(a) Na poziomie istotno´ sci 0.05 stwierdzi´ c, czy przekonanie za logi jest s luszne.

Skr´ oty wyk lad´ ow ze SwZ (semestr zimowy, 2014/2015) Wyk lad 3 i 4

Wyk lad 3 i 4: Zastosowania test´ ow parametrycznych PRZYK LADY - testy dotycz¸ ace jednej populacji

PRZYK LAD 3.1

Czas montowania b¸ ebna w pralce jest zmienn¸ a losow¸ a o rozk ladzie normalnym z odchyleniem stan- dardowym r´ ownym p´ o l minuty. Norma techniczna przewiduje na t¸e czynno´ s´ c 6 minut. W´ sr´ od za logi panuje jednak przekonanie, ˙ze ten normatywny czas jest zbyt kr´ otki. Zmierzono czas montowania b¸ ebna przez 6 losowo wybranych robotnik´ ow i otrzymano nast¸ epuj¸ ace wyniki (w minutach): 6.2, 7.1, 6.3, 5.9, 5.5, 7.0.

(a) Na poziomie istotno´ sci 0.05 stwierdzi´ c, czy przekonanie za logi jest s luszne.

(b) Zak ladaj¸ ac, ˙ze rzeczywisty czas montowania b¸ ebna to 6 i ´ cwier´ c minuty, wyznaczy´ c prawdo- podobie´ nstwo, ˙ze przeprowadzaj¸ ac test na poziomie istotno´ sci 0.05 i na podstawie 6 obserwacji, b l¸ ednie uznamy, ˙ze za loga nie ma racji.

(c) Za l´ o˙zmy, ˙ze rzeczywisty czas montowania b¸ ebna to 6 i ´ cwier´ c minuty. Ile niezale˙znych pomiar´ ow czasu monta˙zu nale˙za loby zebra´ c, aby prawdopodobie´ nstwo, ˙ze test (przeprowadzony na poziomie istotno´ sci 0.05) wykrywa l, ˙ze badany czas przekracza 6 min, wynosi lo co najmniej 0.80.

PRZYK LAD 3.2

Dzia l kontroli jako´ sci w zak ladach chemicznych chce oszacowa´ c ´ sredni¸ a wag¸ e proszku do prania sprzedawanego w pude lkach o nominalnej wadze 3 kg. Pobrano w tym celu pr´ obk¸ e losow¸ a 7 pude lek i otrzymano wyniki (w kg): 2.93, 2.97, 3.05, 2.91, 3.02, 2.87, 2.92. Wiadomo, ˙ze rozk lad wagi pude lka do prania jest normalny.

(a) Czy na poziomie istotno´ sci 0,05 mo˙zna twierdzi´ c, ˙ze faktyczna ´ srednia waga pude lka proszku do prania jest mniejsza ni˙z 3 kg?

(b) Zak ladaj¸ ac, ˙ze rzeczywista ´ srednia waga pude lka proszku do prania wynosi 2,9 kg, wyzna- czy´ c prawdopodobie´ nstwo, ˙ze przeprowadzaj¸ ac test na poziomie istotno´ sci 0.05 i na podstawie 7 obserwacji, b l¸ ednie uznamy, ˙ze ´ srednia waga pude lka jest zgodna z podan¸ a na pude lku.

(c) Jak liczn¸ a pr´ obk¸e trzeba by pobra´ c, by przeprowadzony test (na poziomie istotno´ sci 0.05), w sy- tuacji, gdy rzeczywista ´ srednia waga pude lka proszku do prania wynosi 2,9 kg, odrzuca l hipotez¸ e,

˙ze ´ srednia waga pude lka jest zgodna z podan¸ a na pude lku, z prawdopodobie´ nstwem nie mniejszym ni˙z 0.9.

PRZYK LAD 3.3

Ogrodnik ma 5000 nasion bia lych i czerwonych tulipan´ ow. Chcia lby wiedzie´ c jaki procent owych nasion to nasiona tulipan´ ow bia lych. Nasiona te przeznaczone s¸ a do sprzeda˙zy, wi¸ ec nie mo˙ze ich wszystkich wysia´ c i sprawdzi´ c, ile z nich zakwitnie na bia lo. Wybra l zatem losowo 100 nasion, posia l je i okaza lo si¸ e, ˙ze 13 z nich ma bia le kwiaty.

(a) Czy na poziomie istotno´ sci 0,01 ogrodnik mo˙ze stwierdzi´ c, ˙ze nasiona bia lych tulipan´ ow stanowi¸ a 10% wszystkich nasion?

(b) Zak ladaj¸ ac, ˙ze rzeczywisty odsetek nasion bia lych wynosi 20%, wyznaczy´ c prawdopodobie´ nstwo,

˙ze przeprowadzaj¸ ac test na poziomie istotno´ sci 0.01 i na podstawie 100 obserwacji, b l¸ ednie uznamy,

˙ze nasiona bia lych tulipan´ ow stanowi¸ a 10% wszystkich nasion.

(c) Ile nasion powinien zasia´ c ogrodnik, by przeprowadzony test jednostronny (na poziomie istotno´ sci 0.01), w sytuacji, gdy rzeczywisty odsetek nasion bia lych wynosi 20%, odrzuca l, z prawdopodo- bie´ nstwem nie mniejszym ni˙z 0.9, hipotez¸ e, ˙ze 10% wszystkich nasion to nasiona bia le.

(d) Czy zmieni si¸ e odpowied´ z w punkcie (a) je´ sli ogrodnik posieje jedynie 10 nasion i 2 z nich wykie lkuj¸ a na bia lo?

PRZYK LAD 3.4

Otrzymano nast¸ epuj¸ ace wyniki pomiar´ ow grubo´ sci 6 wylosowanych detali wyprodukowanych przez zakupiony agregat (w mm.): 1.6, 1.7, 1.4, 1.5, 1.9, 1.5. Zak ladamy, ˙ze rozk lad grubo´ sci tego detalu jest normalny. Na poziomie istotno´ sci 0.05 zweryfikowa´ c hipotez¸ e, ˙ze wariancja grubo´ sci detalu wykonanego przez agregat przekracza 0.03 mm

.

1

Skr´ oty wyk lad´ ow ze SwZ (semestr zimowy, 2014/2015) Wyk lad 3 i 4

PRZYK LADY - testy dotycz¸ ace dw´ och populacji PRZYK LAD 3.5

20 spo´ sr´ od 100 losowo wybranych student´ ow studi´ ow zaocznych i 40 spo´ sr´ od 120 losowo wybranych student´ ow studi´ ow dziennych zda lo egzamin z Analizy Matematycznej w pierwszym terminie.

(a) Czy na podstawie powy˙zszych danych mo˙zemy stwierdzi´ c, ˙ze studenci studi´ ow dziennych lepiej przygotowuj¸ a si¸ e do egzaminu z Analizy Matematyczneji ni˙z studenci zaoczni? Przyj¸ a´ c poziom istotno´ sci 0.01.

(b) Przypuszczamy, ˙ze zdawalno´ s´ c egzaminu z Analizy Matematycznej w pierwszym terminie wynosi dla student´ ow studi´ ow zaocznych 0.2 a dziennych - 0.3. Ilu student´ ow studi´ ow zaocznych i ilu student´ ow studi´ ow dziennych trzeba by wylosowa´ c do pr´ oby by jednostronny test por´ ownuj¸ acy proporcje z poziomem istotno´ sci 0.01 mia l moc 0.75.

PRZYK LAD 3.6

Losow¸ a grup¸ e 5 os´ ob poddano 6-tygodniowej diecie odchudzaj¸ acej. Uzyskano nast¸ epuj¸ ace wyniki (waga przed i po kuracji [w kg]):

Przed kuracj¸ a 88 86 82 64 59 Po kuracji 75 76 83 65 58 .

Mo˙zna za lo˙zy´ c, ˙ze rozk lad l¸ aczny wagi przed i po kuracji jest normalny.

(a) Czy powy˙zsze wyniki potwierdzaj¸ a skuteczno´ s´ c diety (przyj¸ a´ c poziom istotno´ sci 0.05)?

(b) Przypuszczamy, ˙ze ´ srednia r´ o˙znica wagi sprzed i po kuracji wynosi 4 kg. Jakie jest prawdopo- dobie´ nstwo, ˙ze test z punktu (a) potwierdzi skuteczno´ s´ c diety?

(c) Przypuszczamy, ˙ze ´ srednia r´ o˙znica wagi sprzed i po kuracji wynosi 4 kg. Ile os´ ob trzeba by losowo wybra´ c do eksperymentu by test jednostronny o poziomie istotno´ sci 0.05 z prawdopodobie´ nstwem 0.8 potwierdza l skuteczno´ s´ c diety?

PRZYK LAD 3.7

Dokonano po 10 pomiar´ ow tego samego napi¸ ecia pr¸ adu przy u˙zyciu dw´ och r´ o˙znych woltomierzy.

Dla pierwszego woltomierza otrzymano nast¸ epuj¸ ace wyniki

1.2, 1.0, 1.1, 1.4, 1.1, 1.2, 1.0, 0.9, 1.1, 1.2, a dla drugiego:

1.3, 1.1, 1.4, 0.9, 1.4, 1.2, 1.3, 1.0, 1.2, 1.3.

Mo˙zna za lo˙zy´ c, ˙ze pomiary napi¸ ecia na badanych woltomierzach maj¸ a rozk lady normalne.

(a) Na poziomie istotno´ sci 0.01 zweryfikowa´ c hipotez¸ e o jednakowych wynikach pomiaru napi¸ ecia przez oba woltomierze.

(b) Przypuszczamy, ˙ze ´ srednia r´ o˙znica pomiar´ ow na obu woltomierzach to 0.1. Ile pomiar´ ow na ka˙zdym woltomierzu nale˙zy wykona´ c by moc dwustronnego testu o poziomie istotno´ sci 0.01 wynosi la nie mniej ni˙z 0.8.

2