ANALIZA CYKLU ROBOCZEGO MANIPULATORA O CZTERECH STOPNIACH SWOBODY

(1)

ANALIZA CYKLU ROBOCZEGO MANIPULATORA

O CZTERECH STOPNIACH SWOBODY

Dawid Cekus

^1a

, Dorian Skrobek

^1b

1Instytut Mechaniki i Podstaw Konstrukcji Maszyn, Politechnika Częstochowska

acekus@imipkm.pcz.pl, ^bskrobek@imipkm.pcz.pl

Streszczenie

Niniejsza praca przybliża zagadnienia związane z modelowaniem manipulatora o czterech stopniach swobody i wyznaczaniem obciążeń jego napędów podczas cyklu roboczego. Zaproponowany algorytm obliczeń pozwala zwe- ryfikować poprawność dobranych napędów poszczególnych członów analizowanego obiektu. Praca została uzupeł- niona wynikami z przeprowadzonych przykładowych badań symulacyjnych dla zadanych wymuszeń kinematycz- nych.

Słowa kluczowe: cykl roboczy, manipulator, modelowanie, Matlab/Simulink

THE ANALYSIS OF DUTY CYCLE OF 4-DoF MANIPULATOR

Summary

This paper introduces problems of the modelling of four degrees of freedom manipulator and the determination of loads of its drives during the working cycle. The proposed computational algorithm makes it possible to verify the correctness of selected drives of individual members of the analyzed object. The results of simulation studies car- ried out for given sample kinematic excitations have been presented.

Keywords: working cycle, manipulator, modelling, Matlab/Simulink

1. WSTĘP

Manipulator jest układem ramion połączonych ze sobą przegubami i zakończony najczęściej chwytakiem. Etapy projektowania tego typu urządzeń są szeroko omawiane w literaturze [1, 2, 3].

W niniejszej pracy sformułowano równania dynamiki, które umożliwiają wyznaczenie obciążeń silników w trakcie cyklu roboczego manipulatora. Obliczenia te mają na celu określenie, czy zastosowane/wybrane napędy będą spełniać założenia dotyczące ciężaru prze- noszonego ładunku przyjęte we wstępnym etapie projektowania.

Analizowany manipulator jest manipulatorem klasy 4R.

Manipulator ten składa się z pionowej, obrotowej ko- lumny o wysokości l1, dwóch ramion o długościach odpowiednio l2 i l3 oraz efektora o długości l4. Strukturę manipulatora wraz z układami współrzędnych pokazano na rys. 1.

Rys. 1. Przyjęty schemat manipulatora (po lewej), model manipulatora wykonany w programie SolidWorks (po prawej) Do wykonania manipulatora zaproponowano stop alu- minium PA6 ze względu na swoje właściwości takie jak:

nieduży ciężar przy dostatecznej wytrzymałości oraz odporności na odkształcenia plastyczne (gęstość ρ=2.79 g/cm³, moduł sprężystości podłużnej E=72500 MPa, moduł sprężystości poprzecznej G=27200 MPa). Jako napędy wykorzystano serwomechanizm modelarski oraz dwa typy silników

(2)

ANALIZA CYKLU ROBOCZEGO MANIPULATORA O CZTERECH STOPNIACH SWOBODY

z reduktorem (motoreduktor). Napędy te zostały zamo- cowane w przegubach O, S, P, R. W przegubach O i P znajdują się silniki posiadające maksymalny moment obrotowy równy 6 Nm, w punkcie S silnik o maksymal- nym momencie 20 Nm, a w punkcie R serwomechanizm modelarski o maksymalnym momencie 6 Nm. Maksy- malny zasięg manipulatora to 0.8 m, a maksymalny udźwig to 1.2 kg.

W pracy wprowadzono następujące oznaczenia momen- tów poszczególnych napędów:

• M1 – moment na motoreduktorze o maksymalnym momencie 6 Nm zamocowany w stopniu swobody znajdującym się w punkcie O,

• M2 – moment na motoreduktorze o maksymalnym momencie 20 Nm zamocowany w stopniu swobody znajdującym się w punkcie S,

• M3 – moment na motoreduktorze o maksymalnym momencie 6 Nm zamocowany w stopniu swobody znajdującym się w punkcie P,

• M4 – moment na serwomechanizmie modelar- skim o maksymalnym momencie 6 Nm zamocowany w stopniu swobody znajdującym się w punkcie R.

2. DYNAMIKA MANIPULATORA KLASY 4R

Do wyznaczania wartości momentów potrzebnych do utrzymania elementów manipulatora w zadanym poło- żeniu zastosowano kinematykę odwrotną. Kinematyka odwrotna pozwala wyznaczyć wszystkie dopuszczalne położenia kątowe, które umożliwiają manipulatorowi osiągnięcie zadanej pozycji, a także określić wszystkie możliwe zbiory współrzędnych konfiguracyjnych, które zmieniają się w czasie wraz z ruchem manipulatora.

W bardziej skomplikowanych przypadkach konieczne jest zastosowanie algorytmu jakobianowego [4, 5].

W przykładowych obliczeniach przyjęto, że chwytak manipulatora przeniesie ciężar o masie 0.5 kg z punktu A (300,-300,150) do punktu B (60,560,420). Wykorzy- stując kinematykę odwrotną, wyznaczono położenia kątowe ramion manipulatora w punkcie A i B. Pozostałe dane, takie jak: długości członów, ich masy i momenty bezwładności, zostały odczytane z modelu geometrycznego manipulatora wykonanego w programie SolidWorks (rys. 1b).

Pierwszym krokiem przy wyznaczeniu równań dynamiki manipulatora jest przyjęcie współrzędnych uogólnionych qi(t): α(t), β(t), γ(t), ψ(t), które w pełni określają poło- żenie wszystkich elementów modelu i odpowiadają:

• α(t) – położeniu kątowemu silnika M1,

• β(t) – położeniu kątowemu silnika M2,

• γ(t) – położeniu kątowemu silnika M3,

• ψ(t) – położeniu kątowemu serwomechanizmu M4.

Do wyznaczenia równań momentów poszczególnych napędów wykorzystano równanie Lagrange’a II rodzaju.

W manipulatorach, które posiadają obrotowe stopnie swobody, uwzględnia się dwa rodzaje energii kinetycznej:

w ruchu obrotowym i w ruchu postępowym.

Energia kinetyczna w ruchu postępowym [5] określona jest zależnością:

( ) ( ) ( )

=

 

=  +

 

∑

⁴ ² 5² 1

1 1

2 2

tra i i load

i

T t m v t m v t , (1)

gdzie: mi - masy członów manipulatora, mload - przeno- szona masa, vi - prędkości członów manipulatora, v5 - prędkość końcówki roboczej.

Energia kinetyczna w ruchu obrotowym [5] wyrażona jest wzorem:

( )

^ω

( ) ( )

^ω

= = =

=

∑∑∑

⁴ ³ ³

1 1 1

1

rot 2 ijk ij ik

i j k

T t J t t , (2)

gdzie: Ji – tensory momentów bezwładności poszczegól- nych członów manipulatora; ω – prędkości kątowe członów manipulatora.

Całkowita energia kinetyczna [5]:

( )

⁼ tra

( )

⁺ rot

( )

T t T t T t . (3)

Energia potencjalna [5]:

( ) ( ( ) ) ^{( )}

=

∑

⁴ +

1 ⁱ ^m

i c load O

i

V t m gz t m gz t , (4)

gdzie: g - przyspieszenie ziemskie, zci - położenie środka ciężkości członów manipulatora wzdłuż osi z, zOm - położenie środka ciężkości podnoszonego elementu wzdłuż osi z.

Momenty na poszczególnych napędach potrzebnych do utrzymania zadanego położenia [5, 6]:

( ) ( ) ( )

 ∂  ∂

 

= −

∂  ∂

 & 

i

i i

d L L

M t dt q t q t ^, ⁽⁵⁾

gdzie: qi - współrzędne uogólnione, odpowiednio: α(t), β(t), γ(t), ψ(t).

W równaniach (5) jedynymi niewiadomymi pozostają:

przyspieszenie kątowe, prędkość kątowa, położenie kątowe [7, 8].

Do obliczenia przyspieszenia kątowego, prędkości kąto- wej i położenia kątowego wykorzystano funkcje: Sign, H (HeavisideTheta) [9].

(3)

Na podstawie dwóch wybranych punktów z przestrzeni roboczej manipulatora i przy wykorzystaniu kinematyki odwrotnej otrzymuje się położenie kątowe członów w tych punktach. Najkrótsza droga pomiędzy tymi punktami to:

φ φ

= − dla =1,2,3,4

i i

i b a

df i , (6)

gdzie: φ_ai - położenie kątowe członów manipulatora w punkcie A; φ_bi - położenie kątowe członów manipulatora w punkcie B.

Maksymalne przyspieszenia:

φ

φ = =

+

max

max ⁱ dla 1,2,3,4

i a z

v

a i

t t ^, ⁽⁷⁾

gdzie: ta - czas rozpędzania, tz - czas hamowania.

Maksymalna prędkość kątowa silnika w trakcie cyklu roboczego:

φ

 

=   =

max max dla 1,2,3, 4

i i i

v Sign df v i , (8)

gdzie: v_maxi - maksymalne prędkości kątowe silników.

Przyspieszenie kątowe dla pierwszego napędu

( )

φ

φ φ

φ φ φ φ φ φ

α = ^ − ^+

 

+  − − +

 

+  − − − +

 

+  − − − +

 

+  − − − − +

 

+  − − − − +

 

+  − − − − +

+ −

'' 1

2

3

4

5

6

7

8

2 2 3

3 2

i i

i i i

i acc

acc a

acc a z

acc a z d

acc

t k H t t k H t t t k H t t t t

k H t t t t

k H t t t t t k H t t t t t

k H t t t t t

k H t t

φ φ

 − − − 

 

 4 2 

i ta tz tdi

(9)

gdzie:

( )

φ φ

 

 

= −

 

 

max 1

i

i i

acc a

a

k t t

t ^, ⁽¹⁰⁾

( )

φ φ

 

 

= − − −

 

 

max 2

i

i i

acc a

a

k t t t

t ^, ⁽¹¹⁾

( )

φ φ

 

 

= − − − −

 

 

max 3

i

i i

acc a z

a

k t t t t

t ^, ⁽¹²⁾

( )

φ φ

 

 

= − − −

 

 

max

4 ⁱ 2

i i

acc a z

a

k t t t t

t ^, ⁽¹³⁾

( )

φ φ φ

 

 

= − − − − −

 

 

max

5 ⁱ 2

i i i

acc a z d

a

k t t t t t

t ^, ⁽¹⁴⁾

( )

φ φ φ

 

 

= − − − −

 

 

max

6 ⁱ 3

i i i

acc a z d

a

k t t t t t

t ^, ⁽¹⁵⁾

( )

φ φ φ

 

 

= − − − −

 

 

max

7 ⁱ 3 2

i i i

acc a z d

a

k t t t t t

t ^, ⁽¹⁶⁾

( )

φ φ φ

 

 

= − − − − −

 

 

max

8 ⁱ 4 2

i i i

acc a z d

a

k t t t t t

t ^, ⁽¹⁷⁾

φ φ

φ φ φ

φ

 = =



= = − − ≠



max

max max

0 0

0

i i

i i i

i

d

i

d d z a

t v

t t df t t v

v (18)

Prędkość kątowa dla pierwszego napędu:

( )

φ

φ φ φ φ φ φ φ φ

α = ^ − ^+

 

+  − − +

 

+  − − − +

 

+  − − − +

 

+  − − − − +

 

+  − − − − +

 

+  − − − − +

+ −

' 1

2

3

4

5

6

7

8

2 2 3

3 2

i i

i i i

i

vel

vel a

vel a z

vel a z d

vel

t k H t t k H t t t k H t t t t

k H t t t t

k H t t t t t k H t t t t t

k H t t t t t

k H t t

φ

 − − − 

 

 4 2 

i ta tz tdi

(19)

gdzie:

( )

φ − φ

=

2 max

1 2

i i veli

a

a t t

k t , (20)

( )

φ − + φ +

= −

2 max

2 2

i i i

a vel

a

a t t t

k t , (21)

( )

φ − + φ + +

= −

2 max

3 2

i i i

a z

vel

a

a t t t t

k t , (22)

( )

φ − + φ + +

=

2 max

4

2 2

i i i

a z

vel

a

a t t t t

k t , (23)

( )

φ − + φ + + φ +

= −

2

max 5

2 2

i i i

i

a d z

vel

a

a t t t t t

k t , (24)

( )

φ − + φ + + φ +

=

2

max 6

3 2

i i i

i

a d z

vel

a

a t t t t t

k t , (25)

( )

φ − + φ + + φ +

=

2

max 7

3 2

2

i i i

i

a d z

vel

a

a t t t t t

k t , (26)

( )

φ − + φ + + φ +

= −

2

max 8

4 2

2

i i i

i

a d z

vel

a

a t t t t t

k t . (27)

(4)

ANALIZA CYKLU ROBOCZEGO MANIPULATORA O CZTERECH STOPNIACH SWOBODY

Położenie kątowe dla pierwszego napędu:

( )

φ

φ φ φ φ φ φ φ

α =φ + ^ − ^+

 

+  − − +

 

+  − − − +

 

+  − − − +

 

+  − − − − +

 

+  − − − − +

 

+  − − − − +

+

1

2

3

4

5

6

7

8

2 2 3

3 2

i i i

i i

i i i

i

a pos

pos a

pos a z

pos a z d

pos

t k H t t

k H t t t k H t t t t

k H t t t t

k H t t t t t

k H t

φ φ

 − − − − 

 

 4 2 

i a z di

t t t t

(28)

gdzie:

( )

φ − φ

=

3 max

1 6

i i posi

a

a t t

k t , (29)

( )

φ − φ −

= −

3 max

2 6

i i i

a pos

a

a t t t

k t , (30)

( )

φ − + φ + +

= −

3 max

3 6

i i i

a z

pos

a

a t t t t

k t , (31)

( )

φ − + φ + +

= −

3 max

4

2 6

i i i

a z

pos

a

a t t t t

k t , (32)

( )

φ − + φ + + + φ

=

3

max 5

2 6

i i i

i

a z d

pos

a

a t t t t t

k t , (33)

( )

φ − + φ + + + φ

= −

3

max 6

3 6

i i i

i

a z d

pos

a

a t t t t t

k t , (34)

( )

φ − + φ + + + φ

= −

3

max 7

3 2

6

i i i

i

a z d

pos

a

a t t t t t

k t , (35)

( )

φ − + φ + + + φ

=

3

max 8

4 2

6

i i i

i

a z d

pos

a

a t t t t t

k t . (36)

3. ANALIZA OTRZYMANYCH WYNIKÓW

Wykorzystując wybrane punkty z przestrzeni manipulatora o współrzędnych A (300; -300; 150), B (60; 560;

420) i kinematykę odwrotną, określono położenie kątowe poszczególnych członów manipulatora w tych punktach [10, 11]. Wybrane punkty przedstawiają początek i koniec cyklu roboczego mającego na celu przeniesienie detalu z punktu A do punktu B.

Wykresy przyspieszenia kątowego, prędkości kątowej i położenia kątowego dla modelu przedstawionego na rys. 1 zostały przedstawione na rysunkach 2-5.

Dane przedstawione na rysunkach 2-5 oraz dane z modelu geometrycznego (masa, długość ramion, momenty bezwładności) zostały wprowadzone do równania (7) i na tej podstawie otrzymano wartość momentów, jakimi są obciążone napędy w danej chwili. Obciążenie napędów manipulatora przedstawiono na rys. 6.

Rys. 2. Wykres położenia kątowego, prędkości kątowej i przyspieszenia kątowego dla zmiennej α

Rys. 3. Wykres położenia kątowego, prędkości kątowej i przyspieszenia kątowego dla zmiennej β

Rys. 4. Wykres położenia kątowego, prędkości kątowej i przyspieszenia kątowego dla zmiennej γ

Rys. 5. Wykres położenia kątowego, prędkości kątowej i przyspieszenia kątowego dla zmiennej ψ

a[rad] a'[rad/s]a''[rad/s2]

0 5 10 15 20 25 30 35

t[s]

-0.4 0 0.4 0.8 1.2 1.6

0 5 10 15 20 25 30 35

t[s]

-0.5 0 0.5 1 1.5 2

0 5 10 15 20 25 30 35

t[s]

-1.2 -0.8 -0.4 0 0.4

(5)

Rys. 6. Wykres momentów poszczególnych napędów analizow nego modelu manipulatora

Na podstawie uzyskanych wyników można stwierdzić, że proponowane napędy zostały dobrane poprawnie.

W celu zmniejszenia kosztów konstrukcji manipulatora można zastosować napędy o mniejszym momencie obr towym, ale nie mniejsze niż pokazane na rys

4. PODSUMOWANIE

Wykorzystując pokazane w niniejszej pracy (1 - 36), opracowano algorytm umożliwiający wyznacz nie obciążeń napędów manipulatora o czterec

Literatura

1. Uhl T., Bojko T., Mrozek Z., Petko M., Szwabowski W., Korendo Z., Bogacz M.: Wybrane problemy projekt wania mechatronicznego. Kraków: Wyd.

2. Buratowski T.: Teoria robotyki. Kraków:

3. Kozłowski K., Dutkiewicz P., Wróblewski W.: Modelowanie i sterow PWN, 2012.

4. Skrobek D.: Projekt manipulatora o czterech stopniach swobody.

ch., 2013.

5. Siciliano B., Sciavicco L. Villani L., 2009. ISBN 978-1-84628-641-4.

6. Chaturvedi D.K.: Modeling and simulation of 143980672.

7. Gran R.J.: Numerical computing with Simulink Mathematics, Philadelphia, 2007. ISBN 9780898716375.

8. Lombard M.: SolidWorks 2010 bible.

9. Mrozek B., Mrozek Z.: MATLAB i Simulink

10. Skalik A., Skrobek D., Waryś P., Cekus D.: Kinematic analysis of four degrees of freed State Phenomena, Vol. : Mechatronic Systems and Materials VI, 2015,

11. Waryś P., Skrobek D., Cekus D.: Modeling and Research” 2014, Vol. 38, No 1, p. 5

12. Yuwen L., Jinsong W., Xin-Jun L., Li

tion of two 3-DOF parallel manipulators for a new hybrid machine tool 2010, Vol.45, Iss. 11, p. 668-1680.

Ten artykuł dostępny jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów.

Treść licencji jest dostępna na stronie http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/pl/

apędów analizowa-

Na podstawie uzyskanych wyników można stwierdzić, że proponowane napędy zostały dobrane poprawnie.

celu zmniejszenia kosztów konstrukcji manipulatora można zastosować napędy o mniejszym momencie obrotowym, ale nie mniejsze niż pokazane na rys. 6.

Wykorzystując pokazane w niniejszej pracy równania opracowano algorytm umożliwiający wyznacza-

czterech stopniach

swobody (o przegubach obrotowych) cyklu roboczego.

Badania przeprowadzono, wykorzystując program S lidWorks. Zbudowano model manipulatora i odczytano na jego podstawie niezbędne parametry oraz program Matlab, gdzie zrealizowano obliczenia numeryczne.

Na podstawie przeprowadzonych badań można zweryf kować poprawność dobranych napędów poszczególnych członów analizowanego obiektu. Jeśli wartość obliczon go momentu przekracza maksymalny moment przen szony przez silnik lub niebezpiecznie zbliża się do jego maksymalnej wartości, można zastosować

gi [12] lub zredukować masę manipulatora

zmianę materiału lub wycięcia odpowiedniego kształtu w jego ramionach. Jednak, aby otrzymać model w pełni funkcjonalny, powyższe obliczenia numeryczne, należy poprzeć wynikami analizy statycznej i częstotliwościowej wykonanej w jednym z programów CAE. Ponadto weryfikację modelu można wykonać na podstawie badań eksperymentalnych na obiekcie rzeczywistym.

Uhl T., Bojko T., Mrozek Z., Petko M., Szwabowski W., Korendo Z., Bogacz M.: Wybrane problemy projekt Kraków: Wyd. Katedry Robotyki i Dynamiki Maszyn, AGH, 1999

Kraków: Wyd. AGH, 2012.

Kozłowski K., Dutkiewicz P., Wróblewski W.: Modelowanie i sterowanie robotów. Warszawa:

Skrobek D.: Projekt manipulatora o czterech stopniach swobody. Praca inżynierska. Częstoch

Siciliano B., Sciavicco L. Villani L., Oriolo G.: Robotic – modelling, planning and control.

imulation of systems using Matlab and Simulink.CRC Press, 2010.

omputing with Simulink. Vol. I : Creating simulation. Society for Industrial and Applied ISBN 9780898716375.

ible. Indiana: Wiley Publ. Inc. Indianapolis, 2010. ISBN 978 Mrozek B., Mrozek Z.: MATLAB i Simulink: poradnik użytkownika. Gliwice: Helion, 2004.

Skalik A., Skrobek D., Waryś P., Cekus D.: Kinematic analysis of four degrees of freed : Mechatronic Systems and Materials VI, 2015, p. 277-282. ISBN 978 Waryś P., Skrobek D., Cekus D.: Modeling and simulation research of 4DOF manipulator.

5-11.

Jun L., Li-Ping W.: Dynamic performance comparison and counterweight optimiz DOF parallel manipulators for a new hybrid machine tool. “Mechanism and Machine Theory

Ten artykuł dostępny jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów.

(o przegubach obrotowych) w trakcie trwania

wykorzystując program So- budowano model manipulatora i odczytano na jego podstawie niezbędne parametry oraz program

zrealizowano obliczenia numeryczne.

Na podstawie przeprowadzonych badań można zweryfi- kować poprawność dobranych napędów poszczególnych członów analizowanego obiektu. Jeśli wartość obliczone- go momentu przekracza maksymalny moment przeno- b niebezpiecznie zbliża się do jego maksymalnej wartości, można zastosować przeciwwa-

ub zredukować masę manipulatora np. poprzez materiału lub wycięcia odpowiedniego kształtu w jego ramionach. Jednak, aby otrzymać model w pełni powyższe obliczenia numeryczne, należy poprzeć wynikami analizy statycznej i częstotliwościowej wykonanej w jednym z programów CAE. Ponadto weryfikację modelu można wykonać na podstawie badań eksperymentalnych na obiekcie rzeczywistym.

Uhl T., Bojko T., Mrozek Z., Petko M., Szwabowski W., Korendo Z., Bogacz M.: Wybrane problemy projekto- 1999. ISBN 83-913104-1-8.

. Warszawa: Wyd. Nauk.

. Częstochowa: Pol. Często-

ontrol. London: Springer, ,

and Simulink.CRC Press, 2010. ISBN 978-

imulation. Society for Industrial and Applied

ISBN 978-0-470-55481-4.

Helion, 2004. ISBN 83-7361-486-9.

Skalik A., Skrobek D., Waryś P., Cekus D.: Kinematic analysis of four degrees of freedom manipulator. Solid ISBN 978-3-03835-227-3.

esearch of 4DOF manipulator. “Machine Dynamics

Ping W.: Dynamic performance comparison and counterweight optimiza- Mechanism and Machine Theory”

Ten artykuł dostępny jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa 3.0 Polska. Pewne prawa

ANALIZA CYKLU ROBOCZEGO MANIPULATORA O CZTERECH STOPNIACH SWOBODY