• Nie Znaleziono Wyników

SKUTECZNOŚĆ METODY PURC W ROZWIĄZYWANIU ZAGADNIEŃ NIEUSTALONEGO POLA TEMPERATURY

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "SKUTECZNOŚĆ METODY PURC W ROZWIĄZYWANIU ZAGADNIEŃ NIEUSTALONEGO POLA TEMPERATURY"

Copied!
8
0
0

Pełen tekst

(1)

58

SKUTECZNOŚĆ METODY PURC W ROZWIĄZYWANIU ZAGADNIEŃ

NIEUSTALONEGO POLA TEMPERATURY

Dominik Sawicki

1a

, Eugeniusz Zieniuk

1b

,Marta Kapturczak

1c

1 Wydział Mechaniczny, Politechnika Białostocka, Instytut Informatyki, Uniwersytet w Białymstoku

1asawicki.dominik1@gmail.com, 1bezieniuk@ii.uwb.edu.pl, 1cmkapturczak@ii.uwb.edu.pl

Streszczenie

Najpopularniejsze metody komputerowe MES oraz MEB, stosowane do rozwiązywania zagadnień nieustalonego pola temperatury mają istotną wadę, jaką jest konieczność dyskretyzacji brzegu i wnętrza obszaru. Alternatywą pozwalającą na uniknięcie wspomnianego problemu są parametryczne układy równań całkowych (PURC) niewymagające klasycznej dyskretyzacji podczas ich numerycznego rozwiązywania. Celem niniejszej pracy jest zastosowanie metody PURC do rozwiązywania zagadnień nieustalonego pola temperatury, a głównie zaprezentowanie jej dokładność i efektywności w porównaniu z rozwiązaniami analitycznymi oraz MES.

Słowa kluczowe: parametryczne układy równań całkowych, metoda elementów skończonych, metoda elementów brzegowych, nieustalone pole temperatury

EFFECTIVENESS OF PIES METHOD IN SOLVING TRANSIENT HEAT CONDUCTION PROBLEMS

Summary

Currently the most popular numerical methods used for solving transient heat transfer problems, FEM and BEM, have one fundamental defect, the necessity of discretization of boundary and area. An alternative to avoid the mentioned problem are parametric integral equations systems (PIES) that do not require classical discretization during their numerical solving. The purpose of this paper is to present PIES method for transient heat conduction problems and to present its accuracy in comparison with other methods such as FEM. In order to demonstrate effectiveness of the method some examples will be shown.

Keywords: parametric integral equations systems, finite element method, boundary element method, transient heat transfer

1. WSTĘP

Modelowanie i symulacja zagadnień nieustalonego pola temperatury jest problemem cały czas aktualnym z naukowego, jak również z praktycznego punktu widzenia. W ciągu ostatnich kilkudziesięciu lat powstało wiele nowych materiałów oraz technologii wykorzystywanych w badaniach kosmosu oraz inżynierii.

Materiały te często są poddawane działaniu wysokich temperatur, istotne jest więc poznanie ich właściwości termicznych. Do badania takich materiałów stosowane są często metody numeryczne oraz w wyjątkowych

sytuacjach metody analityczne. Rozwiązania analityczne dla tego typu problemów najczęściej są przedstawiane w postaci szeregów. Dlatego też najczęściej są one otrzymywane dla elementarnych kształtów obszarów, są one jednak pożyteczne, ponieważ przedstawiają rozwiązania dokładne zagadnień oraz są pomocne do testowania wiarygodności i dokładności metod numerycznych.

Powstało wiele metod komputerowych umożliwiających symulację zagadnień nieustalonego pola temperatury. Do najczęściej wykorzystywanych, należą:

metoda elementów skończonych (MES) i metoda

(2)

elementów brzegowych (MEB). Metody te wymagają stosowania procesów iteracyjnych. Innymi słowy wymagane jest wielokrotne rozwiązywanie zagadnienia brzegowo-początkowego dla poszczególnych kroków czasowych. O efektywności rozwiązywania takich zagadnień decyduje efektywność metody w poszczególnych krokach czasowych. Pierwsza z tych metod wymaga dyskretyzacji wnętrza obszaru, natomiast druga tylko brzegu. Niezależnie od tego, że MEB wymaga dyskretyzacji tylko brzegu, stosując proces iteracyjny wymagane jest całkowanie po całym obszarze.

Numeryczne całkowanie po obszarze praktycznie sprowadza się do jego podziału na komórki. Podział obszaru na komórki jest praktycznie niczym innym, jak podziałem obszaru na elementy. Różnica pomiędzy elementami skończonymi, a komórkami polega tylko na innym ich przeznaczeniu. Z technicznego punktu widzenia proces ten nie jest niczym innym jak dyskretyzacją obszaru. Dlatego też poszukiwanie nowych, bardziej efektywnych metod do rozwiązywania nawet znanych i rozwiązywanych zagadnień klasycznymi metodami jest problemem cały czas aktualnym.

We własnych pracach od lat rozwijana jest metoda oparta na parametrycznych układach równań całkowych (PURC). Wyniki tych badań dla zagadnień ustalonych dotyczące podstaw teoretycznych i zastosowań metody zostały podsumowane w [10]. Ostatnio metoda PURC bardzo wstępnie została przetestowania dla zagadnień z nieustalonym polem temperatury. Wyniki były porównywane ze znanymi rozwiązaniami analitycznymi.

Bardziej kompleksowa weryfikacja efektywności metody w odniesieniu też do innych znanych metod numerycznych wymaga przetestowania jej na szerszej gamie różnych przykładów. Dlatego też porównywano dokładność wyników uzyskanych za pomocą MES oraz PURC w odniesieniu do rozwiązań dokładnych.

W przypadku braku w literaturze rozwiązań analitycznych, wyniki porównywano z wynikami uzyskanymi za pomocą MES. W badaniach analizowano wpływ liczby danych wejściowych niezbędnych do zamodelowania zagadnienia na dokładność wyników.

2. BRC i PURC DLA ZAGADNIEŃ NIESTACJONARNYCH

Równanie różniczkowe opisujące nieustalone pole temperatury bez wewnętrznych źródeł jest przedstawiane w postaci [1]

( )

k 2u

( )

,t,

t ,t

c ux = ∇ x

x,

(1)

gdzie k[W/mK] jest to współczynnik przewodzenia ciepła, u(x,t) temperatura, c[J/m3K] jest to ciepło właściwe odniesione do jednostki objętości, t jest to czas, natomiast

( ) ( )

,

) ,

( 2

2 2

2 1 2 2

x ,t u x

,t t u

u

+∂

=∂

x x

x (2)

jest operatorem Laplace’a. Równanie (1) jest uzupełnione przez zadanie następujących warunków brzegowych:





∂ =

− ∂

= Γ

= Γ

, )

, (

, :

2 1

s s

n q k u t q :

u t) , u(

x x

x x

(3)

gdzie us jest zadaną temperaturą na fragmencie brzegu Γ1, qs – zadanym strumieniem ciepła na fragmencie brzegu Γ2. Ponadto jest zadany warunek początkowy:

),

0(x x

xΩ:u( ,0)=u (4)

gdzie u0 jest zadaną temperaturą wewnątrz obszaru w chwili t=0.

Klasyczne brzegowe równanie całkowe (BRC) dla (1) z brzegiem ciągłym jest przedstawiane w postaci [1]

( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( ).

1 , 1 5 0

0 0

*

0

0

x x x ξ

x ξ

x ξ ξ

dΩ ,t u ,t ,t , U

dt d x,t u ,t ,t , c Q

d Γdt x,t q ,t ,t , c U t u .

F t

t Γ

F t

t Γ

F F

F

F

∫∫

∫ ∫

∫ ∫

+

Γ

=

(5)

Po uogólnieniu analitycznej modyfikacji, jaka była stosowana do klasycznych BRC w przypadku zagadnień stacjonarnych [4], otrzymano parametryczne układy równań całkowych (PURC) dla nieustalonego przepływu ciepła, które są przedstawiane za pomocą wyrażenia [9]

( )

(

( ) ( )

)

( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( ) ( ).

1 5 1 0

0 0 1

* 1

1 1

1 1

0 1

0 1

y y y,t,t u ,t dΩ ,

s U

dt ds s J s,t u ,t ,s,t s c Q

dt ds s J s,t q ,t ,s,t s c U

,t s u .

F l t

t

j n

j s

s

j F lj

t

t

j n

j s

s

j F lj F

l

F j

j F

j

j

∫∫

∫∑ ∫

∫∑ ∫

+

=

=

=

(6)

Funkcje podcałkowe w (6) oraz tożsamość całkowa dla rozwiązań w obszarze zostały przedstawione w jawnej postaci w [9].

3. ROZWIĄZYWANIE ZAGADNIEŃ NIEUSTALONYCH

Do najbardziej popularnych metod komputerowych umożliwiających symulację zagadnień nieustalonych należą metoda elementów skończonych (MES) oraz metoda elementów brzegowych (MEB). Ilość oprogramowania dostępnego na rynku w przypadku MES jest jednak znacznie większa niż w przypadku MEB. Jest to prawdopodobnie spowodowane tym, że MEB traci tu swoją podstawową zaletę, jaką jest brak dyskretyzacji obszaru w przypadku rozwiązywania tego typu zagadnień. Ze względu na większą dostępność oprogramowania wykorzystującego MES postanowiono

(3)

60 wykorzystać takie właśnie oprogramowanie do porównania rozwiązań uzyskanych za pomocą PURC.

Z dostępnego na rynku oprogramowania wybrano oprogramowanie firmy Autodesc. Do modelowania rozpatrywanych obszarów zastosowano program Autodesc Inventor Fusion, a do rozwiązania zagadnień program Autodesc Simulation CFD 2013. Wyniki otrzymane za pomocą tego programu porównano z wynikami uzyskanymi za pomocą autorskiego programu wykorzystującego PURC. Uzyskane wyniki na bazie obu metod porównywano z dostępnymi wynikami analitycznymi, a następnie dla zagadnień niemających rozwiązań analitycznych porównywano rozwiązania uzyskane za pomocą metody PURC z rozwiązaniami uzyskanymi za pomocą MES.

4. ANALIZA ROZWIĄZAŃ

W pracy dokonano analizy rozwiązań dla przykładów, znanych z literatury oraz przykładów bardziej złożonych. Przykłady podzielono na dwie kategorie: 1. te, w których znane jest rozwiązanie analityczne oraz 2. te, w których nieznane jest rozwiązanie analityczne. Aby podkreślić zaletę metody PURC, jaką jest między innymi bardzo łatwe modelowanie obszaru oraz brzegu, wybrano obiekty różniące się nieznacznie kształtem. Do modelowania obszaru całkowania w PURC oraz tożsamości całkowej wykorzystano bikubiczne płaty powierzchni Béziera (3 stopnia). W przypadku obszarów przedstawionych w rozpatrywanych przykładach do ich modelowania wykorzystano jeden płat Béziera. Jak pokazano na rysunkach znajdujących się przy każdym przykładzie, aby modelować obszary dla poszczególnych przykładów wystarczyło tylko przeciągnąć odpowiednie punkty kontrolne. Ważną zaletą metody jest też to, że w wyniku tej operacji PURC automatycznie dostosowuje się do zmodyfikowanego kształtu obszaru.

Każdy z rozpatrywanych przykładów został rozwiązany za pomocą metody PURC oraz MES.

W przypadku PURC testowano wpływ liczby współczynników w kwadraturze numerycznego całkowania zastosowanej do całkowania na brzegu oraz wpływ liczby współczynników w kubaturze numerycznego całkowania zastosowanej do globalnego całkowania po całym obszarze (bez dzielenia na komórki) na dokładność wyników. W przypadku MES zwiększano liczbę elementów, na jakie został podzielony obszar, aby zbadać, jak ich liczba wpływa na dokładność wyników.

4.1. PORÓWNANIE ROZWIĄZAŃ NUMERYCZNYCH

Z ANALITYCZNYMI

W pierwszej kolejności, aby zbadać dokładność obu metod, rozwiązano dwa proste przykłady, a wyniki porównano z rozwiązaniami analitycznymi.

Przykład 1. Rozpatrywano pole temperatury w prostokątnym obszarze o wymiarach

x1

L oraz

x2

L . Rozwiązanie analityczne dla tak zdefiniowanego zagadnienia przedstawiono między innymi w pracy [6].

Warunki brzegowe są pokazane na rys. 1 i są przedstawiane w następującej postaci:

(

L1,x2,t

) (

=ux1,L2,t

)

=1.0,

u x x

(

0, 2,

) (

1,0,

)

=0.

=∂

n t x u n

t x u

Warunek początkowy przedstawiony jest w następującej postaci:

(

x1,x2,0

)

=0. u

Przyjęto wartości parametrów [ ], 1.0[ ].

0 .

1 WmK c Jm3K

k= =

Rys. 1. Rozważany obszar z warunkami brzegowymi

Rys. 2. Modelowanie obszaru bikubicznym płatem Beziera Przykład został rozwiązany wielokrotnie za pomocą metody PURC oraz MES z zastosowaniem różnej liczby danych wejściowych mających wpływ na dokładność rozwiązań. W MES rozpatrywano różną liczbą elementów skończonych. W PURC zastosowano całkowanie po brzegu z różną liczbą współczynników wagowych w kwadraturze oraz globalne całkowanie po

(4)

całym obszarze z różną liczbą współczynników wagowych w kubaturze. W przypadku MES w trakcie pierwszego rozwiązywania (MES-1) obszar podzielono na 216 elementów (129 węzłów), w drugim rozwiązaniu (MES-2) na 624 elementów (322 węzły), natomiast w trzecim rozwiązaniu (MES-3) na 1314 elementów (704 węzłów).

W przypadku PURC w pierwszym rozwiązaniu (PURC-1) zastosowano 25 współczynników wagowych do całkowania na każdym z brzegów oraz 20x20 współczynników wagowych do globalnego całkowania po całym obszarze. W drugim rozwiązaniu (PURC-2) zastosowano odpowiednio 25 oraz 40x40 współczynników. W trzecim (PURC-3) zastosowano 25 oraz 80x80 współczynników do strategii globalnego całkowania po całym obszarze.

Tab. 1. Średni błąd względny MES w [%] dla temperatury mierzonej w 10 punktach leżących na brzegu obszaru w poszczególnych krokach czasowych

t

[s] MES-1 MES-2 MES-3 0,1 17,37338 18,15433 18,18919 0,2 11,16976 11,44968 11,39721 0,3 9,55657 9,83945 9,81939 0,4 7,36640 7,61357 7,60603 0,5 5,51526 5,71883 5,65665 0,6 4,06672 4,22867 4,12878 0,7 2,96416 3,09001 2,99108 0,8 2,13891 2,23507 2,20639 0,9 1,52958 1,60207 1,55339 1,0 1,45798 1,13913 0,94027 1,1 1,09245 0,80626 0,38857 1,2 0,98432 0,56583 0,28660 1,3 0,67532 0,39495 0,20811 1,4 0,46229 0,27435 0,14925 1,5 0,31583 0,18979 0,10612

Tab. 2. Średni błąd względny PURC w [%] dla temperatury mierzonej w 10 punktach leżących na brzegu obszaru w poszczególnych krokach czasowych

t

[s] PURC-1 PURC-2 PURC-3

0,1 11,21428 11,21428 11,21428 0,2 1,73855 1,72650 1,73273 0,3 1,70843 1,90699 1,93552 0,4 1,71332 2,03274 2,07865 0,5 1,34634 1,72881 1,78343 0,6 0,88888 1,31105 1,37100 0,7 0,48239 0,92640 0,98990 0,8 0,17254 0,61899 0,68482 0,9 0,08551 0,38985 0,45717 1,0 0,25545 0,22613 0,29441 1,1 0,37299 0,11250 0,18137 1,2 0,45262 0,03593 0,10453 1,3 0,50573 0,01634 0,05314 1,4 0,54070 0,05040 0,01962 1,5 0,56349 0,07264 0,00294

Rys. 3. Średni błąd względny dla temperatury otrzymanej przy pomocy MES-3 oraz PURC-3, w poszczególnych krokach

czasowych

Z zestawienia w tab. 1 wynika, że dla większej liczby elementów skończonych (MES-2 oraz MES-3) błędy w początkowych krokach czasowych są nieznacznie większe niż w przypadku mniejszej liczby elementów (MES-1). Niemniej jednak po 9. kroku czasowym dla t=1, co jest najistotniejsze, najmniejsze błędy uzyskano dla największej liczby elementów skończonych.

W przypadku PURC-1 (tab. 2) w początkowych krokach czasowych średni błąd względny temperatury jest mniejszy niż w przypadku PURC-2 oraz PURC-3, jednak po 10. kroku czasowym zaczyna rosnąć. W PURC-2, błąd również zaczyna rosnąć w ostatnich dwóch krokach czasowych. Jednak w obu przypadkach wzrost ten ma tendencję malejącą z każdym kolejnym krokiem czasowym, co oznacza, że wyniki stabilizują się.

W ostatnim kroku czasowym najlepsze rozwiązanie uzyskano dla PURC-3. Jak widać na rys. 3, średni błąd względny temperatury dla najlepszego rozwiązania PURC (PURC-3) szybciej zbiega do zera niż w przypadku najlepszego rozwiązania MES (MES-3).

(5)

62 W PURC-3 osiąga on małą wartość (2%) już w drugim kroku czasowym, natomiast w MES-3 wynik ten zostaje uzyskany dopiero po 8. kroku czasowym.

Przykład 2. W kolejnym przykładzie rozpatrywano ogrzewanie nieskończonego walca o promieniu podstawy r=r0. Warunki brzegowe są pokazane na rys. 4 i są przedstawiane w następującej postaci: u( )r0,t =1.0

,

natomiast warunek początkowy przedstawiony jest w następujący sposób: u( )r,0 =0

Przyjęto wartości parametrów k=1.0[W mK] oraz [JmK]

c=1.0 3 . Przykład ten jest również znany z literatury, rozwiązanie analityczne problemu jest przedstawiane w [7].

Rys. 4. Rozważany obszar z warunkami brzegowymi

Rys. 5. Modelowanie obszaru bikubicznym płatem Beziera Podobnie jak poprzedni przykład, ten również został rozwiązany kilkakrotnie. W przypadku MES-1 obszar podzielono na 205 elementów (178 węzłów), natomiast w przypadku MES-2 na 1095 elementy (586 węzłów).

Z kolei w przypadku PURC-1 zastosowano 15 współczynników wagowych do całkowania na każdym z brzegów oraz 20x20 współczynników wagowych do globalnego całkowania po całym obszarze. W PURC-2 zastosowano odpowiednio 25 oraz 20x20 współczynników. W PURC-3 zastosowano 25 oraz 40x40, natomiast w PURC-4 zastosowano 25 współczynników do całkowania na brzegu oraz 80x80 współczynników wagowych w kubaturze.

Tab. 3. Średni błąd względny MES w [%] dla temperatury mierzonej w 10 punktach leżących wewnątrz obszaru w poszczególnych krokach czasowych

t

[s] MES-1 MES-2

0,1 41,6598 17,5450

0,2 5,9195 1,7579

0,3 2,9860 1,8428

0,4 2,2198 1,3907

0,5 1,3414 0,9735

0,6 1,1765 0,6598

0,7 0,9230 0,4383

0,8 0,6824 0,2867

0,9 0,4860 0,1849

1,0 0,3373 0,1179

1,1 0,2296 0,0744

1,2 0,1541 0,0465

1,3 0,1958 0,0289

1,4 0,0673 0,0179

1,5 0,0439 0,0110

Tab. 4. Średni błąd względny PURC w [%] dla temperatury mierzonej w 10 punktach leżących wewnątrz obszaru w poszczególnych krokach czasowych

t

[s] PURC-1 PURC-2 PURC-3 PURC-4 0,1 12,7652 12,8227 12,7459 12,7459 0,2 4,6502 4,6823 4,4546 4,4877 0,3 2,3043 2,3170 2,0530 2,0863 0,4 1,3350 1,3371 1,0613 1,0924 0,5 0,8571 0,8528 0,5729 0,6023 0,6 0,6004 0,5918 0,3108 0,3393 0,7 0,4566 0,4452 0,1640 0,1920 0,8 0,3743 0,3610 0,0801 0,1078 0,9 0,3267 0,3122 0,0346 0,0591 1,0 0,2990 0,2837 0,0165 0,0308 1,1 0,2829 0,2671 0,0146 0,0144 1,2 0,2735 0,2573 0,0226 0,0081 1,3 0,2680 0,2517 0,0282 0,0071 1,4 0,2648 0,2483 0,0314 0,0074 1,5 0,2630 0,2464 0,0333 0,0079

(6)

Rys. 6. Średni błąd względny dla temperatury otrzymanej przy pomocy MES-2 oraz PURC-4, w poszczególnych krokach

czasowych

Globalne całkowanie po obszarze okręgu (rys.5) przeprowadzono również w wyniku zastosowano kubatury z dużą liczbą współczynników dla obszarów kwadratowych, czyli jak w przykładzie pierwszym dla kwadratu. Za pomocą odpowiedniego przesuwania punktów kontrolnych P2,P3,P5,P8,P9,P12,P14,P15 z przykładu pierwszego (rys.2) otrzymano okrąg (rys.5) dla przykładu drugiego. Ważną zaletą PURC jest to, że modelowanie obszarów i globalne całkowanie po tych zmodyfikowanych obszarach odbywa się na bazie standardowych kubatur dla obszarów kwadratowych bezpośrednio w PURC bez dodatkowej jakiejkolwiek ingerencji. Jedyną ingerencją jest tylko zmiana położenia punktów kontrolnych w programie obliczeniowym dla PURC. Jak widać w tym przypadku również otrzymujemy mniejszy błąd względny w kolejnych krokach czasowych, wraz ze wzrostem liczby elementów skończonych w MES oraz liczby współczynników wagowych całkowania na brzegu oraz w obszarze w PURC.

4.2. ROZWIĄZANIA UZYSKANE ZA POMOCĄ MES ORAZ PURC DLA PRZYKŁADÓW NIEMAJĄCYCH ROZWIĄZAŃ ANALITYCZNYCH

W tym podpunkcie porównano uzyskane wyniki za pomocą PURC z wynikami uzyskanymi za pomocą MES.

Dokonano bezpośredniego porównania temperatury mierzonej w dwóch punktach (A i B) leżących wewnątrz obszaru (rys.7.). Wyniki uzyskane za pomocą MES są umownie traktowane jako bardziej wiarygodne, ponieważ są oparte na bardziej zweryfikowanej klasycznej metodzie numerycznej.

Przykład 1. W przykładzie tym rozpatrywano problem przepływu ciepła w obszarze o kształcie przedstawionym na rys. 7. Kształt obszaru jest kształtem pośrednim pomiędzy kształtem z przykładu 1. oraz przykładu 2.

Z poprzedniego podpunktu. W PURC zamodelowano go za pomocą przesuwania punktów kontrolnych P14, P15, jak pokazano na rys.8. Problem nie posiada rozwiązania

analitycznego, w związku z czym wyniki uzyskane za pomocą PURC porównano tylko z wynikami uzyskanymi za pomocą MES. Temperatura została porównana w punktach A (0.5, 0.65) oraz B (0.5, 0.15).

Rozpatrywano warunek początkowy:

u ( x

1

, x

2

, 0 ) = 0

oraz następujące warunki brzegowe:

(

1, 2,

)

=10

n

t x x

u dla x1,x2∈Γ;x2>h, u

(

x1,0,t

)

=0,

(

0, 2,

) (

1, 2,

)

=0.

=∂

n t x u n

t x u

Przyjęto k=1.0

[

W mK

]

,c=1.0

[

J m3K

]

.

Rys. 7. Rozważany obszar z warunkami brzegowymi

Rys. 8. Modelowanie obszaru bikubicznym płatem Beziera Przykład ten został rozwiązany jednokrotnie za pomocą każdej z metod. W PURC zastosowano 25 współczynników do całkowania na brzegu oraz 80x80 w obszarze. W MES obszar podzielono na 1711 elementów (919 węzłów). Rys. 9 przedstawia rozkład temperatury w poszczególnych krokach czasowych w punkcie A (0.5, 0.65), natomiast rys. 10 przedstawia rozkład temperatury w czasie w punkcie B (0.5, 0.15).

Rys. 9. Rozkład temperatury w czasie w punkcie A (0.5, 0.65)

(7)

64

Rys. 10. Rozkład temperatury w czasie w punkcie B (0.5, 0.15) Jak widać na rys. 9 i 10, temperatura w punktach A i B różni się w obu metodach, do ósmego kroku czasowego.

Po tym kroku wyniki otrzymane za pomocą PURC i MES praktycznie pokrywają się. Oznacza to, że po pewnym czasie obie metody dają zbliżone wyniki.

Przykład 2. Kolejny przykład przedstawia proces przepływu ciepła w obszarze o kształcie pokazanym na rys.11, obszar ma przypominać kształtem ludzką nerkę.

Przykład ten nie posiada rozwiązania analitycznego.

Temperatura początkowa wewnątrz obszaru wynosi 7

3

u= oC. Jest to symulacja transportu nerki do transplantacji, w związku z czym nerka zostaje włożona do pojemnika, w którym panuje stała temperatura u=0

oC. Przyjęto k=50

[

W mK

]

oraz c=4173636

[

J m3K

]

podobnie jak w ludzkim ciele. Temperatura została porównana w punktach A (0.03, 0.02) oraz B (0.01, 0.06) zaznaczonych na rys.11.

Rys. 11. Rozważany obszar z warunkami brzegowymi

Rys. 12. Modelowanie obszaru bikubicznym płatem Beziera

Przykład ten również został rozwiązany jednokrotnie za pomocą obu metod. W PURC obszar został wykreowany poprzez odpowiednie przesunięcie punktów kontrolnych, jak pokazano na rys.12. Do obliczeń numerycznych zastosowano 25 współczynników wagowych do całkowania na każdym z brzegów oraz 80x80 współczynników wagowych do globalnego całkowania po całym obszarze. W przypadku rozwiązania MES obszar podzielono na 1445 elementów (819 węzłów). Na rys. 13 pokazano rozkład temperatury w czasie w punkcie A (0.03, 0.02), natomiast rys. 14 przedstawia rozkład temperatury w czasie w punkcie B (0.01, 0.06).

Rys. 13. Rozkład temperatury w czasie w punkcie A (0.03, 0.02)

Rys. 14. Rozkład temperatury w czasie w punkcie B (0.01, 0.06) Jak można zauważyć na rysunkach 13 i 14, wyniki otrzymane w punktach A i B są zbliżone do siebie we wszystkich krokach czasowych.

5. WNIOSKI

W pracy przedstawiono zastosowanie metody PURC dla zagadnień niestacjonarnych (2D) modelowanych równaniem różniczkowym Fouriera opisującym nieustalone pole temperatury. Rozwiązano szereg przykładów o różnych kształtach obszaru, warunkach brzegowych i początkowych oraz o różnych właściwościach termofizycznych. Wyniki otrzymane za pomocą metody PURC porównywano z rozwiązaniem analitycznym w przypadku, gdy takie rozwiązania istnieją.

Porównano również wyniki otrzymane za pomocą MES z rozwiązaniami analitycznymi. Porównania tego dokonano, aby mieć punkt odniesienia w przypadkach,

(8)

gdy nie występuje rozwiązanie analitycznie.

W przykładach tych wyniki otrzymane z zastosowaniem PURC porównano z wynikami otrzymanymi za pomocą MES, traktując te drugie jako wartości bardziej dokładne. Zbadano wpływ różnych czynników w obu metodach na ich dokładność. W przypadku PURC rozpatrywano różną liczbę współczynników w kwadraturze całkowania numerycznego na brzegu oraz kubaturze globalnego numerycznego całkowania po obszarze, natomiast w przypadku MES rozpatrywano różną liczbę elementów, na jakie podzielony został obszar. Okazało się, że już przy zastosowaniu 25 współczynników wagowych w kwadraturze na brzegu oraz po 40 współczynników w każdym kierunku całkowania po obszarze uzyskano za pomocą PURC wyniki dokładne w porównaniu do rozwiązań analitycznych.

Jak można było zauważyć na przykładach posiadających rozwiązanie dokładne, metoda PURC często daje wyniki dokładniejsze niż MES.

W przykładach tych średni błąd względny dla PURC szybciej zbiega do zera niż to jest w przypadku MES.

W przykładach nieposiadających rozwiązania analitycznego (rys. 9, 10, 13 i 14) widać, że dla

dostatecznie dużej liczby elementów w MES oraz liczby współczynników wagowych w PURC obie metody dają zbliżone wyniki.

Dodatkowo zaprezentowano strategię modelowania brzegu i obszaru stosowaną w PURC. Jak pokazano na rysunkach (rys. 2, 5, 8 i 12), obszary ze wszystkich przykładów były modelowane za pomocą jednego płata Béziera (3 stopnia) poprzez odpowiednie przeciągnięcie jego punktów kontrolnych. Nawet tak wykreowany obszar, jak pokazano na rys. 12, można łatwo modelować za pomocą jednego płata Béziera. Modelowanie to charakteryzuje się tym, że fizycznie bardzo łatwa zmiana położenia punktów kontrolnych powoduje zmianę obszaru, do którego PURC dostosowuje się w sposób automatyczny. Strategia ta wydaje się znacznie efektywniejsza niż strategia modelowania stosowana w MES, gdzie obszar należy dodatkowo podzielić na elementy.

Na podstawie rozwiązanych przykładów można stwierdzić, że metoda PURC jest skuteczną alternatywą dla MES w rozwiązywaniu zagadnień nieustalonego pola temperatury ze względu na łatwość modelowania obszaru i brzegu oraz dokładność otrzymywanych wyników.

Literatura

1. Majchrzak E.: Metoda elementów brzegowych w przepływie ciepła. Częstochowa: Wyd. Pol. Częstoch., 2001.

2. Brebbia C.A., Telles J.C, Wrobel L.C: Boundary element techniques, theory and applications in engineering.

New York: Springer, 1984.

3. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L.: The finite element method. Vol. 1-3. Oxford: Butterworth, 2000.

4. Zieniuk E.: Bézier curves in the modification of boundary integral equations (BIE) for potential boundary-values problems. “International Journal of Solids and Structures” 2003, 9(40), p. 2301 - 2320.

5. Bołtuć A., Zieniuk E.: Modeling domains using Bézier surfaces in plane boundary problems defined by the Navier-Lame equation with body forces. “Engineering Analysis with Boundary Elements” 2011, 35, p. 1116 – 1122.

6. Sutradhar A., Paulino G.H., Gray L.J.: Transient heat conduction in homogeneous and non-homogeneous materials by the Laplace transform Galerkin boundary element method. “Engineering Analysis with Boundary Elements” 2002, 26, p. 119 - 132.

7. Fraska A.: Wyznaczanie niestacjonarnych pól temperatury – porównanie metod numerycznych w obszarach 2D.

ZN Pol. Poznańskiej 2005, 2, s. 5 - 16.

8. Cao L., Qin QH.,Zhao N.: Application of DRM-Trefftz and DRM-MFS to transient heat conduction analysis.

“Recent Patents on Space Technology” 2010, 2, p. 41 - 50.

9. Zieniuk E., Sawicki D.: Metoda PURC w rozwiązywaniu temperaturowych zagadnień niestacjonarnych.

„Modelowanie Inżynierskie” 2012, nr 44, t. 13, s. 285 - 292.

10. Zieniuk E.: Metoda obliczeniowa PURC w rozwiązywaniu zagadnień brzegowych. Warszawa: Wyd. Nauk. PWN, 2013.

Cytaty

Powiązane dokumenty

w realizacji metody podstawowej doboru kroku całkowa- nia* Zwykle dla wszystkich metod jednokrokowych, jeżeli w kon- strukcji metody $ występuje wartość fn , można

Na tę okoliczność trzeba mieć wariant wzoru (♠), który odpowiada podziałowi przedziału całkowania na inną niż n liczbę przedzialików równej

4 Rozważmy przedział

Do numerycznego rozwiązywania PURC zastosowano metodę kolokacji, testowano wpływ liczby punktów kolokacji na otrzymywane wyniki jak również wpływ liczby

Na sukces PURC w rozwiązywaniu zagadnień z siłami masowymi składa się efektywność dwóch technik: całkowania po obszarze (bez dzielenia na komórki) oraz efektywnego

Analogiczną analizę przeprowadzono przy zastosowaniu do rozwiązywania PURC 16 punktów kolokacji (na każdym z płatów), zaś uzyskane wyniki zaprezentowano na rys. 6a wyniki

Zastosowanie techniki globalnego traktowania obszaru w całce obszarowej stało się możliwe dzięki dwóm czynnikom: możliwości modelowania całego obszaru za pomocą

Celem niniejszej pracy jest zaproponowanie i przetestowanie techniki obliczania całek powierzchniowych (występujących w PURC), polegającej na obliczaniu tych całek w