6 = 13 9 (202,6)= 9 (202,5) - 9 ( 15,5) = 43 2 = 41 9 (202,5) = 9 (202,4)- 9 ( 18,4) = 47 — 4 = 43 9 (202,4)= 9 (202,3)- 9 ( 28,3) = 54 — 7 = 47 9 (202,3 ) = 9 (202,2 ) - 9 ( 40,2) = 67 — 1 3 = 54 9 ( 2 0 2 ,2 ) = 9 ( 2 0 2 ,l) - 9 ( 67,1) = 101 — 3 4 = 67 9(181,7 ) = 9 ( 1 8 1 ,6 ) - 9 ( 10,6) = 37 — 1 = 36 9 ( 1 8 1 ,6 )= 9 ( 1 8 1 ,5 )- 9 ( 13,5) = 39 2 = 37 9(181,5 ) = 9 ( 1 8 1 ,4 ) - 9 ( 16,4) = 42 — 3 = 39 9 (181,4)= 9 (1 8 1 ,3 )-9 ( 25,3) = 49 — 7 = 42 9 ( 1 8 1 ,3 ) = 9 ( 1 8 l,2 ) - 9 ( 36,2) = 61 — 1 2 = 49 9 (181,2 ) = 9 (181, l ) - 9 ( 50,1) = 91 — 3 0 = 61

9 ( 36,2) = 9 ( 36,1) — 9(12, 1) = 1 8 - 6 = 12 9 ( 2 5 ,3 )= 9 ( 25,2) - 9( 5,2) = 9 — 2 = 7 9 ( 25,2)= 9 ( 2 5 ,1 ) - ?( 8,1) = 1 3 - 4 = 9 9 ( 1 4 9 ,8 )= 9 ( 1 4 9 ,7 )- 9 ( 7,7) = 29 1 = 28

9 (149,7)= 9 (149,6)—9 ( 8,6) = . 30 - 1 = 29 9 (149,6) = 9 (149,5)—9 (11,5) = 31 1 = 30 9 (149,5 ) = 9 (149,4)—9 (13,4) = . 34 3 = 31 9 (1 4 9 ,4 )= 9 (1 4 9 ,3 )-9 (2 1 ,3 ) = 40 - 6 = 34 9 (1 4 9 ,3 )= 9 (149,2) - 9 (29,2) == 50 • 10 = 40 9(149,2) = 9 (1 4 9 ,1 )-9 (4 9 ,1 ) => 75 - 25 = 50

9 ( 29,2)= 9 (29,1) - - ?(9,1) = 15 5 = 10

[2 0 2 ] O WZORACH DO OBLICZENIA LICZBY LICZB PIERW SZY CH . 11

<p (3225,10)= <p (3225,9)— ę( 111,9) = 521 - 21 = 500 9(3225, 9)= 9 (3 2 2 5 ,8 )- 9 (1 4 0 ,8 )= 548 - 27 = 521 9(3225, 8)= 9 ( 3 2 2 5 ,7 ) - 9( 169,7) = 581 - 33 = 548 9(3225, 7)= <p (3 2 2 5 ,6 )- <p( 189,6)= 618 - 37 = 581 9(3225, 6)= 9 ( 3 2 2 5 ,5 )- 9 ( 248,5)= 670 - 62 = 618 9(3226, 5),= 9 (8 2 2 6 .4 )- 9( 293,4)= 738 - 68 = 670 9(3225, 4)= 9 (8 2 2 6 ,3 )- 9( 460,3)= 860 - 1 2 2 = 738 9(3225, 3)= 9 (3 2 2 5 ,2 )- 9( 645,2)= 1075 - 2 1 5 = 860 9(3225, 2)= 9 (3 2 2 5 ,1 )- 9(1075,1)= 1613 - 5 3 8 = 1075

9 ( 645,2) = 9 ( 645,1)—9(215,1) = 3 2 3 - 1 0 8 = 2 1 5 • 9 ( 460,3)= 9 ( 460,2) —9( 92,2) = 1 5 3 - 31 = 122 9 ( 460,2)= 9 ( 460,1)—9(153,1) = 2 3 0 - 77 = 153

9 ( 92,2)= 9 ( 92,1) - o ( 3 0 , l ) = 4 6 - 1 5 = 31 9 ( 293,4) = 9 ( 293,3)—9( 41,3) = 79 - 1 1 = 68 9 ( 2 9 3 ,3 )= 9 ( 2 9 3 ,2 )-9 ( 58,2) = 98 - 1 9 = 79 9 ( 293,2)= 9 ( 293,1)—9( 97,1) = 147 - 4 9 = 98

9 ( 58,2) = 9( 68,1) - 9 (1 9 ,1 ).- 2 9 - 1 0 = 19 9 (4 1 ,3 ) = 9 (4 1 ,2 ) - 9(8,2) = 1 4 - 3 = I I

9 (4 1 ,2 ) = 9 ( 4 1 ,1 ) - 9 ( 1 3 ,1 ) ^ 2 1 - 7 = 14 9 ( 8,2) = 9 ( 8, 1) — 9(2,1) = 4 — 1 = 3 9 ( 248,5) = 9 ( 2 4 8 ,4 ) - 9( 22,4) = 57 - 5 = 52

9 ( 2 4 8 ,4 )= 9 ( 2 4 8 ,3 )-9 ( 35,3) = 66 — 9 = 57 9 ( 248,3) = 9 ( 248,2)- 9 ( 49,2) = 83 - 1 7 = 66 9 ( 248,2)^=9( 248,1)—9( 82,1) = 124 - 4 1 = 83

9 ( 49,2 )= 9 ( 49,1) -9 (1 6 ,1 ) = 2 5 - 8 = 1 7 9 ( 35,3) = 9( 35,2) - 9( 7,2) = 1 2 - 3 = 9 9 ( 35,2) = 9( 35,1) - 9(11,1) = 1 8 - 6 = 12 9 ( 7,2) = 9 (7,1) - 9(2 ,1) = 4 - 1 = 3 9 ( 189,6) = 9 (189,5) - 9 (14,5) = 39 - 2 = 37 9 ( 189,5)= 9 ( 189,4) — 9 (17,4) = 43 — 4 = 39 9 ( 189,4) = 9 ( 189,3) - 9 (27,3) = 50 - 7 = 43 9 ( 189,3) = 9 ( 189,2) - 9 (37,2) = 63 - 13 = 50 9 (1 8 9 ,2 )= 9 (1 8 9 ,1 ) - 9 ( 6 3 ,1 ) = 95 - 32 = 63

9 ( 37,2) = 9 ( 8 7 ,1 ) - 9(12,1) = 19 — 6 = 13

A . BARANOW SKI,

9 ( 27,3) = 9(27, 2 ) - <p( 5,2) = 9 - 2 = 7

<p( 27,2) = 9(27, l ) - 9( 9,1) = 14 - 5 = 9 9 ( 5, 2 )= 9( 5,1) -9 (2 ,1 ) = 8 - 1 = 2 9 ( 17,4) = 9 (17,3) - 9( 1,3) = 5 - 1 = 4

9 ( 17,3) = 9 (17,2) - 9( 2,2) = 6 — 1 = 5 9 ( 17,2) = 9(17,1) - 9( 5,1) = 9 — 3 = 6 9 ( 1 6 9 , 7 ) = 9 ( 1 6 9 ,6 )- ^{<p (} 9 ,6 )= 34 - 1 = 3 3 9(169, 6) = 9 (1 6 9 ,5 )- 9 (1 3 ,5 )= 36 - 2 = 8 4 9 (169, 5) = 9 (1 6 9 ,4 )- 9 (15,4)= 3 9 - 3 = 3 6 9(169, 4) = 9 (1 6 9 ,3 )- 9 (2 4 ,3 )= 46 - 7 = 3 9 9(169, 3) = 9 ( 1 6 9 ,2 )- 9(33,2)= 57 - 11 = 4 6 9 ( 1 6 2 , 2 ) = 9 (1 6 9 ,1 )- 9 (66,! ) = 85 - 28 = 5 7

9 (33,2) = 9 (33,1) - 9(11,1) = 1 7 - 6 = 1 1 9 ( 24,3) = 9 (24,2) — 9( 4,2) = 8—- 1 =7 9 ( 24,2) = 9 ( 2 4 , l ) - 9 ( 8,1) = 1 2 - 4 = 8 9 (140, 8) = 9 (140,7) — 9 ( 7,7) = 28 — 1 = 27 9 (140, 7) = 9 (140,6) - 9 ( 8,6) = 29 - 1 = 28 9 ( 1 4 0 ,6 ) = 9(140,5) - 9 (10,5) = 30 - 1 = 29 9 (140, 5) = 9 (140,4) - 9 (12,4) = 32 - 2 = 30 9 ( 1 4 0 ,4 ) = 9(140,3) - 9 (20,3) = 38 - 6 = 32 9 (140, 3 ) = 9 (140,2) - 9 (28,2) = 47 - 9 = 38 9 ( 1 4 0 ,2 ) = 9(140,1) - 9(46,1) = 70 - 2 3 = 4 7 9 ( 28,2) = 9 ( 28,1) — 9 ( 9,1) = 14 — 5 = 9

9 ( 20,3) = 9 ( 20,2) - 9 ( 4,2) = 7 - 1 = 6 9 ( 20,2) = 9 ( 20,1) — 9 ( 6,1) = 1 0 — 3 = 7

9 ( 4,2) = 9 (4,1) —9(1,1) = 2 — 1 = 1 9 ( 12,4) = 9 ( 12,8) - 9 ( 1 , 3 ) = 3 - 1 = 2 9 ( 12,3) = 9 ( 12,2) - 9 (2, 2) = 4 - 1 = 3 9 ( 12,2) = 9(1 2,1) - 9 (4, 1) = 6 - 2 = 4 9(111, 9) = 9(111,8) - 9 ( 4,8) = 2 2 - 1 = 2 1 9(1 1 1 ,8 ) = 9 ( 1 1 1 ,7 ) - 9 ( 5,7) = 23 - 1 = 2 2 9(111, 7) = 9 ( 1 1 1 ,6 ) - 9 ( 6,6) = 24 - 1 = 2 3 9(111, 6) = 9 ( 1 1 1 ,5 )- 9 ( 8,5) = 2 5 - 1 = 2 4 9(111,5) = 9(111,4) - 9 (10,4) = 2 6 - 1 = 2 5 9 (1 1 1 ,4 ) = 9 ( 1 1 1 ,3 ) - 9(15,3) = 30 - 4 = 2 6 9(111, 3) = 9(111,2) - 9(22,2) = 37 - 7 = 3 0 9 (1 1 1 ,2 ) = 9(111,1) - 9 (37,1) = 56 - 19 = 3 7

9 ( 2 2 ,2 )= 9 (22,1) —9(7,1) = 11 - 4 = 7

[204] O WZORACH DO OBLICZENIA LICZBY LICZB PIER W SZY C H . 13

9 (2702,11) = > (2 7 0 2 ,1 0 ) — <p ( 87,10) = 420 — 14 = 4 0 6 9(2702,10) = 9(2702, 9) — 9 ( 93, 9) = 436 - 16 = 420 9(2702, 9) = 9(2702, 8) — 9(117, 8) = 459 — 23 = 436 9(2702, 8) = 9(2702, 7 ) — 9(142, 7 ) = 487 — 28 = 459 9 (2702, 7) = 9 (2702, 6) — 9 (158, 6) = 519 — 32 = 487 9 (2702, 6) = 9(2702, 5) — 9 (207, 5) = 562 — 43 = 519 9 (2702, 5) = 9 (2702, 4) — 9 (245, 4) = 618 — 56 = 562 9(2702, 4) = 9(2702, 3) — 9 (886, 3 ) = 721 — 103 = 618 9(2702, 3) = 9 (2702, 2) — 9(540, 2 ) = 901 — 180 = 721 9(2702, 2) = 9(2702, 1) — 9(900, 1 ) = 1351 — 450 = 901

9 ( 540, 2) = 9(540, 1 )—9 (1 8 0 ,1 )= 2 7 0 — 9 0 = 1 8 0 9 ( 386, 3) = 9 (386, 2) - 9 ( 77,2)= 129 — 2 6 = 103 9 ( 386, 2) = 9 (386, 1 )— 9 (1 2 8 ,1 )= 193 — 6 4 = 129 9(77,2) = 9 ( 77, 1 ) —9 ( 25,1)= 39 - 1 3 = 26 9 (245, 4) = 9(245, 3) — 9 ( 35,3)= 65 — 9 = 56 9(245, 3) = 9(245, 2 ) —9 ( 49,2)= 82 — 1 7 = 65 9(245, 2) = 9(245, 1 )— 9 ( 81,1)= 123 — 4 1 = 82

9(49,2) = 9 ( 49, 1)—9 ( 16,1)= 25 — 8 = 17 9 ( 35, 3) = 9 ( 35, 2) —9 ( 7,2)= 1 2 — 3 = 9 9 ( 35, 2) = 9 ( 35, 1 )— 9 ( 11,1)= 18 — 6 = 12

?(7,2) = 9 ( 7, 1) —9 ( 2 ,1 )= 4 — 1 = 3 9 (207, 5) = 9 (207, 4) —9 ( 18,4)= 47 — 4 = 43 9 (2 0 7 ,4 ) = 9(207, 3 ) —9 ( 29,3)= 55 — 8 = 47 9 (207, 3) = 9 (207, 2 ) —9 ( 41,2)= 69 — 1.4= 55 9(207, 2) = 9 (207, 1) —9 ( 69,1)= 104 — 3 5 = 69 9(41,2)= 9 ( 41, 1)—9 ( 13,1)= 21 — 7 = 14 9(29,3)= 9 ( 2 9 , 2 ) —9 ( 5 ,2 )= 1 0 — 2 = 8 9(29,2)= 9 ( 29, 1) — 9 ( 9 ,1 )= 15 — 5 = 10 9( 5 ,2) = 9 ( 5, 1) —9 (1 , 1) = 3 — 1 = 2 9(18,4)= 9 ( 18, 3) —9 ( 2, 3) = 5 — 1 = 4 9(18,3)= 9 ( 18, 2) —9 ( 3, 2) = 6 — 1 = 5 9(18,2)= 9 ( 18, 1 )—9 ( 6, 1) = 9 — 3 = 6 9(158, 6) = 9 (1 5 8 , 5) — 9 ( 12, 5) = 3 3 — 1 = 32 9 (158, 5) = 9 (158, 4) — 9 ( 14, 4) = 3 6 — 3 = 33 9(158, 4) = 9 (1 5 8 , 3) — 9 ( 22, 3) = 4 2 — 6 = 36

14 A. BARANOWSKI. [205]

9 (158, 3) = 9(158, 2) — 9(31, 2 ) = 53 — 11 = 42 9(158, 2) = 9(158, 1) — 9(52, 1 ) = 79 — 26 = 53

9 ( 31, 2) = 9 (31, 1) —9 (10,1) = 16 — 5 = 11 9 ( 22, 3) = 9 (22, 2) - 9 ( 4,2) = 7 - 1 = 6

9 ( 22, 2) = 9 (2 2 , 1 ) ~ 9 ( 7 ,1 )= 11 - 4 = 7

9 (4, 2) = 9 ( 4, 1) —9 (1, 1) = 2 — 1 = 1 9 ( 14, 4) = 9 (14, 3) — 9 ( 2,3) = 4 — 1 = 3

9 ( H 3) = 9 (1 4 , 2) - 9 ( 2,2) = 5 — 1 = 4 9 ( 14, 2) = 9 ( 14, l ) - 9 ( 4,1) = 7 — 2 = 5 9 (142, 7) = 9 (142, 6) — 9 ( 8, 6) = 29 — 1 = 28 9 (142, 6) = 9 (142, 5) — 9 (10, 5) = 30 — 1 = 29 9(142, 5) = 9 (142, 4) — 9(12, 4 ) = 32 — 2 = 30 9(142, 4) = 9(142, 3) — 9 (20, 3) = 38 — 6 = 32 9(142, 3) = 9 (1 4 2 , 2) — 9 (28, 2) = 47 — 9 = 38 9(142, 2) = 9(142, 1) — 9(47, 1 ) = 71 — 24 = 47

9 ( 28, 2) = 9 (28, 1) - 9 (9,1) = 1 4 — 5 = 9 9 ( 20, 3) = 9 (20, 2) — 9 (4,2) = 7 — 1 = 6

9 ( 20, 2) = 9 (20, 1) - 9 (6,1) = 10 — 3 = 7 9 (4,2)= 9 ( 4, 1)— 9 ( 1, 1) = 2 — 1 = 1 9 ( 12, 4) = 9 ( 1 2 , 3 ) - 9 (1,3) = 3 — 1 = 2 9 ( 12, 3) = 9 (12, 2 ) - 9 (2,2) = 4 — 1 = 3 9 ( 12, 2) = 9 (12, 1) — 9 (4,1) = 6 — 2 = 4 9(117, 8) = 9(117, 7) — 9 ( 6, 7) = 24 — 1 = 23 9(117, 7) = 9(117, 6) — 9 ( 6, 6) = 25 — 1 = 2 4 9(117, 6) = 9(117, 5) — 9 ( 9, 5) = 26 — 1 = 25 9(117, 5) = 9(117, 4) — 9 (10, 4) = 27 — 1 = 26 9(1.17, 4) = 9(117, 3) — 9(16, 3) = 31 — 4 = 27 9(117, 3) = 9(117, 2) — 9 (23, 2) = 39 — 8 = 3 1 9(117, 2) = 9(117, 1) — 9 (39, 1) = 59 — 2 0 = 3 9

9 ( 23,2) = 9(23, 1 ) - 9 ( 7 ,1 ) = 12 - 4 = 8

9 ( 16,3) = 9 (16, 2 )- 9 (3,2) = 5 - 1 = 4 9 ( 16, 2) = 9 (16, 1) — 9 (5,1) = 8 — 3 = 5

9 ( 93, 9) = 9 ( 9 3 ,8) — 9 ( 4, 8) = 17 — 1 = 1 6 9 ( 93, 8) = 9 ( 93,7) — ę ( 4, 7) = 18 — 1 = 17

<p( 93, 7) = 9 ( 93,6) — f ( 5, 6) = 1 9 — 1 = 18

[206] o w z o r a c h d o o r l i c z b n i a l i c z b y l i c z R M r w S z y c h . 15 9 ( 9 3 , 6 ) = 9 ( 9 3 , 5 ) — ? ( 7 , 5) = 2 0 — 1 = 1 9

9 ( 9 3 , 5 ) = 9 ( 93,4) — 9 ( 8, 4) = 2 1 — 1 = 2 0

<p( 93, 4 ) = ? ( 9 3 , 3 ) - ? (13, 3 ) = 2 5 — 4 = 2 1

? ( 9 3 , 3 ) = ? ( 9 3 , 2 ) — ?(18, 2) = 3 1 - 8 = 2 5 9 ( 93, 2) = <p ( 98, 1) — <p (31, 1) = 47 — 1 6 = 31

<p( 18, 2 ) = = ? (18, 1) - 9 (6,1) = 9— 3 = 6 f ( 13, 3) = 9(13, 2) - 9 (2 ,2 ) = 5— 1 = 4 9 ( 13, 2) = 9(13, 1) - 9(4,1) = 7— 2 = 6 9 ( 87, 10)— 9 ( 87, 9) — 9 ( 3, 9) = 15 — 1 = 14 9 ( 87, 9) = ? ( 87, 8) — 9 ( 3, 8) = 16 — 1 = 15 9 ( 87,8) = ? ( 87,7) — 9 ( 4, 7) = 17 —- 1= 16 9 ( 87,7) = 9 ( 8 7 ,6 ) — 9 ( 5, 6) = 1 8 — 1 = 1 7 9 ( 87,6) = 9 ( 87,5) — 9 ( 6, 5 ) = 1 9 — 1 = 1 8 9 ( 87, 5) = 9 ( 87, 4) — 9 ( 7, 4) = 20 — 1 = 19 9 ( 8 7 , 4 ) = 9 ( 8 7 , 3 ) — 9(12, 3) = 23 — 3 = 20 9 ( 8 7 , 3 ) = 9 ( 8 7 , 2 ) — 9(17, 2 ) = 29 — 6 = 23 9 ( 8 7 , 2) = 9 ( 87, 1 ) - 9 (29, l ) = 4 4 — 1 5 = 2 9

9 ( 17, 2) = 9 (17, 1) - 9 (6,1) = 9 - 3 9 ( 12, 3) = ?(12, 2) - 9 (2,2) = 4 - 1 = 3 9 ( 12, 2) - 9 (12, 1) - 9 (4,1) = 6 - 2 = 4 9 (2439,12)= 9(2439,11) — ? ( 65,11) = 367 — 8 = 359 9 (2439,11)= 9 (2439,10) — ? ( 78,10) = 379 — 1 2 = 367 9 (2439,10)= 9 (2439, 9) — ? ( 84, 9) = 394 — 15 = 379 9(2439, 9)= 9 (2439, 8 ) — 9(106, 8) = 414 — 2 0 = 394 9 (2439, 8)= 9 (2439, 7) — 9 (128, 7) = 439 — 25 = 414 9 (2439, 7)= 9 (2439, 6) — 9 (143, 6) = 468 — 29 = 439 9 (2439, 6)= 9(2439, 5) — 9 (187, 5) = 507 — 39 = 468 9(2439, 5)= 9 (2439, 4) — 9 (221, 4) = 557 — 5 0 = 507 9(2439, 4)= 9 (2439, 3) — 9 (348, 3) = 650 — 93 = 557 9(2439, 3)= 9 (2439, 2) — 9 (487, 2) = 813 — 163 = 650 9 (2439, 2)= 9 (2439, 1) — 9 (813, 1) = 1220 — 407 = 813

9(487, 2 )= 9 (487, l ) — 9 ( 1 6 2 ,1 )= 2 4 4 - 81 = 163 9 ( 348, 3 ) = ? (348, 2 ) - 9 ( 6 9 ,2 )= 116 — 23 = 93 9 ( 348, 2 )= 9 (348, 1)— 9 (116,1) = 174 — 58 = 116 9 (6 9 ,2 )= 9 (69, 1)— ? ( 23,1) = 35 — 12 = 23

1 6 A. BARANOW SKI. [207]

9 (221, 4) = 9 (221, 3) — 9 (31,3) = 59 — 9 = 50 9 (221, 3) = 9 (221, 2) — 9 (44, 2) = 74 — 15 — 59 9 (221, 2) = 9 (221, 1) — 9 (73, 1) = 1 1 1 -— 37 = 74

9 ( 44, 2) = 9 (44, 1)—9(14,1) = 22 — 7 = 1 5 9(31, 3) = 9(31, 2) - 9 ( 6 ,2 )= 11 — 2 = 9 9 (3 1, 2) = 9 (31, 1) — 9 (10, 1) = 16 — 5 = 1 1 9 (6, 2) = 9 (6, 1)—<p( 2,1) = 3 — 1 = 2 9(187, 5) = 9(187, 4) — 9(17, 4 ) = 43 — 4 = 39 9(187, 4) = 9(187, 3) — 9 (86, 3 ) = 50 — 7 = 43 9(187, 3) = 9(187, 2) — 9 ^ 7, 2 ) = 63 — 13 ? 50 9(187, 2) = 9 (187, 1) — 9 (62, 1 )= 94 —31 = 63 9 (37, 2) = 9 (37, 1) —9 (12,1) = 1 9 — 6 = 1 3 9(26, 3) = 9 (26, 2) - 9 (5, 2 )= 9 — 2 = 7 9(26, 2) = 9 (26, 1) - 9 (8, 1) = 1 3 — 4 = 9

9 (5, 2) = 9 ( 5, 1) — 9 (1, 1) = 3 — 1 = 2 9(17, 4) = 9 (17, 3) — 9 (2, 3) = 5 — 1 = 4 9(17, 3) = 9 (17, 2) — 9 (3) 2) = 6 — 1 = 5 9(17, 2) = 9 (17, 1) — 9 (5, 1) = 9 — 3 = 6 9(143, 6) = 9(143, 5) — 9(11,5) = 30 — 1 = 29 9(143, 5) = 9(143, 4) — 9 (13,4) = 33 — 3 = 3 0 9(143, 4) = 9 (143, 3) — 9 (20,3) = 39 — 6 = 33 9 (1*3, 3) = 9 (143, 2) — 9 (28,2) = 48 — 9 = 39 9(143, 2) = 9(143, 1) — 9 (47,1) = 72 — 24 = 48 9(28, 2) = . 9 (28, 1) — o(9, l) = 14 — 5 = 9

9 (20, 3) = 9 (20, 2) — 9 (4,2) = 7 — 1 = 6 9 (20, 2) = 9 (20, 1): — 9 (6, 1) = 1 0 — 3 = 7 9 (4, 2) = 9 (4, 1) — 9 ( 1 , 1 ) = 2 — 1 = 1

9 (1 3 ,4 ) = 9 (13, 3) — 9 (1,3) = 4 — 1 = 3 9 (13, 3) = 9 (13, 2) — 9 (2,2) = 5 — 1 = 4 9(13,2.) = 9(13, 1 ) — 9 (4, 1) = 7 — 2 = 5 9(128, 7) = 9 ( 128, 6) — 9 ( 7, 6) = 26 — 1 = 25 9(128, 6) = 9 (128, 5) — 9 ( 9, 5) = 27 — 1 = 26 9(128, 5) = 9(128, 4) — 9 (11, 4) = 29 — 2 = 27 9(128, 4) = 9(128, 3) — 9 (18, 3) = 34 — 5 = 29

[508] O WZORACH DO OBLICZENIA LICZBY LICZB PIER W SZY C H . 17

? (128,3) = 9(128,2) 9(25,2) = 43 — 9 = 34

? (128,2)' = ?(128,1) - 9(42,1) = 64 — 21 = 43 9 ( 2 5 , 2 ) — 9(25,1) — 9(8,D = 13 — 4 = 9

? ( 18,3) 9(18,2) — 9 (3,2) = 6 — 1 = 5 9 ( 18,2) 9(18,1)' — 9(6,1) = 9 — 3 = 6 9 ( U , 4 ) 9(11,3) .— 9 d ,3 ) = 3 — 1 = 2 9 ( U,3) - 9(U ,2) — 9(2,2) = 4 — 1 = 3 9 ( U,2) = 9(U ,1) — 9(3,1) = 6 — 2 = 4

? (106,8) = y (106,7) — 9 ( 5 , 7 ) = 21 — 1 = 20

? (106,7) = ? (106,6) 9 ( 6,6) = 22 — 1 = 21

<p (106,6) = (p(106,5) 9( 8,5) = 23 — 1 = 22 9 (106,5) = 9 (106,4) — 9( 9,4) = 24 — 1 = 23 9 (106,4) = 9 (106,3) 9(15,3) = 28 — 4 = 24 9 (106,3) = 9 (106,2) 9 (21,2) = 35 — 7 = 2 8 9(106,2) = 9(106,1) — 9(35,1) = 53 — 18 = 35

9 ( 21,2) = 9(21,1) — 9(7,1) = 11 — 4 = 7 9 ( 15,3) = 9(15,2) — 9(3,2) — 5 — 1 = 4 9 ( 1 5 , 2 ) = 9(15,1) — 9(5,1) = 8 — 3 = 5 9 ( 84, 9) = 9 ( 84,8) —- 9 ( 3 , 8 ) — 16 — 1 = 15 9 ( 84, 8) = 9 ( 84,7) — 9 ( 4, 7) = 17 — 1 = 16 9 ( 84, 7) = 9 ( 84,6) — 9.( 4,6) — 18 — 1 = 17 9 ( 84, 6) = 9 ( 84,5) — 9 ( 6 , 5 ) = 19 — 1 = 18 9 ( 84, 5) = 9 ( 84,4) — 9 ( 7,4) = 20 — 1 = 19 9 ( 84, 4) = 9 ( 84,3) — 9(12,3) = 23 — 3 = 20 9 ( 84, 3) = 9 ( 84,2) 9(16,2) — 28 — 5 = 2 3 9 ( 84, 2) = 9 ( 84,1) 9(28,1) == 42 — 14 = 2 8

9 ( 16,2) == 9(16,1) -— 9(5,D — 8 — 3 = 5 9 ( 12,3) = 9 (12,2) — 9(2,2) = 4 — 1 - 3 9 ( 1 2 , 2 ) 9 (12,1) — 9(4,1) = 6 — 2 = 4 9 ( 78,10) = 9 ( 78,9) —- 9 ( 2 , 9 ) = 13 — 1 = 1 2 9 ( 78, 9) = 9 ( 78,8) — 9 ( 3 , 8 ) = 14 — 1 = 13 9 ( 7 % 8) = 9 ( 7 8 , 7 ) — 9 ( 4 , 7 ) = 15 — 1 = 14 9 ( 78, 7) =<p( 78, 6) — 9 ( 4,6) = 16 — 1 = 15 9 ( 78, 6) = 9 ( 78,5) — 9 ( 6 , 5 ) = 17 — 1 = 16 9 ( 78, 5) = 9 ( 78,4) 9 ( 7 , 4 ) — 18 1 = 1 7

3

1 8 A . BARANOW SKI. [309]

p( 78,4) = p( 78,3) - p( 11,3) = 21 - 3 = 18 9 ( 78,3) = p ( 78,2) - p ( 16,2) - 26 — 5 = 21 p ( 78,2) = p ( 78,1) - p ( 26,1) = 39 - 13 = 26

P ( 15,2) = p ( 15,1) — p(5,l) = 8 -- 3 = 5 p (11, 3) = ip (11, 2) —P (2,2) = 4 1 == 3 p (11? 2) = <p (11, 1) —P (8,1) = 6 — 2 = 4

<p( 65,11)== <p (65,10) — <p( 2,10) = 9 - 1 8 p( 65,10)= p(65, 9) - p ( 2, 9) = 10 - 1 == 9 P ( 55, 9)= p (65, 8) — p ( 2, 8) = 11 — 1 ⁼ 10 p( 65, 8)= p(65, 7) - p ( 3, 7) = 12 - 1 == 11 p ( 65, 7)= p (65, 6) — p ( 3, 6) = 13 — 1 = 12 p( 65, 6)= p (65, 5) — p( 5, 5) = 14 — 1 = 13 p ( 65, 5)= p (65, 4) — p ( 5, 4) = 15 — 1 = 14 p( 65, 4)= p(65, 3) — p ( 9, 3) = 17 — 2 = 15 p ( 65, 3)= p (65, 2) — p (13, 2) =» 22 — 5 — 17 p( 65, 2)= p(65, 1) — p(21, 1) = 33 — 11 = 22

p (13, 2) = p (13, 1) - P(4, 1) = 7 — 2 — 5 p ( 9 , 3) = p ( 9 , 2 ) - p(l,2) = 3 1 = 2 p ( 9, 2) = p ( 9, 1) _{— P ß ,} 1) = 5 2 — 3 p(2325,13)=p (2325,12) — p ( 56,12) = 341 5= 336 p(2325,12)= p (2325,11) — p ( 62,li) ₌₌ 349 8 = 341 p(2325,ll)=p (2325,10) - p( 75,10) = 361 12= 349 p (2325,10) = p (2325, 9) — p( 80, 9) = 375 14 = 361 p(2325, 9)=p(2325, 8) — p(101, 8) = 394 19 = 375 p(2325, 8)=p(2325, 7) — p(122, 7) = 418 24== 394 p(2325, 7)=p(2325, 6) — p(136, 6) = 445 27= 418 p(2325, 6)=p(2325, 5) — p(178, 5) = 482 37 = 445 p (2325, 5) = p (2325, 4) - p (2,11, 4) = 531 49 = 482 p(2S25, 4)=p(2325, 3) — p(332, 3) = 620 89 = 531 p(2325, 3)=p(2325, 2) — p(465, 2) = 775 155 = 620 p(2325, 2)=p (2325, 1) — p (775, 1) == 1163 388 = 775

p ( 465, 2) = p (465, 1) - p (155,1) 233 - 78=155 p ( 332, 3) = p(332, 1) ==. p ( 66,2) ==, 111 — 22 = 89 p ( 332, 2) = p(332, 1) = p (110,1) = 166 - 55=111 p(66,2) = p( 66, 1) - P( 22,1) = 33 - 11= 22

O W ZORACH DO OBLICZENIA LICZBY LICZB PIER W SZY C H . 19

9 (211. 4) = o (211, 3) - o (30, 8) - 5 7 - 8 = 49 9 (211, 3) = 9 (211, 2) - 9 (42, 2 ) = 71 - 1 4 = 57 9 (211, 2) = 9 (211, 1) —9 (70, 1 )= 1 0 6 - 3 5 = 71

9 ( 42, 2)= ® (42,1) - 9 (14, 1) = 2 1 - 7 = 14

9 ( 30, 3)= 9 (30, 2) - 9 ( 6, 2) = 1 0 - 2 = 8 9 ( 30, 2)= 9 (30,1) - 9 (10,1) = 1 5 - 5 = 10 9 (6, 2) = 9 ( 6, 1) — 9 (2, 1) = 3 — 1 = 2 9(178, 5) = 9 (1 7 8 ,4 )- 9 ( 1 6 , 4 ) = 40 - 3 = 37

9 (178, 4) = 9 (1 7 8 ,3 )- 9 (25, 3) = 47 - 7 = 40 9 (178, 3) = 9 (1 7 8 ,2 )- 9(35, 2) = 59 - 1 2 = 47 9(178, 2) = 9 (1 7 8 ,1 )- 9(59, 1) = 89 - 3 0 = 59

9 ( 35,2)= 9(35, 1 ) - 9 ( 1 1 , 1) = 1 8 - 6 = 12 9( 25,3)= 9 (25, 2) - 9( 5,2) 9 - 2 = 7 9( 25,2)= 9(25, l ) - 9( 8 , 1 ) = 13 - 4 = 9

9 ( 5, 2)= 9 ( 5, 1) — 9 ( 1, 1) = 3 — 1 = 2 9( 16,4)= 9 (16, 3) — 9( 2, 3) = 4 — 1 = 3 9 ( 16,3)= 9(16,2) — 9( 3, 2) = 5 — 1 = 4 9( 16,2)= 9 (16, 1) — 9 ( 5, 1) = 8 — 3 = 5 9(136, 6) = 9(136,5)- 9(10, 5) = 28 - 1 = 27 9 (136, 5) = 9(136,4)- 9(12, 4) = 30 - 2 = 28

9 (136, 4) = 9 (136,3)— 9 (19, 3) = 36 — 6 = 30 9(136, 3) = 9(136)2)- 9(27,2) = 45 - 9 = 3 6 9 (136, 2)= 9(136,1)- 9(45, 1) = 68 - 23 = 4 5

9 (27,2) = 9(27,1)— 9(9, 1) = 1 4 — 5 = 9 9(19,3) = 9 ( 1 9 , 2 ) — 9(3,2) = 7 — 1 = 6 9(19,2) = 9 ( 1 9 , 1 ) — 9(6,1) = 1 0 — 3 = 7 9 (12,4) = 9 (12, 3) — 9 (1, 3) = 3 — 1 = 2 9(12,3) = 9 ( 1 2 , 2 ) - 9(2,2) = 4 - 1 = 3 9 (12,2) = 9(12, 1) — 9 1) — 6 — 2 — 4 9 (122, 7) = 9 (122,6)- 9 ( 7 , 6 ) = 25 - 1 = 24

9 (122, 6) = 9 ( 12 2 ,5 ) - 9 ( 9,5) = 26 - 1 = 25

9 (122,5) = 9(122,4)- 9 (11, 4) = 28 - 2 = 26 9 (122, 4) = 9 (122,3)— 9 (17, 3) = 33 — 5 = 28 9 (122, 3) = 9 ( 1 2 2 ,2 ) - 9 (24, 2) = 41 - 8 = 33 9 (122, 2) = 9 (122,1) - 9 (40, 1) = 61 - 2 0 = 41

9 (24,2) = 9 (24, 1) — 9 (8,1)= 12 — 4 = 8

A. BARANOW SKI. [211]

9 ( 17, 3) - <p (17, 2) - 9 (3, 2) = 6 - 1 = 5 9( 17,2) = 9 ( 1 7 , 1 ) - 9 ( 5 , 1 ) = 9 - 3 = 6 9 ( 11, 4) = 9 (11, 3) — 9 (1, 3) = 3 — 1 = 2 9 ( 11, 3) = 9(11,2) - 9(2,2) = 4 - 1 = 3 9( 11,2) =9(11, 1 ) - 9 ( 3 , 1 ) = 6 - 2 = 4 9 (101, 8) = 9 (101,7) — 9 ( 5, 7) = 20 - 1 = 19 9 (101, 7) =9 (101,6) — 9 ( 5, 6) = 21 - 1 = 20 9 ( 1 0 l , 6 ) = 9 ( 1 0 1 , 5 ) - 9 ( 7 , 5 ) = 2 2 - 1 = 21 9(101, 5) =9(101,4 ) - 9 ( 9, 4) = 23 - 1 = 22 9(101, 4) =9 (101 ,3 )-9 (1 4 , 3)=27 - 4 = 23 9(101, 3) =9 (101,2) - 9(20, 2)=34 - 7 = 27 9(101, 2) =9 (1 0 1 ,1 )-9(33, 1) = 51 - 1 7 = 34

9 ( 20,2) = 9 (20,1)— 9(6,1) = 10 - 3 = 7 9( 14,3) = 9 (14, 2) - 9 (2,2)= 5 — 1 = 4 9 ( 14,2) = 9 (14, 1)— 9(4,1) = 7 - 2 = 5

9 ( 80, 9) = 9 ( 80,8)

-

(

,

9 ( 80, 7) = 9 ( 80,6) - 9 ( 4, 6)= 1 7 - 16

9 ( 80, 6) = 9 ( 80,5) — 9 ( 6 , 5) = 18 — 17 9 ( 80, 5) =9 ( 80,4) — 9( 7,4)= 19 — 18 9 ( 80, 4) = 9 ( 80,3) - 9 (11, 3 ) = 22 - 3 = 19 9 ( 80, 3) = 9 ( 8 0 ,2 ) -9(16, 2)= 27 - 5 = 22 9 ( 80,2) = 9 ( 80,1) - 9 (26, 1)= 40 - 13 = 27

9 (16,2) = 9 (16,11-9(5,1) = 8 - 3 = 5 9( ll,3) = 9 ( l l , 2 ) - 9 ( 2 , 2 ) = 4 — 1 = 3 9 ( 11-2) = 9 (11, 1) — 9 (3,1) = 6 - 2 = 4 9( 75,10)=9( 75,9) - 9 ( 2,9) = 13 - 1 = 12

9 ( 75, 9)=9( 75,8)— 9 ( 3,8) = 14 — 1 = 13 9( 75, 8)=9 ( 75,7)- 9( 3,7) = 15 - 1 = 14 9( 75, 7)=9( 75,6) - 9 ( 4,6) = 16 - 1 = 15 9( 75, 6)=9( 75,5)- 9( 5,5) = 17 - 1 = 16 9 ( 75, 5)=9( 75,4)- 9 ( 6,4) = 18 - 1 = 17 9( 75, 4)=9( 75,3)—9 (10,3) = 2 0 — 2 = 18

9 ( 75, "3)=9 ( 75,2)- 9 (15,2) = 25 - 5 = 20

9 ( 75, 2)=9 ( 75,1)— 9 (25,1) = 38 — 13 = 25 9( 15,2)= 9 (15,1) —9 (5,1) = ⁸ - 3 = 5

[2 1 2 ] O WZORACH DO OBLICZEŃ [A LICZBY LICZB PIER W SZY C H . 21 9(10, 3) = <p (10, 2) — 9 (2, 2) = 3 — 1 = 2 9 (10, 2) = 9 (10, 1) — 9 (3, 1) == 5 — 2 = 3 9(62,11)= 9 (62, 10)-9(2,10) = 9 - 1 = ₈ 9(62,10)= 9(62, 9) - 9 ( 2, 9) = 10 - 1 = 9 9(62, 9)= 9(62, 8) - 9( 2, 8) = 11 - 1 = 10 9 (62, 8)= 9 (62, 7) - 9 ( 3, 7) = 12 - 1 = ¹¹ 9 (62, 7)= 9 (62, 6) - 9 ( 3, 6) = 13 - 1 = ¹²

9 (62, 6)= 9 (62, 5) — 9 ( 4, 5) = 14 — 1 = 13

9 (62, 5)= 9 (62, 4) — 9 ( 5, 4) = 15 — 1 = 14 9(62, 4)= 9(62, 3) - 9( 8, 3) = 17 - 2 = 15 9 (62, 3)= 9 (62, 2) - 9 (12, 2) = 21 - 4 = 17

9 (62, 2)= 9 (62, 1) - 9 (20, 1) = 31 - 10 = 21 9(12, 2) = 9(12, 1) - 9(4,1) = 6 — 2 = 4 9( 8, 3) = 9( 8, 2) - 9(l,2) = 3 — 1 = 2 9 ( 8, 2) = 9 ( 8 , 1) — 9 (2,1) = 4 — 1 = 3 9 (56,12)= 9 (56,11) — 9 ( 1,11) = 6 — 1 = 5 9 (56,11)= 9 (56,10) — 9 ( 1,10) = 7 — 1 = 6 9 (56,10)= 9 (56, 9) —9 ( 1 , 9 ) = 8 — 1 = 7 9 (56, 9)= 9 (56, 8) —9 ( 2 , 8 ) = 9 — 1 = 8 9 (56, 8)= 9 (56, 7) —9 ( 2, 7) = 10 — 1 = 9 9(56, 7)= 9 (66, 6) - 9 ( 3, 6) = 11 - 1 = 10 9 (56, 6)= 9 (56, 5) —9 ( 4, 5) = 12 — 1 = 11 9 (56, 5)= 9 (56, 4) — 9 ( 5, 4) = 13 — 1 = 12 9 (56, 4)= 9 (56, 3) —9 ( 8, 3) = 15 — 2 = 13 9 (56, 3)= 9 (56, 2) —9 (11, 2) = 19 — 4 = 15 9 (56, 2)= (9 56, 1) —9 (18, 1) = 28 — 9 = 19

Obliczenie podług tej metody dla n = 1,000000, wymaga miejsca i czasu prawie 20 razy tyle, cb dla « = 100000; gdyż \ Jn— 100, a jv(100)

= 25; <p (n, 9w)=<p (1,000000, 25). Ilość więc potrzebnych dzieleń i odej­

mowań bardzo się powiększa.

Skraca się nieco rachunek powyższy przez uwzględnienie koła luk w numeracyi, jakie powstają przez wyjęcie liczb podzielnych przez liczby pierwsze. Koła te tworzą się podług wzoru

f i p i - P z ■■■■ P«,n) = ( P i —Ą i P i —Ą i ■ ■ ■ )(Pn— I),

22 A. BARANOWSKI. [213]

czyli 9 (2, 1) = 2 —1 = 1

2.3 = 6 ; 9 (6, 2) = ( 2 - l ) ( 3 - l ) = 2

2.3.5. = 3 0 ; f (30,3) = 2 ( 5 - 1 ) = 8 ; 9 (6 0 ,3 ) = 16;

<p (90, 3) = 2 4; . . . 2.3 5.7 = 210; <p (210,4) = 8 ( 7 - 1 ) = 48; <p (420,4) = 96;

<p (630, 4) = 144 . . . 2.3.5.7.11 = 2310; <p (2310,5) = 48 ( 1 1 - 1 ) = 480; 9 (4620,5) =

= 960; 9(6930, 5) = 1 4 4 0 . . . 2.3.5.7.11.13 = 30030; 9 (30030,6) = 480(13 - 1) = 5760;

9 (60060,6) = 11520, . . . 2.3.5.7.11.13.17 = 510510; 9(510510,7) = 5 7 6 0 ( 1 7 - 1 ) = 92160 i t. d.

Odkrycie tych kół przypisują Drowi Meisselowi. To tylko mię dziwi, że W ertheim , wykładając wyżej przytoczoną formułę Meissela, nic o tych kołach nie wspomina. Dr. Hossfeld, gdym mu je zakomu­

nikował, z początku uznał rzecz za nową, a potem doniósł, że Dr. Meis- sel je wynalazł i opisał w „Mathematische Annalen“ Bd. I I , około roku 1870.

Większe bez porównania od tych kół ułatwienie obliczeń daje tablica analityczna funkcyi 9 (m). Przytoczę przykład z tablicy z ra­

chunkiem luk 9 (n, 6).

Za pomocą kół i tablicy rachunek, wyżej wykonany, robi się tak:

9 (100000, 4) = 9 (100000, 6) - 9 ( 1QQQ0° , 6 ) , 7 ) -

k p? / ^ Ps '

Z100 000

Ä . U )

1 0 0 0 0 0 6 6

9(100000, 6) = ^ 0 3 0 = 3'5760+ [ 9(9910,6) = 1901 ] = 17280 + + 1901 =19181

z 100 000 X 6 6

— ? ^ — , 6 J = 9(5882, 6) = 1128 . . . — 1128

Z100 000 ^{„ X 6 6 7 7}

7 j = 9(5263,7) = 1 0 0 9 -5 9 - 950 . . - 950

000 ^{A 6} 6 ^{6 7 8 8}

k 23— , 8j = 9 (4 3 4 7 ,8 )= 8 3 4 -(4 9 + 4 3 = 9 2 ) = 742 . - 742 V 19

Z100 000

Z 100 000 X 6 6 7 8 9

( — 29— ■» 9J = 9 (3448, 9) = 6 6 1 - (41 + 3 6 - 2 8 = 105) . - 556

[214] O WZORACH DO OBLICZENIA LICZBY LICZB PIERWSZYCH. 23

/ 100 000 ^{A 6 6 7 8 9} 10

31— ’ 10 J = < p(3225,l0)= 618-(37+ 33+ 27+ 21 = 118) = 500 ...

10

500

Z100 000 X 6 6 7 8 9 10

? ( ~ ^ T ~ ’ 1 1 ) = ?(2702>11) = 5 1 9 - ( 32+ 2 B + 2 3 + 1 6 + l 4 = 113) =

f 100 000 V 41

u u

406 . . — 406

9 10 11

X 6 6 7 8 9 10 11

, 1 2 J

12)

12 12

= 109) = 359 . . - 359

Z100 000 X ^{6 6 7 8 9 10 11 12}

(

’

13 13

= 109) = 336 . . - 336

e 14 —4977

A zatem 9 (100000, 14) = 19181 — 4977 = 14204;

W drugiej połowie formuły Meissela tylko człon — 1 jest natu­

ralnym , bo w num eracji liczba 1 przez funkcję 9 (m) pozostaje nie­

tkniętą , a w wyrażeniu J/ (m) nie powinna się znajdować.

t 8—^

Człon zaś: —- V 1 f n X od wartości ^o (n, n i ) odejmuje za wiele

L \P m + J

i dla tego staje się potrzebną restytucja przez człony + m (11. + 1) + + ~ • Jedyną ra c ją może być chyba potrzeba odróżnienia liczby liczb pierwszych, znajdujących się w pierwiastku sześciennym, m= ty\Jn, od reszty liczb pierwszych, znajdujących się w pierwiastku kwadratowym, gdyż m + p. = V n.

Liczby podzielne przez liczby pierwsze, wyrażone przez u., z taką samą łatwością, ja k przez sigma, obliczają się i przez funkcję 9 (m), z tą tylko różnicą, źe sigma bierze wartość ł ca^§> funkcja zaś 9 (m) bierze tę samą wartość zmniejszoną 9 , k —7 i 1 —

— ( & - 2) ')

Można się o tern przekonać z następujących obliczeń; a najprzód sigma, i 9 [n, m + s).

l) Wyrażenie p k = pm+>.

24 A. BABASOWSKI. [215]

f t . -

« ; t ( ,fl0™

t (

T - M ) -

f t . - 53; + ( 53 - ) = ^ (1886) = 289;

<p (1886, 15) = 289 — 14 = 275 f t . = 59; * ( 100“ 0 J = '<j/ (1694) = 264;

9 (1694, 16) = 264 — 15 = 249 f t . - «m ( T ) - ^ (1639) - 259;

<p (1639, 17) = 259 — 16 = 243 f t . = 67; t ( 107 ° j = 41 (1492) = 237;

9 (1492, 18) = 237 —■ 17 = 220 f t . = 7 ': ; ( % " " J ’]ż (1*08) ■ 222;

9 (1408, 19) = 222 - 18 = 204 f t . = 73; t ( 100“ ° (1369) - 219;

9(1369, 20) - 219 — 19 = 200 f t . - 7 9 ; + ( 100“ 0 ) - # 1 2 6 8 ) - 205;

9(1268, 21) = 205 — 20 = 185 no , /10 0 0 0 0

P23 83; ^ ^ gg j = #1204) = 197;

9(1204, 22) = 197 — 21 = 176 f t . - » ; t ( ^ ) = # 1 1 2 3 ) = 188;

9 (1123, 23) = 188 — 22 = 166 f t . - 97; ^ = # 1 0 3 0 ) = 172;

9 (1030, 24) = 1 7 2 - - 2 3 = 149

ßio] ^{ó W}z o r a c h b o oBl i c z k nIa l i c z b y L ic z b p i k kWs zYc h.

101; + 100000

) = 4,(990) 166;

101

9 (990, 25) = 166 — 24 = 142 103; + 100000

) - + (970) 163;

103

9(970, 26) ^— 163 — 25 = 138 107; + 100000

) = ty (934) 168;

107

9(934, 27) ⁼ 158 — 26 = 132 109; + 100000

) = +(917) 156 ; 109

9(917, 28) = 156 — 27 = 129 113; * 100000

) = +(884) 153;

113

9(884, 29) = 153 — 28 - 125 12 7 ; 1 100000

) = + (787) 138;

127

9(787, 30) = 138 — 29 = 109 131; + 100000

) = +(763) 135;

131

9 (763, 31) = 135 — 30 = 105 137; * 100000

) = +(729) 129 ; 137

9(729, 32) = 129 — 31 = 98 139; 4, 100000

) = +(719) 128;

139

9(719, 33) = 128 — 32 = 96 149; + 100000

) = +(671) 121;

149

9(671, 34) = 121 — 33 = 88 151; ty 100000

) = + (662) 1 2 1 ; 151 ,

9(662, 35) = 121 — 34 = 87 157; ty 100000

) = + (636) 115;

157 ,

9 (636; 36) == 115 — 35 = 80

26 A . B A K A iN O W tS K l.

PiS - ^ ł ( T ) - t (613) — 112;

9(613, 37) = 1 1 2 — 36 = 76 JP:9 - 167; + ( 1“ °700 ) = 4 (598) = 108;

9(598, 38) = 1 0 8 — 37 = 71 Pio . 173; ł ( ‘ “ 7

)

9(578, 39) = 106 —■ 38 — 68 - ♦

( ,0? , t :

9 (558, 40) = 102 — 39 = 63 Pw .

181;

) = 4(552) = 101;

9(552, 41) = 101 — 40 = 61

P i 3 - i s t ; t ( T s r ; ) = 4 (523) = 99;

9(523, 42) - 99 — 41 = 58 Pu - ^ + C T ' ) = 4 (518) ⁼ 9 7 ;

9 (5 1 8 ,4 3 ) = 97 — 42 = 55 JP45 = .97 ; ł n r : ) = 4(507) = 96;

9(507, 44) ⁼ 96 — 43 = 53 .

1Mi t ( 7 7

9 (502, 45) = 95 — 44 = 51 P47 -

2“ i ♦ S

9(473, 46) = 91 — 45 = 46 Pl8 -

^

9 (448, 47) = 86 — 46 = 40 ) = ij/ (440)

=

9 (440, 48) = 85 — 47 = 38

[218] O W ZORACH DO OBLICZENIA LICZBY LICZB PIER W SZY C H . 2 7

- 229; 4 = 4(436) = 8 4 ;

9 (436, 49) = 84 — 48 = 36 Pa, = 233; = 4(429) = 82;

9 (429, 50) = 82 — 49 = 33 Pó2 = 239; 4 ZlOOOOO

l 239 ,) = 4 (418) = 8 0 ;

9 (418, 51 = 80 - - 5 0 = 30 f58 = 241; 4 Z100 000

V 241 .^ = 4 (414) = 80;

9 (414, 52) = 80 - -5 1 = 29

= 251; 4 z 100000 '

V 251 .j = 4 (398) = 78;

9 (398, 53) = 78 - - 52 = 26 Pz>5 = 257; 4 z 100 000

l 257 .) = 4 (389) = 77;

9 (389, 54) = 77 — 53 =» 24 Ps„ = 263; 4 = 4, (380) = 75;

9 (380, 55) = 75 — 54 = 21 Ps, = 269; 4 = 4(371) = 73;

9(371, 56) = 73 — 55 = 18

= 271; 4 ) = 4 (369) = 73;

9 (369, 57) = 73 — 56 = 17 f s , = 277; 4 = 4 (361) = 72;

9 (361 , 58) = 72 — 57 = 15 Pa, = 281; 4 = 4 (355) = 71;

9 (355, 59) = 71 — 58 = 13 p ,i = 283; 4 = 4(353) = 71;

9 (353, 60) = 71 — 59 = 12

2 8 A. Ba r a n o w s k i. [2 1 9 J

p62 — 293; <{/ ^ 293— ) = 'J'(341) = 6 8 ;

p (341, 61) = 68 — 60 = 8 p63 = 307; <\ ^ . ^ 9 - — ^ ^ (325) = 6 6 ;

<p (325, 62) = 66 — 61 = 5

# 4 = 311; ^ - ł (321) - 6 6 ;

p (321, 63) = 66 — 62 = 4 Pw = 313; ^ = K 8 1 9 ) = 6 6 ;

6614

p (319, 64) = 66 — 63 = 3 4676 A zatem - f ^ f 100 000 ) = - 6614

8= 1 ^ P l 4 + « '

+ m ( p. -)-1) — 1 4 .5 2 = 728

tr (ja—i) 51.50 _ 2550 lo^ K

+ 2 2 2 “ / b

Ą (100000)= <p (100000,14) + 14. 52 + ' ' ' q5° — 1 — f «J, f 100000 ) =

Ł , V p u + , J

= 14204 + 728 + 1275 — 1 — 6614 = 16207 — 6615 = 9592 ; F u n k c ja zaś p(m) bez sigmy i bez jej restytucji daje liczbę liczb pierwszych, do której należy dodać usunięte przez nią [ fu n k cją <p (m) ] liczb pierwszych 65, a odjąć 1; czyli <!p (100000) = p (100 000, 14) —

<P (100000, 65)+65 ^— 1=14204 ^- 4676 ^- 1 + 6 5 = 14269 ^- 4677= 9592.

Stąd wnioskuję, że wzór ty ( n ) = p ( n , ii \/n ) + \J n — 1 jest prostszy i naturalniejszy od Meisselowskiego i nie trudniejszy do obli­

czenia.