Podstawy wytrzymałości materiałów

Podstawy wytrzymałości materiałów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji

Dr hab. inż. Tomasz Machniewicz B2, II p., pok. 206

IMiR - MiBM - Dodatek Nr 1

Charakterystyki geometryczne figur płaskich

Momenty statyczne, środek ciężkości figury i jego wyznaczanie, momenty bezwładności, główne centralne osie bezwładności, promienie bezwładności, twierdzenia Stainera

D1.1. Znaczenie parametrów geometrycznych figur płaskich

przy ocenie wytrzymałości obiektów

Figurami płaskimi są przekroje obiektów, w których wyznaczane są siły wewnętrzne i naprężenia.

Podstawowym parametrem charakteryzującym figurę jest jej pole powierzchni – wielkość mianowana charakteryzująca rozmiar figury.

Pole powierzchni (A) reprezentuje wpływ cech geometrycznych obiektu na jego wytrzymałość jedynie w niektórych przypadkach obciążeń, jak:

rozciąganie/ściskanie ścinanie techniczne docisk powierzchniowy

𝝈

(𝝈

) = 𝑵

𝑨 ≤ 𝒌

(𝒌

) 𝝉 = 𝑻

𝑨

≤ 𝒌

𝒑

= 𝑭

𝑨

≤ 𝒌

© T. Machniewicz

D1.1. Pole powierzchni figury

http://projects.kmi.open.ac.uk

W przypadkach takich obciążeń, jak zginanie lub skręcanie, wytrzymałość elementu zależy nie tylko od wielkości ale i od kształtu pola przekroju poprzecznego, a przy zginaniu także od zorientowania tegoż kształtu względem kierunku momentu zginającego.

Do opisu tych cech konieczne jest wprowadzenie nowych wielkości geometrycznych charakteryzujących przekrój elementu, tj. momentów geometrycznych drugiego stopnia – tzw. momentów bezwładności .

Redukcja sił wewnętrznych w przekroju elementu wymaga znajomości położenia jego geometrycznego środka ciężkości , przyjmowanego jako biegun redukcji rozważanego układu sił.

Wyznaczenie współrzędnych środka ciężkości figury płaskiej wymaga znajomości momentów geometrycznych pierwszego stopnia, czyli tzw. momentów statycznych.

© T. Machniewicz

D1.2. Momenty pierwszego stopnia - momenty statyczne

y

x

dA A

x y

Moment statyczny (dS) elementu pola (dA) obliczymy:

 względem osi x, jako: 𝒅𝑺

= 𝒚 ∙ 𝒅𝑨

 względem osi y , jako: 𝒅𝑺

= 𝒙 ∙ 𝒅𝑨

𝑺

≝ 𝒚 ∙ 𝒅𝑨

𝑨

Stąd:

Momenty statyczne figury o polu A względem osi x i y definiujemy odpowiednio jako:

𝑺

≝ 𝒙 ∙ 𝒅𝑨

𝑨

(… mm

, cm

, m

…)

jednostka:

gdzie

𝑨

oznacza całkę liczoną po całym polu figury A

Uwaga: Momenty statyczne mogą mieć wartość dodatnią, ujemną lub równą zeru. © T. Machniewicz

D1.2. Momenty pierwszego stopnia - momenty statyczne

Przykład 1: Obliczyć momenty statyczne prostokąta o szerokości b i wysokości h względem osi x i y przechodzących przez jego boki.

y

b

h dy y

dA=b



𝑺_𝒙 ≝ 𝒚 ∙ 𝒅𝑨

𝑨

= 𝒚 ∙ 𝒃 ∙ 𝒅𝒚

h

= 𝒚^𝟐 𝟐 ∙ 𝒃

𝟎 𝒉

= 𝒉^𝟐∙ 𝒃 𝟐

𝑺_𝒙 = 𝒉 ∙ 𝒃 ∙𝒃

𝟐 𝑺_𝒙 = 𝑨 ∙ 𝒚_𝒄

A=b



y

C

y

x

h

x dx

^

A=b



x

C

b

𝑺_𝒚 ≝ 𝒙 ∙ 𝒅𝑨

𝑨

= 𝒙 ∙ 𝒉 ∙ 𝒅𝒙

b

= 𝒙^𝟐 𝟐 ∙ 𝒉

𝟎 𝒃

= 𝒃^𝟐∙ 𝒉 𝟐

𝑺_𝒚 = 𝒃 ∙ 𝒉 ∙𝒉

𝟐 𝑺_𝒚 = 𝑨 ∙ 𝒙_𝒄

C – środek ciężkości prostokąta

© T. Machniewicz

D1.2. Momenty pierwszego stopnia - momenty statyczne

Moment statyczny dowolnej figury jest iloczynem pola tej figury i odpowiedniej współrzędnej jej środka ciężkości, określającej jego odległość od osi, względem której moment statyczny jest liczony.

Twierdzenie 1

𝑺

= 𝑨 ∙ 𝒚

𝑺

= 𝑨 ∙ 𝒙

y

x 𝑨

𝒚_𝒄

C

𝒙_𝒄

Momenty statyczne obliczane względem osi symetrii lub względem prostych przechodzących środek symetrii są równe zero.

Twierdzenie 2

𝑺_𝒌 = 𝟎

Jeśli figura o polu

całkowity na n części o polach A

, to moment statyczny całej figury

) równy jest sumie momentów statycznych wszystkich części tej figury (𝑺

) liczonych względem tej samej osi.

Twierdzenie 3

𝑺

=

𝑺

𝒊=𝟏

𝑺

=

𝑺

𝒊=𝟏

𝑺_𝒚^𝑨 = 𝑺_𝒚^𝑨𝒊 𝑺_𝒙^𝑨 = 𝑺_𝒙^𝑨𝒊

y

x

A

l

𝑺_𝒍 = 𝑺_𝒍− 𝑺_𝒍

y

x

A₁ A₂

A_i A_n

…

…

… k

© T. Machniewicz

D1.3. Środek ciężkości figury

Środkiem ciężkości figury płaskiej nazywamy punkt o współrzędnych:

𝐱

≝ 𝑺

𝑨

y

x A

y

C

x

𝐲

≝ 𝑺

𝑨

gdzie: S

, S

– momenty statyczne figury odpowiednio względem osi x i y,

A – pole powierzchni figury

Osie układu współrzędnych przechodzące przez środek ciężkości figury nazywamy osiami centralnymi.

Jeżeli figura ma oś symetrii to oś ta przechodzi przez środek ciężkości figury.

Twierdzenie 4

Jeżeli figura ma środek symetrii to jest on równocześnie środkiem ciężkości tejże figury.

Twierdzenie 5

C

C C C C

C X_c

Y_c

© T. Machniewicz

D1.4. Sposób wyznaczania środka ciężkości figury

y

x

A

Dana jest dowolna figura o polu powierzchni A.

1. Przyjmujemy układ współrzędnych x-y.

2. Dokonujemy podziału figury A na n części, w taki sposób by dla każdej z tych części

móc w łatwy sposób obliczyć pole i wskazać jej środek ciężkości.

𝑨 =

𝑺

𝒊=𝟏

3. Obliczamy momenty statyczne całej figury (A), względem

obydwu osi układu

współrzędnych (𝑺

, 𝑺

), jako sumy momentów statycznych (𝑺

, 𝑺

) względem odpowiednich osi wszystkich części figury (A

) na jakie podzielono całe pole A.

𝑺

=

𝑺

𝒊=𝟏

𝑺

=

𝑺

𝒊=𝟏

4. Obliczamy współrzędne środka ciężkości całej figury A jako:

𝒙

= 𝑺

𝑨 =

𝑺

𝑨

𝒏𝒊=𝟏

=

𝒙

∙ 𝑨

𝑨

𝒏𝒊=𝟏

𝒚

= 𝑺

𝑨 =

𝑺

𝑨

𝒏𝒊=𝟏

=

𝒚

∙ 𝑨

𝑨

𝒏𝒊=𝟏

y_C1

x_C1

…

…

x_Ci y_Ci

A₁

A_i

A_n

x_Cn y_Cn

A₂ …

© T. Machniewicz

D1.4. Sposób wyznaczania środka ciężkości figury

Przykład 2: Wyznaczyć położenie środka ciężkości przekroju jak na rysunku.

𝐲







𝒙

100 60

20

20

≡ 𝒚_𝑪

20

𝒙

= 𝟎 (zgodnie z twierdzeniem 4) 𝒚

= 𝑺

𝑨

𝑺

=

𝑺

𝒊=𝟏

=

𝒚

∙ 𝑨

𝒊=𝟏

𝑨

=

𝑨

𝒊=𝟏

= 𝟐 ∙ 𝟔 + 𝟐 ∙ 𝟏𝟐 + 𝟐 ∙ 𝟏𝟎

𝑺_𝒙

= 𝟐 ∙ 𝟔 ∙ 𝟕 + 𝟎 + 𝟐 ∙ 𝟏𝟎 ∙ −𝟕

= 𝟓𝟔 𝐜𝐦^𝟐

𝒚

= 𝑺

𝑨 = −𝟓𝟔

𝟓𝟔 = −𝟏 𝐜𝐦 y

=70 y

= ̶ 70

𝒙_𝑪 𝒚𝑪=−𝟏𝟎

160

© T. Machniewicz

D1.4. Sposób wyznaczania środka ciężkości figury

Przykład 3: Jak obliczyć moment statyczny przekroju jak na rysunku?











𝒙

𝑺

= 𝑺

+ 𝑺

+ 𝑺

^𝒙

𝑺

= 𝑺

− 𝑺

𝒙

© T. Machniewicz

D1.5. Momenty drugiego stopnia - momenty bezwładności

y

x

dA A

x y

Dla figury płaskiej o polu powierzchni A, opisanej w kartezjańskim układzie współrzędnych x-y definiuje się następujące geometryczne momenty drugiego stopnia (momenty bezwładności):

𝑱

≝ 𝒚

∙ 𝒅𝑨

𝑨

jednostki:

Uwaga: Momenty osiowe i moment biegunowy mogą być tylko dodatnie, moment dewiacji może być

𝑱

≝ 𝒙

∙ 𝒅𝑨

𝑨

𝑱

≝ 𝒓

∙ 𝒅𝑨

𝑨

𝑱

(𝑫

) ≝ 𝒙 ∙ 𝒚 ∙ 𝒅𝑨

𝑨

… 𝐦𝐦^𝟒

𝐜𝐦^𝟒 𝐦^𝟒

… Momenty statyczne

(pierwszego stopnia) 𝑺_𝒙 ≝ 𝒚 ∙ 𝒅𝑨

𝑨

𝑺_𝒚 ≝ 𝒙 ∙ 𝒅𝑨

𝑨

O

© T. Machniewicz

D1.5. Momenty drugiego stopnia - momenty bezwładności

Moment bezwładności (J

), obliczany względem bieguna układu współrzędnych x-y, równy jest sumie momentów osiowych J

oraz J

.

Twierdzenie 6

𝑱

= 𝑱

+ 𝑱

Momenty bezwładności są addytywne (podobnie jak momenty statyczne), tzn:

Twierdzenie 7

𝑱

=

𝑱

𝒊=𝟏

𝑱

=

𝑱

𝒊=𝟏

Dowód:

x dA A

x y

O 𝑱

≝ 𝒓

∙ 𝒅𝑨

𝑨

= (𝐱

+𝐲

) ∙ 𝒅𝑨

𝑨

= 𝐲

∙ 𝒅𝑨 +

𝑨

𝐱

∙ 𝒅𝑨

𝑨

= 𝑱

+ 𝑱

𝑱

=

𝑱

𝒊=𝟏

𝑱

=

𝑱

𝒊=𝟏

y

x

y

x

y

x

y

x

= + ̶

𝑱 = 𝑱_ + 𝑱_ – 𝑱_

Np.

© T. Machniewicz

D1.5. Momenty drugiego stopnia - momenty bezwładności

Jeżeli figura posiada oś symetrii, z którą pokrywa się chociaż jedna z osi układu współrzędnych, to moment dewiacji J

obliczany względem takiego układu osi jest równy zero.

Twierdzenie 8

y

x

𝑱_𝒙𝒚 = 𝒙 ∙ 𝒚 ∙ 𝒅𝑨

𝑨

= 𝟎 𝒅𝑨_𝒊

𝒅𝑨_𝒊′

𝒙 ∙ 𝒚 ∙ 𝒅𝑨_𝒊 = −𝒙 ∙ 𝒚 ∙ 𝒅𝑨_𝒊′

stąd:

Dla każdego wycinka pola powierzchni

istnieje taki symetryczny wycinek 𝒅𝑨

, że:

𝒙 ∙ 𝒚 ∙ 𝒅𝑨

𝑨(𝒙>𝟎)

= − 𝒙 ∙ 𝒚 ∙ 𝒅𝑨

𝑨(𝒙<𝟎)

więc:

Dowód:

© T. Machniewicz

𝑱

≝ 𝒚

∙ 𝒅𝑨

𝑨

𝑱

≝ 𝒙

∙ 𝒅𝑨

𝑨

𝑱

≝ 𝒓

∙ 𝒅𝑨

𝑨

D1.6. Promienie bezwładności

Promień bezwładności względem osi k (lub bieguna O) jest to taka odległość i

od prostej k (lub i

od bieguna O), w której skupione całe pole figury (A) daje moment bezwładności względem tej prostej (lub tego bieguna) równy rzeczywistemu momentowi rozważanej figury.

Momenty statyczne 𝑺_𝒙 ≝ 𝒚 ∙ 𝒅𝑨

𝑨

𝑺_𝒙 = 𝒚_𝑪 ∙ 𝑨

𝑺_𝒚 ≝ 𝒙 ∙ 𝒅𝑨

𝑨

𝑺_𝒚 = 𝒙_𝑪 ∙ 𝑨 y

x

dA A

x y

O

𝑱

= 𝒊

∙ 𝑨

𝑱

= 𝒊

∙ 𝑨 𝑱

= 𝒊

∙ 𝑨 𝒊

≝ 𝑱

𝑨 𝒊

≝ 𝑱

𝑨 𝒊

≝ 𝑱

𝑨

Pomiędzy promieniami bezwładności względem osi układu współrzędnych x–y (𝒊

i

), a promieniem bezwładności względem bieguna tego układu (𝒊

) zachodzi zależność:

Twierdzenie 9

𝒊

= 𝒊

+ 𝒊

Dowód: 𝑱

= 𝑱

+ 𝑱

𝑱

= 𝑨 ∙ 𝒊

𝑱

= 𝑨 ∙ 𝒊

𝑱

= 𝑨 ∙ 𝒊

gdzie:

𝑨 ∙ 𝒊

= 𝑨 𝒊

+ 𝒊

𝒊

= 𝒊

+ 𝒊

© T. Machniewicz

D1.7. Główne centralne momenty bezwładności

Układ osi względem którego mement dewiacji J

=0 nazywamy głównymi osiami bezwładności.

Momenty bezwładności obliczane względem tych osi przyjmują wartości ekstremalne i nazywamy je głównymi momentami bezwładności.

Jeżeli którakolwiek z osi układu współrzędnych pokrywa się z osią symetrii rozważanej figury, to osie te są głównymi osiami bezwładności (por. twierdzenie 8).

Główne osie bezwładności przechodzące przez środek ciężkości figury nazywamy głównymi centralnymi osiami bezwładności, a obliczane względem nich momenty drugiego stopnia to główne centralne

A

x

y

𝑱

+ 𝑱

= 𝑱

O

= 𝑱

+ 𝑱



Suma momentów bezwładności względem osi układów współrzędnych o wspólnym biegunie jest stała, chociaż wartości poszczególnych momentów osiowych zmieniają się wraz z obrotem układu współrzędnych względem bieguna.

Musi istnieć taki kąt

dla którego momenty osiowe będą przyjmować wartości ekstremalne. Położenie takie wyróżnia zerowa wartość momentu dewiacji liczonego względem danego układu osi (por. p. D1.10).

© T. Machniewicz

D1.7. Główne centralne momenty bezwładności

Przykład 4: Obliczyć główne centralne momenty bezwładności prostokąta o szerokości b i wysokości h.

y_C

x_C

b

dy y

dA=b



𝑱_𝒙 ≝ 𝒚^𝟐 ∙ 𝒅𝑨

𝑨

= 𝒚

∙ 𝒃 ∙ 𝒅𝒚

−𝒉 𝟐

𝒉 𝟐

= 𝒚

𝟑 ∙ 𝒃

−𝒉 𝟐 𝒉𝟐

=

A=b



C

x dx

^

𝑱_𝒚 ≝ 𝒙^𝟐 ∙ 𝒅𝑨

𝑨

= 𝒙

∙ 𝒉 ∙ 𝒅𝒙

−𝒃 𝟐 𝒃 𝟐

= 𝒙

𝟑 ∙ 𝒉

−𝒃 𝟐 𝒃𝟐

= 𝒉 ∙ 𝒃^𝟑 𝟏𝟐

h Na pamięć !!

y_C

x_C a

a

y_C

x_C

y_C

x_C y_C

x_C b

h

y_C

x_C b

h h/3

C

𝑱_𝒙𝒄 = 𝒃 ∙ 𝒉^𝟑 𝟏𝟐 𝑱_𝒚𝒄 = 𝒉 ∙ 𝒃^𝟑

𝟏𝟐

𝑱_𝒙𝒄 = 𝑱_𝒚𝒄=

= 𝝅𝒅^𝟒 𝟔𝟒

𝑱_𝒙𝒄 = 𝒃 ∙ 𝒉^𝟑 𝟑𝟔 𝑱_𝒚𝒄 = 𝒉 ∙ 𝒃^𝟑

𝟒𝟖 𝑱_𝒙𝒄 = 𝑱_𝒚𝒄 = 𝒂^𝟒

𝟏𝟐

𝑱_𝒙𝒄 = 𝒅^𝟒 𝟏𝟔

𝝅 𝟖 − 𝟖

𝟗𝝅 𝑱_𝒚𝒄 = 𝝅𝒅^𝟒

𝟏𝟐𝟖 y_C

x_C

𝟒𝒓 𝒚=𝒄 𝟑𝝅 C

© T. Machniewicz

D1.8. Twierdzenie Steinera

A

x_C y_C

OC

b

a

dA

v

x

Przyjmujemy prostokątny układ współrzędnych (x, y) o początku leżącym w środku ciężkości pola A figury.

Dane: a, b, r, J

, J

, J

, J

Szukane: J

, J

, J

, J

𝑱

≝ 𝒗

∙ 𝒅𝑨

𝑨

= 𝒚 − 𝒂

∙ 𝒅𝑨

𝑨

= 𝒚

∙ 𝒅𝑨

𝑨

− 𝟐𝒂 𝒚 ∙ 𝒅𝑨

𝑨

+ 𝒂

𝒅𝑨

𝑱

𝑺

= 𝟎

𝑨

x_C to oś centralna

Stąd: 𝑱

= 𝑱

+ 𝒂

∙ 𝑨

Podobnie: 𝑱

= 𝑱

+ 𝒃

∙ 𝑨

𝑱

= 𝑱

+ 𝑱

𝑱

= 𝑱

+ 𝒓

∙ 𝑨 𝑱 = 𝑱 + 𝒂 ∙ 𝒃 ∙ 𝑨

= 𝑱

+ 𝑱

+ 𝑨 𝒂

+ 𝒃

𝑱

𝒓

Moment bezwładności pola A figury płaskiej względem dowolnej prostej jest równy momentowi bezwładności tej figury względem osi centralnej równoległej do rozważanej prostej, powiększonemu o iloczyn pola tej figury

© T. Machniewicz

D1.9. Obliczanie głównych centralnych momentów bezwładności Przykład 4: Obliczyć główne centralne momenty bezwładności dwuteownika jak na rysunku.

180

20

10

20

80

320



𝒚

𝒙_𝑪𝟐

= 𝒙



𝒙_𝑪𝟏

𝒙_𝑪𝟑

Oś y

jest osią centralną gdyż pokrywa się z osią symetrii figury.

𝒚

= 𝑺

𝑨

a) Wyznaczanie środka ciężkości figury (współrzędnej y

)

= 𝑺

+ 𝑺

+ 𝑺

𝑨

+ 𝑨

+ 𝑨

= 𝟖 ∙ 𝟐 ∙ 𝟏𝟓 + 𝟎 + 𝟏𝟖 ∙ 𝟐 ∙ (−𝟏𝟓) 𝟖 ∙ 𝟐 + 𝟐𝟖 ∙ 𝟏 + 𝟐 ∙ 𝟏𝟓

−𝟑𝟎𝟎

𝟕𝟒 = −𝟒. 𝟎𝟓 𝐜𝐦

150



150

b) Wyznaczanie głównych centralnych momentów bezwładności 𝑱

= 𝑱

 + 𝑱

 + 𝑱



x_C b

h

𝑱_𝒚𝒄 = 𝒉 ∙ 𝒃^𝟑 𝟏𝟐

𝑱

= 𝟐 ∙ 𝟖

𝟏𝟐 + 𝟐𝟖 ∙ 𝟏

𝟏𝟐 + 𝟐 ∙ 𝟏𝟖

𝟏𝟐 𝐜𝐦

𝑱

= 𝟏𝟎𝟓𝟗. 𝟔𝟔𝟕 𝐜𝐦

𝒙_𝑪

y

=40.5

CO

© T. Machniewicz

D1.9. Obliczanie głównych centralnych momentów bezwładności

Przykład 4: Obliczyć główne centralne momenty bezwładności dwuteownika jak na rysunku.

a) Wyznaczanie środka ciężkości figury (współrzędnej y

)

b) Wyznaczanie głównych centralnych momentów bezwładności

y_C

x_C b

h

𝑱_𝒙𝒄 = 𝒃 ∙ 𝒉^𝟑 𝟏𝟐 𝑱_𝒙𝒄 = 𝟖 ∙ 𝟐^𝟑

𝟏𝟐 + 𝟖 ∙ 𝟐 ∙ 𝟏𝟓 + 𝟒. 𝟎𝟓 ^𝟐 𝐜𝐦^𝟒

𝑱

= 𝟏𝟎𝟓𝟗. 𝟔𝟔𝟕 𝐜𝐦

𝑱

= 𝑱

 + 𝑱

 + 𝑱



Tw. Steinera:

𝑱

= 𝑱

+ 𝒂

∙ 𝑨

𝑱_𝒙𝒄 = 𝟏 ∙ 𝟐𝟖^𝟑

𝟏𝟐 + 𝟏 ∙ 𝟐𝟖 ∙ 𝟒. 𝟎𝟓 ^𝟐 𝐜𝐦^𝟒 𝑱_𝒙𝒄 = 𝟏𝟖 ∙ 𝟐^𝟑

𝟏𝟐 + 𝟐 ∙ 𝟏𝟖 ∙ 𝟏𝟓 − 𝟒. 𝟎𝟓 ^𝟐 𝐜𝐦^𝟒 𝑱_𝒙𝑪 = 𝟓𝟖𝟏𝟏. 𝟕𝟕𝟑 + 𝟐𝟐𝟖𝟖. 𝟔𝟎𝟑 + 𝟒𝟑𝟐𝟖. 𝟒𝟗 𝐜𝐦^𝟒

𝑱

= 𝟏𝟐 𝟒𝟐𝟖. 𝟖𝟔𝟔 𝐜𝐦

180

20

10

20

80

320



𝒚

𝒙_𝑪𝟐

= 𝒙



𝒙_𝑪𝟏

𝒙_𝑪𝟑

150



150

𝒙_𝑪

y

=40.5

CO

© T. Machniewicz

D1.10. Transformacja przez obrót

A

x

y dA

Mamy figurę opisaną w prostokątnym układzie współrzędnych (x, y):

Dane: J

, J

,, J

Szukane: J

, J

, J

oraz taki kąt  aby J

, J

, były ekstremalne

O



y

x



𝒗

= 𝑩𝑪 −

=

cos 𝜶 −

=

cos 𝜶 −

= 𝑫𝑫

+ 𝑶𝑫′ = 𝑪

𝑪 +

sin 𝜶 +

C

D

C’

D’

x

𝑱

≝ 𝒗

∙ 𝒅𝑨

𝑨

= 𝒚 cos 𝜶 − 𝒙 sin 𝜶

∙ 𝒅𝑨

𝑨

=

= 𝒚

𝑨

cos

𝜶 𝒅𝑨 + 𝒙

𝑨

sin

𝜶 𝒅𝑨 − 𝟐 𝒙𝒚

𝑨

sin 𝜶 cos 𝜶 𝒅𝑨

𝑱

≝ 𝒖

∙ 𝒅𝑨

𝑨

= 𝒚 sin 𝜶 + 𝒙 cos 𝜶

∙ 𝒅𝑨

𝑨

= 𝒚

𝑨

sin

𝜶 𝒅𝑨 + 𝒙

𝑨

cos

𝜶 𝒅𝑨 + 𝟐 𝒙𝒚

𝑨

sin 𝜶 cos 𝜶 𝒅𝑨

= 𝑱_𝒙sin^𝟐𝜶 + 𝑱_𝒚 cos^𝟐𝜶 + 𝟐𝑱_𝒙𝒚sin 𝜶 cos 𝜶

𝑱

≝ 𝒖𝒗 ∙ 𝒅𝑨

𝑨

= 𝒚 cos 𝜶 − 𝒙 sin 𝜶 𝒚 sin 𝜶 + 𝒙 cos 𝜶 ∙ 𝒅𝑨

𝑨

=

= 𝑱_𝒙 sin 𝜶 cos 𝜶 + 𝑱_𝒙𝒚 cos^𝟐𝜶 − sin^𝟐𝜶 − 𝑱_𝒚sin 𝜶 cos 𝜶

© T. Machniewicz

D1.10. Transformacja przez obrót

Mamy figurę opisaną w prostokątnym układzie współrzędnych (x, y):

Dane: J

, J

,, J

Szukane: J

, J

, J

oraz taki kąt  aby J

, J

, były ekstremalne

A

x

y dA

O



y

x



B

C

D

C’

D’

x

𝑱

= 𝑱

cos

𝜶 + 𝑱

sin

𝜶 − 𝟐𝑱

sin 𝜶 cos 𝜶 𝑱

= 𝑱

sin

𝜶 + 𝑱

cos

𝜶 + 𝟐𝑱

sin 𝜶 cos 𝜶

Uwzględniając:

𝑱

= 𝑱

sin 𝜶 cos 𝜶 − 𝑱

sin 𝜶 cos 𝜶 + 𝑱

cos

𝜶 − sin

𝜶 sin 2𝜶 = 2 sin 𝜶 cos 𝜶

cos

𝜶 = 1

2 1 + cos 𝟐𝜶 sin

𝜶 = 1

2 1 − cos 𝟐𝜶

𝑱

= 𝑱

1

2 1 + cos 𝟐𝜶 + 𝑱

1

2 1 − cos 𝟐𝜶 + 𝑱

sin𝟐 𝜶 𝑱

= 𝑱

− 𝑱

𝟐 sin 𝟐𝜶 + 𝑱

cos 𝟐𝜶 𝑱

= 𝑱

1

2 1 + cos 𝟐𝜶 + 𝑱

1

2 1 − cos 𝟐𝜶 − 𝑱

sin 𝟐𝜶

𝑱

= 𝑱

+ 𝑱

2 + 𝑱

− 𝑱

2 cos 𝟐𝜶 − 𝑱

sin 𝟐𝜶 𝑱

= 𝑱

+ 𝑱

2 + 𝑱

− 𝑱

2 cos 𝟐𝜶 + 𝑱

sin 𝟐𝜶

𝑱

= 𝑱

− 𝑱

𝟐 sin 𝟐𝜶 + 𝑱

cos 𝟐𝜶 Otrzymujemy:

cos 2𝜶 = cos

𝜶 − sin

𝜶

© T. Machniewicz

D1.10. Transformacja przez obrót

Mamy figurę opisaną w prostokątnym układzie współrzędnych (x, y):

Dane: J

, J

,, J

Szukane: J

, J

, J

oraz taki kąt  aby J

, J

, były ekstremalne

A

x

y dA

O



y

x



B

C

D

C’

D’

x

Momenty osiowe J

oraz J

osiągają wartości ekstremalne dla takiego kąta 𝜶

, że: d𝑱

d𝜶 𝜶

= 𝟎 d𝑱

d𝜶 = − 𝑱

− 𝑱

sin 𝟐𝜶 − 𝟐𝑱

cos 𝟐𝜶 = −𝟐 𝑱

− 𝑱

𝟐 sin 𝟐𝜶 + 𝑱

cos 𝟐𝜶

𝑱

= 𝑱

− 𝑱

𝟐 sin 𝟐𝜶

+ 𝑱

cos 𝟐𝜶

= 𝟎 tan 𝟐𝜶

= − 𝟐𝑱

𝑱

− 𝑱

𝑱

𝒎𝒊𝒏

= 𝑱

+ 𝑱

𝟐 ± 𝑱

− 𝑱

𝟐

𝟐

+ 𝑱

Wówczas:

𝑱

= 𝑱

+ 𝑱

2 + 𝑱

− 𝑱

2 cos 𝟐𝜶 − 𝑱

sin 𝟐𝜶 𝑱

= 𝑱

+ 𝑱

2 − 𝑱

− 𝑱

2 cos 𝟐𝜶 + 𝑱

sin 𝟐𝜶 𝑱

= 𝑱

− 𝑱

𝟐 sin 𝟐𝜶 + 𝑱

cos 𝟐𝜶 𝑱

+ 𝑱

= 𝑱

+ 𝑱

Dla dowolnego :

𝑱

𝑱_𝒖𝒗 = 𝟎

© T. Machniewicz