Lista 2 - Topologia 2021
w. 1 Znajd¹ podprzestrze« X przestrzeni euklidesowej R zawieraj¡c¡ zbiór A = [0, 1) tak¡,
»e A jest w X otwarty, ale nie jest domkni¦ty.
w. 2 Poka», »e podprzeste« X = {1n : n ∈ {1, 2, , . . .}} przestrzeni euklidesowej R jest dyskretna (tzn. ka»dy podzbiór jest otwarty). A Y = {n1 +m1 : n, m ∈ {1, 2, , . . .}}?
w. 3 Niech Y b¦dzie poprzestrzeni¡ przestrzeni X i niech A ⊆ Y . Czy:
a) je±li A jest otwarty w Y , to A otwarty w X?
b) je±li A jest otwarty w X, to A otwarty w Y ?
c) je±li A jest g¦sty w Y i Y jest g¦sty w X, to A jest g¦sty w X?
w. 4 W zbiorze X = R ∪ {g}, gdzie g jest gruszk¡, topologi¦ deniujemy nast¦puj¡co:
• bazowymi otoczeniami liczb rzeczywistych s¡ ich singletony,
• otoczeniami gruszki s¡ zbiory postaci {g} ∪ A, gdzie A ⊆ R i R \ A jest sko«czony.
a) Znajd¹ Int(0, 1), N, Bd(Q ∪ {g}).
b) Poka», »e 0 nie jest granic¡ ci¡gu xn= 1n.
c) Czy ci¡g xn= 1n jest zbie»ny? A ci¡g yn= (−1)n+n1? d) Opisz jak wygl¡daj¡ ci¡gi zbie»ne w tej przestrzeni.
e) Poka», »e X jest przestrzeni¡ Hausdora.
Zad. 5 Poka», »e w przestrzeni Hausdora punkty s¡ domkni¦te, a ci¡gi zbie»ne maj¡ tylko jedn¡ granic¦.
Zad. 6 Czy podprzestrze« przestrzeni Hausdora jest przestrzeni¡ Hausdora?
Zad. 7 Ustalmy X i topologi¦ T na X. Poka», »e B ⊆ T jest baz¡ topologii T wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka»dego x ∈ X i dla ka»dego otoczenia U 3 x istnieje B ∈ B taki, »e x ∈ B ⊆ U.
Zad. 8 Powiemy, »e (X, T ) jest przestrzeni¡ metryzowaln¡, je»eli istnieje metryka na X, której kule generuj¡ topologi¦ T . Udowodnij, »e je±li X jest przestrzeni¡ metryzowaln¡ i w X istnieje przeliczalny zbiór g¦sty A, to X ma baz¦ przeliczaln¡. (Wskazówka. Przyjmij oznaczenia: niech d oznacza metryk¦ generuj¡c¡ topologi¦ na X; niech A = {a1, a2, . . .}.) Zad. 9 Posªuguj¡c si¦ stwierdzeniem udowodnionym w powy»szym zadaniu poka», »e strzaªka nie jest metryzowalna. (Wskazówka: najtrudniej pokaza¢, »e strzaªka nie ma bazy przeliczalnej.
eby to zobaczy¢ rozwa» otoczenia x postaci [x, x + 1) i u»yj charakteryzacji bazy z zad. 7).
Zadanie nadobowi¡zkowe.
Zad. 10 Czy kostka Cantora jest podprzestrzeni¡ metryczn¡ kostki Hilberta? Czy jest jej podprzestrzeni¡ topologiczn¡ (i co to w ogóle znaczy)?