• Nie Znaleziono Wyników

Definicja 0.1.1 Funkcja f (t) jest szybkomalejąca ⇔

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Definicja 0.1.1 Funkcja f (t) jest szybkomalejąca ⇔"

Copied!
4
0
0

Pełen tekst

(1)

0.1 Dystrybucje temperowane

Definicja 0.1.1 Funkcja f (t) jest szybkomalejąca ⇔

∀n, k ∈ N ∃c n,k

t n ϕ (k)

≤ c n,k . Zbiór funkcji szybkomalejących oznaczamy przez Φ.

Uwaga 0.1.1 Zachodzi oczywista inkluzja D ⊂ Φ, bowiem każda funkcja o nośniku zwartym jest szybkomalejąca. Co więcej, rozważając przykład funkcji ϕ (t) = e −t

2

∈ Φ łatwo zauważyć, że ϕ / ∈ D, zatem D Φ.

Definicja 0.1.2 Mówimy, że ciąg funkcji ϕ n ∈ Φ zbiega do ϕ ∈ Φ ⇔ ∀m, k ∈ N t m ϕ (k) n ⇒ t m ϕ (k) (zb. jednostajna).

Definicja 0.1.3 Dystrybucją wolnorosnącą (temperowaną) nazywamy funkcjonał liniowy i ciągły na przestrzeni Φ. Zbiór dytrybucji wolnorosnących oznaczamy Φ 0 .

Uwaga 0.1.2 Oczywiście jeżeli f ∈ Φ 0 , to f ∈ D 0 , zatem Φ 0 ⊂ D 0 . Rozważmy następujący przykład:

Przykład 0.1.1

hT, e −t

2

i =

X

n=−∞

e n

2

e −n

2

.

Zatem T / ∈ Φ 0 , T ∈ D 0 .

Przyjęcie powyższej definicji dystrybucji temperowanej jest uzasadnione tym, że w przypadku funkcji klasycznych (dystrybucji regularnych) mamy:

hf, ϕi =

+∞

Z

−∞

f (t)ϕ(t) dt,

gdzie ϕ ∈ Φ. O ile zachodzi oszacowanie:

|f (t)| 6 Ct n .

to całka powyższa istnieje dla każdej funkcji szybkomalejącej ϕ. Funkcje takie nazywamy wolnoro- snącymi. Każda wolnorosnąca funkcja wyznacza dystrybucję temperowaną.

0.2 Transformata Fouriera dystrybucji

Przypomnijmy sobie równość Parsevala:

Jeśli G 1 = F [g 1 ] i G 2 = F [g 2 ], to:

Z

−∞

g 1 (u)G 2 (u) du =

Z

−∞

g 2 (u)G 1 (u) du.

Definicja 0.2.1

hF [f ], ϕi def = hf, F [ϕ]i, gdzie ϕ ∈ Φ.

1

(2)

Uwaga 0.2.1 Uzasadnienie powyższej definicji wynika z przedstawionej wyżej równości Parsevala.

Twierdzenie 0.2.1 Jeśli ϕ ∈ Φ, to F [ϕ] ∈ Φ.

Dowód Niech F = F [ϕ]. Mamy:

F (k) (ω) =

Z

−∞

(it) k e −iωt ϕ(t) dt.

Dokonajmy oszacowania:

|(iω) n F (k) (ω)| =

Z

−∞

e −iωt d n

dt n (−it) k ϕ(t) dt

6

Z

−∞

d n

dt n (−it) k ϕ(t) 

dt 6 C n.k ⇒ F ∈ Φ.

 Uwaga 0.2.2 Przekształcenie: F : Φ −→ Φ jest ciągłe. Wystarczy pokazać ciągłość w zerze. Czyli, że jeśli ϕ n → 0, to F ϕ n → 0.

Uwaga 0.2.3 Niech f ∈ Φ0 oraz ϕ n → 0. Mamy

hF [f ], ϕ n i = hf, F ϕ n i → hf, 0i = 0.

Stąd F [f ] jest ciągłe.

0.2.1 Własności

Twierdzenie 0.2.2 (Własności transformaty Fouriera dystrybucji) Niech F = F [f ]. Wte- dy:

1. F [(−it) k f (t)] = F (k) (ω).

2. F [D k f ] = (iω) k F (ω).

3. F [f (t − τ )] = e −iωτ F . 4. Niech f = δ (k) (t − τ ).

Wtedy:

F [f ] = (it) k e −itτ . W szczególności:

• F [δ] = 1,

• F [δ(t − τ )] = e −itτ ,

• F [δ (k) ] = (it) k . 5. F [1] = 2πδ.

6. F [e −itτ ] = 2πδ(ω + τ ).

7. F [(it) k ] = (−1) k 2πδ (k) .

8. F [(it) k e −itτ ] = (−1) k 2πδ (k) (ω + τ ).

9. F [at n + a n−1 t n−1 + . . . + a 0 ] = 2π[a n i n δ (n) + a n−1 (i) n−1 δ (n−1) + . . . + a 0 δ].

2

(3)

Dowód [Własność 1] Weźmy k = 1:

hF 0, ϕi = −hF, ϕ0i = hf, F (ϕ0)i = −hf,

Z

−∞

e −iωt ϕ0(ω) dωi. = hf, −

Z

−∞

(−it)e −iωt ϕ(ω) dωi =

−hf, it

Z

−∞

e −iωt ϕ(ω) dωi = h−it · f, F [ϕ]i = hF [it · f ], ϕi.

 Dowód [Własność 2]

hF [D k f ], ϕi = hD k f, F [ϕ]i = (−1) k hf, d k

k F [ϕ]i = (−1) k hf, F [(−it) k ϕ(t)]i = hF [f ], (it) k ϕ(t)i =

= h F [f ](it) k , ϕi.

 Dowód [Własność 4]

hF [f ], ϕi = hδ (k) (t−τ ), F ϕi = (−1) k ( F ϕ) (k) (τ ) = (−1) k F [(−it) k ϕ(t)](τ ) =

Z

−∞

e −itτ (it) k ϕ(t) dt =

= he −itτ (it) k , ϕi.

 Dowód [Własność 5]

hF [1], ϕi = h1, F ϕi =

Z

−∞

1 dω

Z

−∞

e −iωt ϕ(t) dt =

Z

−∞

e iω·0

Z

−∞

e −iωt ϕ(t) dt =

= 2πϕ(0) = h2πδ, ϕi.

 Lemat 0.2.1 Zachodzi następująca tożsamość:

X

n=−∞

e −inλ = 2π

X

n=−∞

δ(λ − 2nπ).

Dowód

* +∞

X

n=−∞

e −inλ |ϕ (λ) +

=

+∞

X

n=−∞

+∞

Z

−∞

e −inλ ϕ (λ) dλ =

+∞

X

n=−∞

+∞

X

k=−∞

(2k+1)π

Z

(2k−1)π

e −inλ ϕ (λ) dλ =

=

λ − 2kπ = r dλ = dr

=

+∞

X

n=−∞

+∞

X

k=−∞

Z

−π

e −in(r+2kπ) ϕ (r + 2kπ) dr =

= |niech ϕ k (r) = ϕ (r + 2kπ)| =

+∞

X

n=−∞

+∞

X

k=−∞

e −in2kπ

Z

−π

e −inr ϕ k (r) dr =

=

+∞

X

k=−∞

+∞

X

n=−∞

e in(−2kπ) c n (ϕ k )

3

(4)

gdzie c n (ϕ k ) = 1

Z

−π

e −inr ϕ k (r) dr są współczynnikami Fouriera funkcji ϕ k .

Wyrażenie

+∞

X

n=−∞

e in(−2kπ) c nk ) jest wartością sumy szeregu Fouriera tej funkcji w punkcie r k =

−2kπ, a zatem z okresowości tej sumy mamy

+∞

X

n=−∞

e in(−2kπ) c n (ϕ k ) = ϕ k (−2kπ) = ϕ k (0) = ϕ (2kπ) .

Wynika stąd, że

+∞

X

k=−∞

+∞

X

n=−∞

e in(−2kπ) c n (ϕ k ) = 2π

+∞

X

k=−∞

ϕ (2kπ) =

* 2π

+∞

X

k=−∞

δ (λ − 2kπ) |ϕ +

co kończy dowód. 

0.2.2 Wzór sumacyjny Poissona

Twierdzenie 0.2.3 (Wzór sumacyjny Poissona) Jeżeli F = F [ϕ], to zachodzi wzór:

X

n=−∞

F (n) = 2π

X

n=−∞

ϕ(2nπ).

Dowód

X

n=−∞

F (n) = h

X

n=−∞

δ(λ − n), F ϕi = hF

X

n=−∞

δ(λ − n)

! , ϕi =

h

X

n=−∞

e −inλ , ϕi = h2π

X

n=−∞

δ(λ − 2nπ), ϕi = 2π

X

n=−∞

ϕ(2nπ).



0.2.3 Tożsamość Jacobiego

Twierdzenie 0.2.4 (Tożsamość Jacobiego) Jeżeli ϕ(t) = e −tx

2

, dla ti0, to F (x) = p π t e

−x24t

. Uwaga 0.2.4 Dokonując podstawienia t = τ

2

otrzymujemy następującą postać powyższej tożsa- mości:

r π τ

X

n=−∞

e

−π2 n2τ

=

X

n=−∞

e −τ n

2

.

4

Cytaty

Powiązane dokumenty

Ponieważ wszystkie wnioski PA s¸ a spełnione w (N, +, ·, <, 0, 1), powyższe oznacza, że T h(N ) składa si¸e ze wszystkich wniosków

Wtedy, prawa strona to macierz odwrotna

N - może być prawdziwe lub

[r]

Wykazać, że funkcja charakterystyczna zbioru liczb wymiernych nie jest całkowal- na na [0, 1]..

Czy istnieje funkcja f, że jest tylko jeden punkt a o tej włąsności?.

Ile różnych deserów może z tego sporządzić ekspedientka, jeśli w pucharku mieści się nie więcej niż 5 kulek lodów, a pusty pucharek nie jest deserem..

Uwaga, dwa sposoby usadzenia uważamy za takie same, jeśli w obu sposobach każda z osób ma tych samych sąsiadów zarówno po lewej, jak i prawej stronie..