3 Modele matematyczne – narzędzie badania powiązań gospodarki i środowiska

(1)

3.1 Budowa modeli matematycznych

„Model to schematyczne uproszczenie, pomijające nieistotne aspekty w celu wyjaśnienia wewnętrznego działania, formy lub konstrukcji bardziej skompli- kowanego mechanizmu” (Klein 1982: 15). Modele przyjmują różne formy:

– modeli słowno-logicznych, operujących porównaniami (np. „niewidzialna ręka rynku”);

– modeli fizycznych (np. modele hydrauliczne, dla zjawisk makroekonomi- cznych, takich jak: dochód narodowy, spożycie, inwestycje, podaż pieniądza, odzwierciedlających rezeczywistść w postaci przepływu cieczy);

– modeli geometrycznych, przedstawiających związki na płaszczyźnie lub w przestrzeni trójwymiarowej (np. model pajęczynowy);

– modeli matematycznych (algebraicznych), przedstawiających rzeczywistość w postaci systemu równań i nierówności.

W dalszym ciągu pracy uwaga zostanie skoncentrowana na modelach matematycznych (nazywanych dalej skrótowo modelami) – najważniejszych z punktu widzenia analiz powiązań gospodarki i środowiska.

Modele matematyczne mają charakter uniwersalny – są wykorzystywane z rów- nym powodzeniem w wielu dziedzinach ludzkiej działalności, w tym również w ekonomii i ekologii. Mogą więc stanowić wspólną platformę badań dla ekono- mistów zajmujących się problematyką środowiska przyrodniczego i ekologów zainteresowanych ekonomiczną stroną wykorzystania środowiska. Modele uwzglę- dniające zarówno aspekty ekonomiczne, jak i ekologiczne działalności ludzkiej nazywane są często modelami ekonomiczno-ekologicznymi. Przedstawiona w tym rozdziale charakterystyka modeli matematycznych jest ograniczona do zagadnień, które znalazły praktyczne odzwierciedlenie podczas budowy modelu dla Polski i jego wykorzystania do analiz symulacyjnych i prognoz.

3 Modele matematyczne – narzędzie badania powiązań gospodarki i środowiska

Mariusz Plich

Budowa i wykorzystanie wielosektorowych modeli ekonomiczno-ekologicznych

Wydawnictwo Uiniwersytetu Łódzkiego 2002

(2)

3.1.1 Czynniki modelowania i sposoby wykorzystania modelu

Na rysunku 3.1 przedstawiono czynniki procesu modelowania i sposoby wykorzystania gotowego modelu empirycznego¹.

Czynnikami modelowania są: teoria, rzeczywistość i techniki estymacji parametrów. Aby zbudować model empiryczny, należy przedstawić teorię w postaci modelu teoretycznego. Rzeczywistość związana z badanymi zjawiskami (fakty) – drugi składnik służący do budowy modelu – występuje w postaci zbiorów danych (obserwacji) dotyczących tych zjawisk. Dane te nie zawsze nadają się do bezpośredniego zastosowania podczas budowy modelu. Często muszą być odpowiednio przetworzone (oczyszczone) przez zastosowanie ekstrapolacji, interpolacji, usunięcie sezonowości, przeliczenia w celu uzgod- nienia danych pochodzących z różnych źródeł etc.

1 Pomysł schematu zaczerpnięto z książki Intriligatora (1978) – oryginalny schemat doty- czący modeli ekonometrycznych uogólniono na modele matematyczne.

(3)

Rysunek 3.1 Czynniki i cele modelowania ekonometrycznego

Teoria

R Z E C Z Y W I S T O Ś Ć (fakty)

Model teoretyczny

D A N E

przetworzone

Dane Techniki

estymacji parametrów

Model empiryczny

Analiza struktury Symulowanie rzeczywistości (operacyjny)

W Y K O R Z Y S T A N I E M O D E L O W A N I E

Źródło: Intriligator 1978.

Model teoretyczny przedstawia w sformalizowanej postaci teorie stano- wiące podstawę jego konstrukcji. Teorie te będą później weryfikowane i wykorzystane w modelu operacyjnym. Konstruując model teoretyczny, nie bierze się na ogół pod uwagę możliwości estymacji jego parametrów (dostępności danych czy metod estymacji).

Teoria w postaci modelu teoretycznego i rzeczywistość odwzorowana poprzez odpowiednio przygotowane dane w połączeniu z technikami estymacji umożliwiają oszacowanie nieznanych parametrów modelu. W rezultacie otrzy- mujemy model empiryczny (operacyjny), tzn. przetestowany, gotowy do użycia (symulacji). Jego ostateczna postać jest kompromisem pomiędzy teorią (w postaci modelu teoretycznego) i praktyką (w postaci dostępnych danych, metod estymacji i możliwości obliczeniowych komputerów). Ograniczenia w bez- pośrednim zastosowaniu modelu teoretycznego w praktyce spowodowane są wieloma czynnikami, takimi jak (Hafkamp 1984):

– agregacja przestrzenna;

– agregacja sektorowa;

– mierzalność zmiennych;

Rozdział 3 Modele matematyczne – narzędzie badania powiazań... 5

(4)

– dostępność danych na wybranym stopniu agregacji;

– względy praktyczne: ograniczenia czasowe, finansowe, obliczeniowe;

– możliwość wykorzystania wyników wcześniejszych badań.

Model empiryczny jest, z jednej strony, podstawą testowania zależności for- mułowanych przez teorię (weryfikacja modelu), a z drugiej, może stanowić podstawę do wnioskowania o rzeczywistości i do jej oceny. Testowanie i wnio- skowanie, o których mowa, to główne cele budowy modelu ekonometrycznego.

Są one realizowane poprzez analizy struktury i symulowanie rzeczywistości.

3.1.2 Klasyfikacja modeli oraz zmiennych i równań

Model może pozostawać konstrukcją czysto teoretyczną (model teoretyczny) – służy wówczas prezentacji teorii, na podstawie której został zbudowany.

Model empiryczny (aplikacyjny, stosowany) umożliwia weryfikację teorii (praw) przez ich konfrontację z rzeczywistością. Może się również przyczynić do sfor- mułowania nieznanych wcześniej praw rządzących rzeczywistością.

Model w sensie algebraicznym to jedno równanie algebraiczne (model jed- norównaniowy) lub układ równań algebraicznych (model wielorównaniowy).

Spośród zmiennych modelu można wydzielić zmienne endogeniczne, których wielkości są wyznaczane przez model, i zmienne egzogeniczne, wyz- naczane poza modelem, a wpływające na wartości zmiennych endogenicznych.

Opóźnione zmienne modelu wielorównaniowego (endogeniczne i egzogeniczne) wraz z bieżącymi zmiennymi egzogenicznymi zaliczane są do grupy zmiennych o wartościach z góry ustalonych.

Jeśli model nie zawiera żadnej zmiennej egzogenicznej, to nazywany jest modelem zamkniętym. W praktyce nie buduje się modeli w pełni zamkniętych, albowiem oznaczałoby to brak wpływu otoczenia na zachowanie modelowanego układu. Modele mogą być za to domknięte ze względu na pewne zmienne, co znaczy, że zmienne te są przez model objaśniane. Określeń „model otwarty”

i „model domknięty” używa się na ogół w celu scharakteryzowania konstrukcji modelu. Na przykład sformułowanie „model otwarty ze względu na popyt finalny” oznacza, że popyt finalny w tym modelu jest egzogeniczny, zaś określe- nie „model domknięty ze względu na sektor gospodarstw domowych” oznacza, że zmienne charakteryzujące ten sektor (dochody i wydatki itp.) są w modelu zmiennymi endogenicznymi.

Modele matematyczne zawierają parametry, tj. współczynniki związane ze zmiennymi modelu. Parametry są na ogół szacowane na podstawie danych statystycznych, przy użyciu odpowiednich technik estymacji. Parametry mogą być również szacowane na podstawie opinii ekspertów lub ustalane w oparciu o

(5)

normy i relacje techniczne. Zdarza się, że parametry znane są na podstawie założeń teoretycznych, leżących u podstaw konstrukcji modelu.

Model stochastyczny to szczególny rodzaj modelu matematycznego, zawierającego przynajmniej jedną zmienną losową. Model deterministyczny (tożsamościowy), odzwierciedla związki typu funkcyjnego.

Ze względu na postać funkcyjną równań modelu wyróżnia się modele liniowe – jeśli wszystkie równania modelu są liniowe względem parametrów oraz modele nieliniowe – jeśli występują w nich równania nieliniowe wzglę- dem parametrów.

Ze względu na ujęcie czynnika czasu rozróżnia się modele statyczne i dyna- miczne. Model statyczny nie jest zależny w żaden sposób od czasu. Model dy- namiczny to taki, w którym wprowadzono czas do równań modelu (może on być wprowadzony bezpośrednio – w postaci zmiennej czasowej – lub pośrednio – przez zmienne opóźnione, przyrosty zmiennych, ich tempa etc.). Zastosowanie modeli statycznych ogranicza się do opisania stanu stacjonarnego bądź do anali- zowania różnic między takimi stanami (statyka porównawcza). Modele dynamiczne natomiast mogą być używane nie tylko do opisywania stanu stacjonarnego i różnic między alternatywnymi stanami (czyli tak jak modele stacjonarne), ale również do opisywania ścieżek czasowych zmiennych ekonomicznych i do ana- lizowania różnic pomiędzy alternatywnymi ścieżkami (dynamika porównawcza), do czego modele statyczne się nie nadają. Modele statyczne można jednak trakto- wać jako szczególny przypadek modeli dynamicznych, a w związku z tym „wyniki uzyskane za pomocą analizy statycznej zawsze można uznać za tendencje jakiegoś modelu dynamicznego dla dłuższego okresu. W tym sensie analizę statyczną można stosować również do gospodarek rozwojowych” (Hansen 1976: 15).

Wreszcie, ze względu na zadania stawiane modelowi, mówi się o modelach optymalizacyjnych, i opisowych. Modele optymalizacyjne ułatwiają podjęcie najlepszej w danych warunkach decyzji (wybór najlepszego rozwiązania ze zbio- ru rozwiązań dopuszczalnych). Zadaniem modeli opisowych jest opis rzeczywis- tości w przeszłości i przedstawienie jej hipotetycznych (przeszłych i przyszłych) stanów². Model opisowy zwykle utożsamiany jest z modelem stochastycznym, ponieważ modele opisowe najczęściej zawierają czynnik losowy. Stochastyczne modele opisowe są często określane mianem modeli ekonometrycznych³.

Przedmiotem dalszych rozważań w tym rozdziale będą modele:

3 Ekonometria jest tu rozumiana w wąskim sensie, jako zastosowanie aparatu narzędziowego statystyki matematycznej w badaniach ekonomicznych, w odróżnieniu od ekonometrii w sze- rokim sensie, którą definiuje się jako ogół badań ekonomicznych, w których narzędziem badawczym są metody matematyczne (Granberg 1984).

2 W tym kontekście modele opisowe bywają również nazywane symulacyjnymi (np. Gajda 2001: 6).

(6)

– opisowe;

– stochastyczne;

– wielorównaniowe;

– nieliniowe;

– dynamiczne.

Zapiszmy symbolicznie model o M równaniach:

(3.1) yit=gi(Yt, Yt−1, ..., Yt−k, Zt, _i, uit) (t =1, ..., T) (i = 1, ..., M)

gdzie:

(3.2) Y =

y1

...

yM

, Z =

z1

...

zN

t – subskrypt czasu;

k – maksymalne opóźnienie zmiennych endogenicznych;

yi – i-ta zmienna endogeniczna;

xj – j-ta zmienna egzogeniczna;

ui – składnik losowy w i-tym równaniu modelu;

Z – wektor zmiennych egzogenicznych (bieżących i opóźnionych);

Y – wektor zmiennych endogenicznych;

– zbiór parametrów i-tego równania.

_i

Powyższy układ równań można zapisać również w postaci macierzowej:

(3.3) Yt= G(Yt, Yt−1, ..., Yt−k, Zt, , Ut)

(7)

gdzie:

(3.4) U =

u1

...

uM

natomiast oznacza zbiór wszystkich parametrów modelu.

Ważne informacje o strukturze powiązań modelu wielorównaniowego zawarte są w tzw. macierzy powiązań modelu. Jest to kwadratowa macierz R stopnia M, o następująco zdefiniowanych elementach: rij=1, gdy zmienna yj

występuje w równaniu objaśniającym zmienną (w i-tym równaniu), zaś yi rij=0 w przeciwnym razie (dla i, j = 1, ..., M). W przypadku, gdy macierz powiązań jest diagonalna, model nazywamy modelem prostym. Cechą wyróżniającą mo- dele rekurencyjne jest możliwość przekształcenia macierzy R (poprzez zmianę uporządkowania równań lub zmiennych) do postaci macierzy trójkątnej. Jeśli takie przekształcenie jest niemożliwe, mamy do czynienia z modelem współza- leżnym, tj. modelem z jednoczesnymi sprzężeniami zwrotnymi między zmiennymi endogenicznymi.

Z punktu widzenia struktury powiązań pomiędzy zmiennymi modelu istotne znaczenie ma pojęcie bloku modelu (modułu, submodelu). Blok modelu to zbiór powiązanych logicznie zmiennych endogenicznych występujących w modelu. Autorzy modeli wielorównaniowych często prezentują strukturę swoich modeli abstrahując od szczegółów, tj. koncentrując uwagę jedynie na powiąza- niach między blokami.

Zwróćmy w tym miejscu uwagę na wpływ jednostek czasu używanych w danych będących podstawą do estymacji równań modelu, na specyfikację modelu i typ powiązań między zmiennymi endogenicznymi – im krótsza jednostka czasu, tym mniej równań współzależnych, a więc prostsza struktura ze względu na sprzężenia jednoczesne. Z drugiej jednak strony, bardziej złożona staje się wówczas struktura powiązań dynamicznych (wyrażających procesy adaptacyjne), uwzględnianych w specyfikacji równań przez wprowadzanie zmiennych z opóź- nieniami czasowymi. Problemem staje się w tym przypadku także konieczność uwzględnienia sezonowości modelowanych zjawisk.

3.1.3 Postacie modelu

Ten sam model może być przedstawiony w trzech postaciach: strukturalnej, zredukowanej i końcowej.

Postać strukturalna jest ważna z punktu widzenia formułowania modelu i szacowania jego parametrów. „Składa się ona z równań wyspecyfikowanych w procesie budowy modelu, a więc istnieje z definicji w przeciwieństwie do

(8)

postaci zredukowanej i końcowej – przyp. M. P. Jej równania reprezentują wybrane hipotezy dotyczące praw działania analizowanego systemu” (Gajda 1988: 54).

Model w postaci strukturalnej można zapisać w następującej formie:

(3.5) G(Yt, Yt−1, ..., Yt−k, Zt, ) = Ut

Zwróćmy uwagę, że układ równań (3.3) również reprezentuje postać strukturalną modelu. Jest on szczególnym przypadkiem układu (3.5), gdzie w każ- dym z równań w sposób jawny wyodrębniono zmienną objaśnianą i zmienne objaśniające.

Postacie zredukowana i końcowa – podobnie jak postać strukturalna, ale wyłącznie w zapisie (3.3) (3.5) – przedstawiają równania modelu w formie jawnej, tj. rozwikłanej względem zmiennych objaśnianych przez te równania.

Różnica między nimi tkwi w zestawie zmiennych objaśniających (zapisanych po prawej stronie). W przypadku postaci strukturalnej po prawej stronie mogą wys- tępować wszystkie zmienne modelu, tj. bieżące zmienne endogeniczne i zmienne z góry ustalone. W postaci zredukowanej występują tam jedynie zmienne z góry ustalone, a w końcowej – wyłącznie zmienne egzogeniczne.

Postać zredukowana modelu powstaje z postaci strukturalnej przez wyeli- minowanie sprzężeń jednoczesnych między zmiennymi endogenicznymi.

Równanie wektorowe (3.3) przekształcone więc zostaje do postaci

(3.6) Yt= H(Yt−1, ..., Yt−k, ZtPt, Vt)

gdzie:

P – macierz parametrów postaci zredukowanej;

V – wektor składników losowych postaci zredukowanej.

Postać zredukowana ma znaczenie głównie z punktu widzenia szacowania para- metrów i prognozowania na podstawie modelu.

Postać końcową otrzymujemy z postaci zredukowanej przez wyelimino- wanie z niej opóźnionych sprzężeń między zmiennymi endogenicznymi:

(3.7) Yt= F(Zt, Ft, Wt)

gdzie:

F – macierz parametrów postaci końcowej;

W – wektor składników losowych postaci końcowej.

Zwróćmy uwagę, że w wyniku takiego przekształcenia po prawej stronie równania (3.7) zostają jedynie bieżące i opóźnione wartości zmiennych egzogenicznych i wektor składników losowych.

Postać końcowa ma znaczenie przede wszystkim z punktu widzenia wykorzystania modelu, a więc analiz struktury i symulacji.

(9)

W przypadku modeli liniowych można za pomocą przekształceń algebraicznych wyprowadzić wzory dla wszystkich parametrów postaci zredukowanej i końcowej zawartych w macierzach P i F. Parametry te są w tym przypadku stałe (nie zależą od czasu). Parametry postaci końcowej, czyli elementy macierzy F, to mnożniki⁴ obliczone względem względem zmiennych egzogenicznych.

Techniki liniowe (tj. odnoszące się do modeli liniowych) są najbardziej rozwi- nięte od strony teoretycznej i rozpowszechnione w badaniach empirycznych.

Okazuje się, że w przypadku modeli nieliniowych „nie istnieją wzory o zwar- tej postaci, które transformowałyby ten model [tj. model w postaci strukturalnej – przyp. M. P.] w postacie: zredukowaną [...] czy końcową” (Klein 1982: 120).

Ponadto stopień uwikłania równań modelu powoduje na ogół, że parametry zawarte w macierzach P i F są zmienne, co wprowadza znaczne komplikacje na etapie wykorzystania modelu.

Równania dużych modeli układów gospodarczych są najczęściej liniowe względem parametrów i w związku z tym szacowane za pomocą stosunkowo prostych w użyciu technik liniowych. Zastosowanie technik nieliniowych natomiast bywa koniecznością na etapie rozwiązywania takich modeli ze względu na ich nieliniowość względem zmiennych ekonomicznych (Klein 1982: 120).

3.1.4 Metody estymacji modeli

Mając wyspecyfikowane równania modelu oraz dysponując odpowiednimi danymi, możemy dokonać estymacji parametrów modelu (tj. parametrów układu równań (3.3). Niektóre z tych parametrów są znane a priori (np. na podstawie założeń teoretycznych leżących u podstaw konstrukcji modelu, parametry równań tożsamościowych). Pozostałe parametry szacuje się, wykorzystując odpowiednio dobrane metody estymacji. Wśród metod estymacji parametrów można wyróżnić metody eksperckie, normatywne, techniczne i statystyczne.

Najczęściej wykorzystywanymi w praktyce metodami estymacji parametrów modeli są metody statystyczne. Wśród nich dominują metody estymacji równań stochastycznych. Nie będą tu omawiane metody estymacji ani też rozważane problemy związane z ich wyborem. Zagadnienia te są opisane w wielu podrę- cznikach (np. A. Welfe 1998, Gajda 2001, Klein 1982, Theil 1979, W. Welfe 1977, Goldberger 1975). Skonstatujmy jedynie, że większość z tych metod jest kosztowna z punktu widzenia czasochłonności i pamięciochłonności, nawet przy wykorzystaniu najnowocześniejszych komputerów.

W praktyce estymacja modelu liczącego „zaledwie” kilkadziesiąt równań za pomocą niektórych z tych metod jest niewykonalna. W innych przypadkach

4 O mnożnikach więcej w pkt 4.2.2.

(10)

3.2 Wykorzystanie modeli

3.2.1 Symulacja jako technika wykorzystania modeli

W punkcie 3.1.3 stwierdziliśmy, że techniki liniowe nie mogą być używane do analiz na podstawie modeli e-e z uwagi na nieliniowości występujące w tych modelach. Analizy prowadzone na podstawie modeli nieliniowych opierają się najczęściej na technikach symulacji.

„Symulację rozumiemy jako rozwiązanie układu równań reprezentujących model”⁵ (Klein 1982: 108). Symulacja jest podstawową techniką badawczą sto- sowaną na etapie wykorzystania modelu.

Wyróżnia się wiele typów symulacji. Z punktu widzenia założeń co do reali- zacji składnika losowego symulację dzieli się na deterministyczną i stochastyczną.

Pod pojęciem symulacji deterministycznej rozumie się rozwiązanie układu równań (3.3), tj. rozwiązanie modelu zakładające realizację składnika losowego na poziomie wartości oczekiwanej (wynoszącej zero). Zmienne obja- śniające (w tym również zmienne endogeniczne występujące w roli zmiennych objaśniających) przyjmują dowolne wartości. Wykorzystując zapis (3.3), ideę symulacji deterministycznej można przedstawić w następującej formie:

(3.8) Y_t^R = G(Y_t^D, Y_t−1^D , ..., Y_t−k^D , ZtD, ^D)

czas poświęcony na oszacowanie parametrów modelu jest zbyt długi. Należy przy tym pamiętać, że model ekonometryczny nie musi (i zazwyczaj nie jest) konstru- kcją stałą pod względem formy (liczba i postać równań) – szczególnie w fazie jego budowy – i bazy danych będącej podstawą do estymacji jego parametrów – głównie w okresie jego wykorzystywania. Konieczność dokonywania respe- cyfikacji równań modelu lub pojawienie się nowych informacji wymagałaby za każdym razem ponownej estymacji parametrów modelu. Dlatego też konstruktorzy modeli wielorównaniowych do szacowania parametrów stosują często metody najmniej kosztowne i najprostsze (jak kMNK, czy – rzadziej – 2MNK i Fix-Point). „Wyszukane” metody estymacji modeli wielorównaniowych (np.

3MNK, MNW) stosowane są co najwyżej do wybranych bloków modelu (zob.

np. Gajda 1988, 1994).

5 Podstawową metodą znajdowania rozwiązania w modelach ekonometrycznych jest proce- dura znana w literaturze jako metoda Gaussa–Seidela (np. Gajda 1988, 2001, A. Welfe 1998, Klein 1982).

(11)

gdzie Y_t^R oznacza rozwiązanie układu, a superskrypt D dopisany przy zmiennej lub parametrze oznacza, że przyjmują one dowolne wartości.

Symulacja stochastyczna polega na znajdowaniu rozwiązania modelu (najczęściej wielokrotnym) dla generowanych losowo, zgodnie z założonym rozkładem prawdopodobieństwa, wartości składników losowych lub wartości estymatorów parametrów modelu:

(3.9) Y_t^R = G(Y_t^D, Yt−1D , ..., Y^D_t−k, ZtD, , Ut)

gdzie oznacza funkcję rozkładu prawdopodobieństw estymatorów para- metrów modelu.

Wszystkie typy symulacji wyspecyfikowane dalej mogą być realizowane w wariancie deterministycznym lub stochastycznym – różnica w zapisie symbolicznym polega tu jedynie na wprowadzeniu symbolu składnika losowego w przypadku wariantu stochastycznego. Dla uproszczenia, przy prezentacji zapisu symbolicznego nie będziemy rozróżniać wariantu deterministycznego i stochastycznego, konsekwentnie opuszczając składnik losowy.

Kolejne kryterium podziału symulacji to okres, którego ona dotyczy. W tym kontekście wyróżnia się dwa rodzaje symulacji: ex post i ex ante.

Symulacja ex post oznacza rozwiązanie modelu dotyczące okresu, dla któ- rego znane są realizacje zmiennych endogenicznych (najczęściej jest to okres, na podstawie którego szacowano parametry równań modelu):

dla (3.10)

Y_t^R = G(Y_t^D, Yt−1D , ..., Y_t−k^D , ZtD, ^D) tc (1, ..., T)

Symulacja ex ante to rozwiązanie modelu otrzymane przy nieznajomości prawdziwych wartości zmiennych endogenicznych:

dla (3.11)

Y_t^R = G(Y_t^D, Yt−1D , ..., Y_t−k^D , ZtD, ^D) tc (T + 1, ..., T + L)

Z punktu widzenia zasobu informacji wykorzystanych do rozwiązania modelu, wyróżnia się: rozwiązanie pojedynczych równań, symulację statyczną, i symulację dynamiczną.

Rozwiązanie pojedynczych równań polega na wyliczeniu wartości zmiennych objaśnianych w modelu poprzez podstawienie do kolejnych równań wartości zmiennych objaśniających i parametrów, tzn.

(3.12) Y_t^R = G(Y_t^P, Yt−1P , ..., Y_t−k^P , ZtP, ^P)

gdzie zmienna lub parametr z dopisaną w postaci superskryptu literą P, oznacza zadaną wartość zmiennej lub parametru.

Jeśli rozwiązanie pojedynczych równań stosujemy dla okresu historycznego, na podstawie którego szacowano parametry , i wartości zmiennych objaśnia- jących przyjmujemy na zaobserwowanych historycznie poziomach, to symulację taką określamy mianem weryfikacji reszt. W zapisie symbolicznym tego typu rozwiązanie wygląda następująco:

Rozdział 3 Modele matematyczne – narzędzie badania... 13

(12)

dla (3.13) Y_t^R = G(Y_t^H, Yt−1H , ..., Y^H_t−k, ZtH, ^E) tc (1, ..., T)

gdzie zmienne z dopisanym superskryptem H oznaczają wartości historyczne, natomiast ^E oznacza oszacowania parametrów modelu otrzymane na podstawie próby tc (1, ..., T).

Weryfikacja reszt wykonywana jest najczęściej jako pierwsza symulacja po zapisaniu modelu jako programu komputerowego. Równość reszt otrzymanych przez odjęcie wyników symulacji od wartości historycznych zmiennych endogenicznych i reszt otrzymanych na etapie estymacji parametrów świadczy o po- prawności zakodowania modelu jako procedury komputerowej.

Symulacja statyczna polega na rozwiązaniu modelu względem zadanych wartości zmiennych z góry ustalonych:

(3.14) Y_t^R = G(Y_t^R, Yt−1P , ..., Yt−kP , ZtP, ^E)

Zwróćmy uwagę, że po prawej stronie użyto wysymulowanych wartości bieżących zmiennych endogenicznych Y_t^R. Oznacza to, że symulacja statyczna eliminuje dynamiczne sprzężenia pomiędzy zmiennymi endogenicznymi modelu.

Symulację statyczną wykorzystuje się najczęściej do testowania jednoczesnych sprzężeń zwrotnych modelu.

Symulacja dynamiczna polega na rozwiązaniu modelu na podstawie zada- nych wartości zmiennych egzogenicznych – opóźnione wartości zmiennych endogenicznych generowane są przez model, co symbolicznie można zapisać w następującej postaci:

(3.15) Y_t^R = G(Y_t^R, Yt−1R , ..., Yt−kR , ZtP, ^E)

W symulacji dynamicznej oprócz sprzężeń jednoczesnych używa się rów- nież dynamicznych sprzężeń pomiędzy zmiennymi endogenicznymi modelu, co odzwierciedlono w przedstawionym powyżej symbolicznym zapisie, wprowa- dzając po prawej stronie subskrypt R przy tych zmiennych.

Symulacja dynamiczna jest podstawowym typem symulacji. Dlatego też używając określenia „symulacja” mamy na ogół na myśli symulację dynamiczną.

Jak już było wspominane wcześniej, symulacje statyczne i rozwiązywanie pojedynczych równań przeprowadza się na ogół na etapie testowania poprawności funkcjonowania modelu⁶.

Jeśli symulację dynamiczną ex ante przeprowadzamy na podstawie prawdziwych lub prawdopodobnych wartości zmiennych egzogenicznych, to jej wynik nazywa się prognozą. Jeśli dane o zmiennych egzogenicznych nie są zbyt wia- rygodne, wynik symulacji ex ante określa się często mianem projekcji.

6 Zauważmy, że pojęcie testowania modelu użyte w tym kontekście może obejmować za- równo sprawdzenie poprawności modelu jako konstrukcji logicznej, jak i poprawności funkcjonowania programu komputerowego zawierającego model.

(13)

Wynik symulacji dynamicznej ex post przeprowadzonej dla okresu próby, przy założeniu, że wartości zmiennych egzogenicznych kształtują się na pozio- mach historycznych, nazywa się rozwiązaniem podstawowym:

dla (3.16)

Y_t^R = G(Y_t^R, Yt−1R , ..., Y_t−k^R , ZtH, ^E) tc (1, ..., T)

Rozwiązanie podstawowe pozwala ocenić stopnień dopasowania modelu do rzeczywistości. Ocenę taką ułatwiają odpowiednie miary stopnia dopasowania (np. Klein 1982: 142 i dalsze).

Rozwiązanie otrzymane w wyniku symulacji ex post przy użyciu wartości zmiennych egzogenicznych innych niż dane historyczne (Z_t^D! Z^H) lub wartości parametrów różnych od wartości oszacowanych (^D! ^E) nazywa się symula- cją kontrfaktyczną:

dla (3.17)

Y_t^R = G(Y_t^R, Yt−1R , ..., YRt−k, ZtD, ^D) tc (1, ..., T)

Symulację przeprowadzoną dla stałych wartości zmiennych egzogeni- cznych nazywa się symulacją zamrożoną:

(3.18) Y_t^R = G(Y_t^R, Yt−1R , ..., Y_t−k^R , Z⁰, ^E)

gdzie Z⁰ oznacza wektor stałych w czasie wartości zmiennych egzogenicznych.

Symulacja zamrożona pozwala ocenić wewnętrzną dynamikę modelu przez wyeliminowanie wpływu dynamiki czynników egzogenicznych na wyniki symulacji.

Przeprowadza się ją zwykle począwszy od okresu następującego bezpośrednio po ostatniej obserwacji w próbie, przyjmując jako wartości zmiennych egzoge- nicznych w okresie symulacji wartości ostatniej obserwacji w próbie (Z⁰= ZT

):

dla (3.19)

Y_t^R = G(Y_t^R, Yt−1R , ..., YRt−k, ZT, ^E) tc (T + 1, ..., T + L)

Wyniki symulacji zamrożonej służą do testowania własności dynamicznych modelu.

Na koniec rozważań dotyczących typów symulacji zdefiniujemy pojęcie rozwiązania bazowego⁷ i związane z nim pojęcie symulacji zaburzonej. Są one ważne z punktu widzenia wykorzystania modeli ekonometrycznych.

Przez rozwiązanie bazowe (kontrolne) rozumie się dowolne rozwiązanie modelu stanowiące podstawę do porównań z innymi rozwiązaniami. Rozwiąza- niem bazowym dla okresu próby jest najczęściej rozwiązanie podstawowe, a poza okresem próby – prognoza.

Symulacja zaburzona polega na wprowadzeniu zmian do zestawu wartości zmiennych egzogenicznych, na podstawie którego otrzymano rozwiązanie bazowe, na zmianie specyfikacji jednego bądź większej liczby równań modelu lub na zmianie wartości użytych parametrów.

7 Określenia „rozwiązanie” i „symulacja” używane są na ogół zamiennie.

(14)

3.2.2 Sposoby wykorzystania modeli

Na rysunku 3.1, prezentowanym w początkowej części tego rozdziału, wyróżnione zostały dwa sposoby wykorzystania modeli ekonometrycznych:

analizy struktury i symulowanie rzeczywistości.

Analizy struktury

Pod pojęciem analizy struktury rozumie się użycie oszacowanego modelu do ilościowego pomiaru związków zachodzących wewnątrz modelowanego systemu. Analiza struktury umożliwia więc testowanie i potwierdzanie zwią- zków ekonomicznych (w szczególności porównanie rywalizujących teorii tego samego zjawiska), a także ułatwia zrozumienie rzeczywistych zjawisk. Może ona również być impulsem do powstania i rozwinięcia teorii⁸.

W ramach analiz struktury bada się reakcję (wrażliwość) zmiennych endogenicznych na zmiany wartości zmiennych egzogenicznych, a także postaci równań modelu (wartości parametrów, specyfikacji i postaci funkcyjnej, rozkładów prawdopodobieństw składnika losowego). Siłę tych reakcji przedstawia się naj- częściej w postaci mnożników.

Mnożniki klasyczne

Pojęcie mnożnika opiera się na różnicy pomiędzy efektem bezpośrednim wynikającym ze zmiany wielkości egzogenicznej a efektem całkowitym wyni- kającym z tej zmiany.

W pierwotnym sensie mnożnik rozumiany był jako wielkość reakcji wybra- nej zmiennej endogenicznej modelu na jednostkową zmianę wartości zmiennej egzogenicznej. Już wcześniej zostało zauważone, że parametry postaci końcowej w modelu liniowym interpretuje się jako mnożniki. Z matematycznego punktu widzenia mnożniki to pochodne cząstkowe układu równań (np. Intriligator 1978: 499–501).

Jeśli jako kryterium podziału ogółu mnożników zastosować okres, w którym obserwuje się reakcję modelu na zmianę w zmiennej egzogenicznej, to można wyróżnić:

– mnożniki bezpośrednie, jeśli pokazują reakcje zmiennych endogenicznych dla okresu, w którym nastąpiła zmiana zmiennej egzogenicznej;

– mnożniki opóźnione (dynamiczne), jeśli dotyczą reakcji w następnych okresach.

8 Jako przykład posłużyć tu może krzywa Phillipsa, odzwierciedlająca związek między stopą inflacji a stopą bezrobocia, która doprowadziła do rozwinięcia teorii bezrobocia.

(15)

Z punktu widzenia sposobu wprowadzenia jednostkowej zmiany zmiennej egzogenicznej (impulsu) rozróżnia się:

– mnożniki impulsowe, gdy zmiana dotyczy tylko jednego, początkowego okresu;

– mnożniki podtrzymane (skumulowane), gdy zmiana dotyczy wszystkich okre- sów, dla których liczone są mnożniki.

W przypadku modelu liniowego suma mnożnika bezpośredniego dla wyb- ranej zmiennej egzogenicznej i mnożników opóźnionych dla tej samej zmiennej daje w wyniku mnożnik podtrzymany.

Mnożniki uogólnione

Wzrastające szybko w ciągu ostatnich 30 lat możliwości obliczeniowe komputerów spowodowały rozwój technik symulacyjnych, a to pociągnęło za sobą wzrost zainteresowania modelami nieliniowymi, co z kolei doprowadziło do uogólnienia klasycznego rozumienia mnożnika. Mnożnik w sensie uogólnio- nym jest charakterystyką reakcji rozwiązania modelu na dowolne zmiany w jego elementach, tzn. zmiany wartości parametrów, całych równań lub całych bloków równań.

W modelach nieliniowych mnożniki oblicza się przy użyciu technik symulacji⁹ przez znalezienie rozwiązania bazowego oraz zaburzonego. W symulacji zaburzonej zmiana wprowadzana jest dla zmiennej, względem której ma być liczony mnożnik. Wartość mnożnika dla zmiennej w okresie y T + ! wylicza się wówczas najczęściej jako różnicę między rozwiązaniem zaburzonym (z) i bazo- wym (b):

dla (3.20)

mT+!

y =yT+!z −yT+!b ! = 1, 2, ..., L

gdzie t oznacza okres początkowy symulacji zaburzonej. Oznacza to, że każde zaburzenie wprowadzone do rozwiązania bazowego traktowane jest jako zmiana jednostkowa. Tak wyliczony mnożnik można przedstawić w postaci procentowej:

dla (3.21)

mT+!

y% = ^m^T+!

y

y_T+!^b 100 ! = 1, 2, ..., L Symulowanie rzeczywistości

Symulowanie rzeczywistości polega na odgadywaniu na podstawie modelu przeszłych lub przyszłych stanów rzeczywistości przy różnych założeniach co do wartości zmiennych egzogenicznych i parametrów modelu. Wynikiem symulacji rzeczywistości są prognozy lub analizy scenariuszowe.

Prognoza jest wynikiem symulacji rzeczywistości, w której przyjęto najbardziej prawdopodobne wartości zmiennych egzogenicznych i parametrów modelu.

9 Ze względu na prostotę technika symulacji jest stosowana również do liczenia mnożników dla modeli liniowych, zwłaszcza tych o znacznej liczbie równań.

(16)

3.3 Integracja modeli ekonomicznych i ekologicznych

3.3.1 Cel integracji

Gospodarka i środowisko są ze sobą wzajemnie powiązane¹⁰. Schemat tych powiązań przedstawia rysunek 3.2. Decydenci (gospodarstwa domowe, firmy), realizując swoje decyzje, mogą wywołać – oprócz przewidywanych i pożąda- nych skutków – również skutki nieprzewidziane i niepożądane, określane mianem efektów zewnętrznych (por. rys. 1.1). W szczególności, poprzez decyzje dotyczące wielkości i struktury asortymentowej produkcji i konsumpcji oraz stosowania określonej technologii wytwarzania produktów i sposobów pozby- wania się dóbr bezużytecznych, gospodarstwa domowe i firmy mimowolnie oddziałują na środowisko. Skutki tych działań są tym silniejsze, im wyższy jest poziom aktywności systemu ekonomicznego, mierzony np. wielkością produkcji czy konsumpcji.

Drugim – obok poziomu aktywności – ważnym czynnikiem wpływającym na siłę, z jaką gospodarka oddziałuje na środowisko, są technologie używane w sys- temie ekonomicznym, rozumiane jako rodzaje używanych procesów, materiałów, technologii ograniczania emisji zanieczyszczeń.

Emisję zanieczyszczeń można traktować jako początek przyczynowo-skut- kowego łańcucha powiązań gospodarki i środowiska. Jest to jedna z dwóch głównych (obok czerpania zasobów) przyczyn postępującej degradacji środo- wiska. Po wyemitowaniu zanieczyszczeń rozpoczynają się procesy ich rozprzestrzeniania i przekształcania w środowisku. Zanieczyszczenia mogą się rozprzestrzeniać w powietrzu, w wodzie i na ziemi (wnikając w warstwy gleby czy dostając się do wód gruntowych). Procesy rozprzestrzeniania i przekształ- cania zanieczyszczeń, w zależności od rodzaju zanieczyszczenia, mogą trwać Wyniki innych symulacji rzeczywistości można nazwać analizami scenariu- szowymi. Zbiór wszystkich założeń przyjętych w celu wyliczenia prognozy nazywany jest założeniami prognozy, a analogiczne zbiory założeń służących do analiz scenariuszowych – scenariuszami.

W przypadku modeli e-e scenariusze mogą różnić się założeniami dotyczący- mi zmiennych lub parametrów modelu mających wpływ na stan środowiska przyrodniczego. Takie scenariusze służą do oceny skutków alternatywnych polityk.

10Była o tym mowa w rozdz. 1.

(17)

wiele lat, obejmując ogromne obszary geograficzne. Badania tych procesów podejmowane są w ramach nauk chemicznych i biologicznych. Ich skutki mogą się przejawiać na różne sposoby: niszczenie infrastruktury materialnej, płodów rolnych, pogorszenie stanu zdrowotnego ludności. Ogólnie rzecz ujmując, zanieczyszczenia emitowane przez system gospodarczy mogą bezpośrednio lub pośred- nio oddziaływać na organizmy (rośliny i zwierzęta), nawet przerywając powią- zania w ramach ekosystemów i wskutek tego powodując wymieranie gatunków.

Rysunek 3.2 Powiązania gospodarki i środowiska – czynniki wzajemnego oddziaływania

technologia

produkcja konsumpcja zatrudnienie wzrost

system ekonomiczny

emisja zanieczyszczeń

wpływ środowiska na:

rozprzestrzenianie i transformacja zanieczyszczeń

zdrowotność populacji zbiory, materiały organizmy, rośliny

ekosystemy, natura zwierzęta

poziom aktywności gospodarczej

Źródło: opracowanie własne na podstawie: Hafkamp 1991.

Ciąg powiązań przedstawiony na rysunku 3.2 zamyka się, gdy uświadomimy sobie, że funkcjonowanie systemu ekonomicznego jest uzależnione od stanu środowiska. System ekonomiczny jest „czuły” zwłaszcza na pogorszenie jakości środowiska i uszczuplenie jego zasobów. Te negatywne bodźce obniżają poziom dobrobytu poprzez zwiększanie wydatków na ochronę zdrowia, wzrost wskaźników umieralności, kosztów utrzymania, straty w produkcji, zagładę ekosystemów itp.

Działalność człowieka jest przyczyną degradacji środowiska. Aby efektyw- nie zarządzać systemem e-e, należy rozumieć zasady działania przedstawionego łańcucha powiązań. Do tego potrzebna jest m.in. znajomość źródeł i przyczyn emisji zanieczyszczeń, a także obecnego i przyszłego zapotrzebowania systemu

(18)

ekonomicznego na zasoby środowiska. W tym zakresie narzędziem wspomaga- jącym zarządzanie systemem e-e mogą być modele matematyczne. Sprawami systemów gospodarczych zajmuje się ekonomia, zaś sprawami środowiska – ekologia. Ekonomia i ekologia posługują się odrębnymi technikami badawczymi, w tym również w dziedzinie modelowania systemów, którymi się zajmują.

Budując krótkookresowy model ekonomiczny bądź ekologiczny, badacz może skoncentrować się wyłącznie na związkach obejmujących jedną dyscyplinę (tj.

ekonomię lub ekologię), przyjmując czynniki kształtujące rozpatrywane zjawiska, pochodzące z drugiej dziedziny, za stałe (egzogeniczne). W długim okresie nie można jednak abstrahować od sprzężeń zwrotnych pomiędzy gospodarką i środo- wiskiem. W takim przypadku modele powinny uwzględniać zarówno ekologiczne aspekty gospodarowania, jak i ekonomiczne aspekty zjawisk ekologicznych, czyli integrować aspekty ekonomiczne i ekologiczne w ramach jednego modelu.

3.3.2 Problemy modelowania ekonomiczno-ekologicznego

Żaden z modeli e-e nie opisuje wszystkich zależności przedstawionych na rysunku 3.2. Wiele modeli opisuje natomiast wybrane powiązania. Na przykład modele emisji zanieczyszczeń opisują powiązania pomiędzy poziomem aktyw- ności, technologią wytwarzania a wielkością zanieczyszczeń emitowanych do środowiska, wskazując tym samym na źródła zanieczyszczeń.

Field (1997) przedstawia przykład bardzo prostego modelu e-e. Punktem wyjścia do zapisania równań modelu jest przedstawiony wcześniej schemat powiązań gospodarki i środowiska (zob. rys. 1.4). Schemat ten, zmodyfikowany dla potrzeb modelu, przedstawiamy na rysunku 3.3.

(19)

Rysunek 3.3 Schemat modelu oddziaływania gospodarki na środowisko

Produkcja

Środowisko

Surowce

Konsumpcja ^Odpady

Utylizacja Odpady Utylizacja

Towary T

Emisja Up

Emisja

Op E_p

Ok Ek

Uk

S

Źródło: Field 1997: 25.

Załóżmy, że wszystkie przepływy zaznaczone na powyższym schemacie można wyrazić w jednostkach masy. Stosując pierwsze prawo termodynamiki, znane jako prawo zachowania masy, do procesów gospodarowania, stwier- dzamy, że w długim okresie masa wszystkich zużytych surowców jest równa masie wszystkich odpadów pochodzących z tych procesów, tzn.:

(3.22) S = Ep+Ek

Oczywiście, w krótkich okresach równanie to nie musi być spełnione – masa odpadów może być mniejsza niż masa zużytych surowców. Dzieje się tak w wyniku wzrostu populacji, akumulacji środków produkcji, utylizacji niektó- rych odpadów. Równanie zachowania masy prowadzi do zasadniczego wniosku:

zmniejszenie ilości odpadów wymaga zmniejszenia masy surowców wykorzys- tywanych w procesach gospodarczych:

(3.23) Ep+Ek=S = T + Op−Up−Uk

Powyższa równość oznacza, że redukcji zużycia surowców, a tym samym odpadów, można dokonywać przez:

– zmniejszenie lub zmianę struktury konsumpcji towarów (T) – ma to również wpływ na Op;

– zmniejszenie ilości odpadów produkcyjnych (Op) w drodze doskonalenia technologii produkcji;

(20)

– zwiększenie masy utylizowanych odpadów (Up + Uk) – substytucja surowców (S) przez utylizowane odpady zmniejsza zużycie surowców, a tym samym emisję; utylizacja nigdy nie będzie doskonała – procesy produkcyjne zmieniają strukturę fizyczną surowców i materiałów, utrudniając ich ponowne wykorzystanie; w przypadku surowców energetycznych ponowne wykorzystanie jest w ogóle niemożliwe; poza tym utylizacja również prowadzi do powstawania odpadów.

Przedstawiony model ma charakter teoretyczny. Podejmując próbę zastosowania go w praktyce, napotkałoby się trudności związane z określeniem jednostki czasu, dla której model miałby obowiązywać, a także z pomiarem i sumowalnoś- cią przepływów surowców i odpadów.

Powyższy przykład wskazuje na najważniejsze problemy integracji modeli ekonomicznych i ekologicznych, tj. problemy związane z różnym definiowa- niem zmiennych modelu w kontekście czasu, przestrzeni i stosowanych skal pomiaru. Ogólnie rzecz ujmując, problem integracji modeli to problem danych.

Mimo piętrzących się kłopotów próby integrowania są jednak podejmowane.

Integracji modeli dokonuje się różnymi sposobami (por. Domański 1992: 65), mianowicie przez:

– łączenie istniejących modeli jednodyscyplinowych (ekonomicznych i ekologicznych), tj. włączenie do modelu ekonomicznego zmiennych ekologicznych, włączenie do modelu ekologicznego zmiennych ekonomicznych bądź wzajemne powiązanie („na równych prawach”) modelu ekonomicznego i ekologicznego;

– modelowanie holistyczne – budowa jednego, całościowego modelu zamiast składania modeli szczegółowych w coraz bardziej złożone zespoły; w celu za- pewnienia spójności wykorzystuje się jedną technikę modelowania i sprowa- dza wszystkie zmienne do wspólnego mianownika (np. energia ucieleśniona w towarach).

Holistyczne podejście do modelowania wydaje się najtrudniejsze w zastosowa- niach – wymaga pełnej koordynacji działań w wielu dziedzinach, np. w zakresie wyboru narzędzi modelowania i komputerowej implementacji modelu, wymiarów czasowych i przestrzennych zmiennych modelu, skal ich pomiaru. Znacznie łatwiej jest rozbudowywać już istniejący i przetestowany model jednodyscypli- nowy, uzupełniając go o kolejne zmienne lub bloki interdyscyplinarne opisują- ce rzeczywistość przez pryzmat innej dyscypliny.

Rysunek 3.4 przedstawia schematycznie różne sposoby konstrukcji modeli e-e i ich podstawowe cechy.

(21)

Rysunek 3.4 Powiązania modeli ekonomicznych i ekologicznych

Wejście: zanieczyszczenia Wejście: zasoby

Wyjście: zanieczyszczenia

Wyjście: zasoby

Modele ekologiczne Modele

ekonomiczne

Submodel ekologiczny

Modele ekonomiczno-

-ekologiczne w pełni zintegrowane

Submodel ekonomiczny ekonomiczne

włączające powiązania e-e

Modele

ekologiczne włączające powiązania e-e

Modele

Źródło: Braat i Lierop 1987a: 19.

Z lewej i prawej strony schematu na skrajnych pozycjach znalazły się modele jednodyscyplinowe, tj. modele czysto ekonomiczne i czysto ekologiczne.

Modele ekonomiczne włączające powiązania e-e to takie, w których na wejściu znajdują się zmienne reprezentujące zużycie zasobów środowiska, a na wyjściu, zmienne reprezentujące wielkość emisji zanieczyszczeń. Z kolei w modelach ekologicznych włączających powiązania e-e, na wejściu występują zmienne wyrażające emisję zanieczyszczeń, a na wyjściu zużycie zasobów środowiska.

W pełni zintegrowane modele e-e składają się z dwóch wzajemnie powiąza- nych submodeli: ekonomicznego i ekologicznego.

Schemat przedstawiony na rysynku 3.4 uświadamia, że na modele e-e można patrzeć z dwóch perspektyw: ekonomii i ekologii (Bergh 1996). Z perspektywy ekonomii modele e-e mogą służyć:

– wyznaczaniu dopuszczalnego poziomu aktywności gospodarczej ze względu na granice bezpieczeństwa środowiska;

– określaniu kosztów i korzyści oraz niezbędnych działań (decyzji) w celu dos- tosowania systemu ekonomicznego do standardów środowiska;

(22)

– opisaniu wzajemnych dynamicznych związków pomiędzy systemem ekonomicznym i ekologicznym w postaci przepływów materialnych, mierzonych w jednostkach fizycznych.

Z perspektywy ekologii modele e-e służą do:

– oceny ekologicznych skutków wykorzystywania zasobów;

– oceny ekologicznych skutków zanieczyszczenia środowiska;

– analizy problemów zarządzania systemem ekologicznym.

Analizując modele e-e, Bergh (1996) stwierdza, że modele tworzone z perspektywy ekologicznej koncentrują się na ogół na niższych poziomach niż modele tworzone z perspektywy ekonomicznej.

3.3.3 Klasyfikacja i kryteria oceny modeli ekonomiczno- -ekologicznych

Pierwsze modele e-e zaczęto budować w połowie lat sześćdziesiątych.

Początkowo dotyczyły one głównie zjawisk lokalnych i krótkookresowych.

Zakładano, że zjawiska naruszenia środowiska są odwracalne w stosunkowo krótkim czasie przez eliminację (lub zmniejszenie) intensywności oddziaływania negatywnych czynników. Motywami podejmowania działań były zdrowie publi- czne oraz podtrzymanie funkcjonowania „usług środowiska”, takich jak rekrea- cja na świeżym powietrzu (zwłaszcza nad wodą). Z czasem zaczęto podejmować badania na coraz szerszą skalę (Clifford 1995).

Większość modeli e-e tworzonych w latach siedemdziesiątych dotyczyła gospodarek narodowych, wyróżnieniając 20 do 80 gałęzi (Hafkamp 1991). Modele te wykorzystywano zarówno do statycznych analiz porównawczych, jak i do sporzą- dzania projekcji długookresowych. Zanieczyszczenia, którymi zajmowano się najczęściej, to dwutlenek siarki, tlenki azotu, pyły, węglowodory i tlenek węgla, a więc produkty procesów spalania. Kryzysy paliwowe lat siedemdziesiątych (1973–1974 i 1978–1979) spowodowały przesunięcie zainteresowań w dziedzinie modelowania z emisji zanieczyszczeń na problemy związane z produkcją energii.

Również w latach siedemdziesiątych pojawiły się pierwsze modele obejmujące zagadnienia globalne (zob. np. Global… 1982).

Obecnie literatura dotycząca modeli e-e jest niezwykle bogata. Można w niej znaleźć modele obejmujące różne szczeble gospodarowania (gospodarka świa- towa, narodowa, regionalna, wybrane gałęzie, przedsiębiorstwa), modele o róż- nym zasięgu terytorialnym (globalnym, krajowym, regionalnym, lokalnym), modele zajmujące się różnymi aspektami związków gospodarka – środowisko (zanieczyszczenia, zasoby). Przeglądy modeli e-e różnych typów oraz różnych

(23)

metodologii modelowania można znaleźć np. w następujących książkach:

Bergh 1996, Clifford 1995, Costanza i in. 1995, Domański 1992, Hafkamp 1991, Jankowska-Kłapkowska 1991, Nijkamp 1987, Braat i Lierop 1987b, Brouwer 1987).

Ważną odmianą modeli e-e są tzw. modele energetyczne. W ich konstrukcji wiele uwagi poświęca się specyfikacji równań tych gałęzi gospodarki, w których ma miejsce przetwarzanie energii. Bardzo często modele energetyczne rozbudo- wywane są również o blok emisji zanieczyszczeń i służą jako narzędzie oceny wariantów polityki energetycznej i ekologicznej zarówno na szczeblu regionalnym, jak i na szczeblu makroekonomicznym. Modele gospodarek narodowych koncentrujące się na problematyce energetycznej i wynikającej z przetwarzania energii emisji zanieczyszczeń określane są jako „Modele 3E”¹¹.

Modele e-e mogą być charakteryzowane przez pryzmat wielu kryteriów, takich jak (zob. Brouver 1987, Braat i Lierop 1987): charakterystyka bloków i powiązań modelu, wymiary czasowe i przestrzenne, jednostki i skala pomiaru zmiennych, dostępność danych, narzędzia matematyczne wykorzystane w modelu, cel badania i cel analiz. Dalej omówione są skrótowo wymienione kryteria.

Typy bloków występujących w modelu

Można rozpatrywać bloki reprezentujące zjawiska i procesy pochodzące z różnych dyscyplin, np.:

– ekonomia (w tym bloki: produkcji, spożycia, inwestycji, emisji zanieczyszczeń, utylizacji zanieczyszczeń itp.);

– ekologia (w tym bloki: wykorzystania zasobów, tj. w podziale na wodę, powietrze i ziemię);

– demografia (w tym bloki: przyrostu naturalnego, aktywności zawodowej, migracji itp.);

– energetyka (w tym bloki: produkcji i zużycia energii, inwestycji w sektorze, emisji i utylizacji zanieczyszczeń z procesów energrtycznych itp.).

Charakterystyka powiązań bloków

Powiązania bloków modelu wielorównaniowego mogą mieć różnorodny charakter:

– poziomy, jeśli wszystkie bloki traktowane są „równoprawnie”, tzn. gdy są one konstruowane na zbliżonym poziomie szczegółowości i żaden z bloków nie pełni roli bloku nadrzędnego;

11„3E” jest skrótem zastępującym trzy angielskie słowa: Economy–Energy–Environment.

(24)

– pionowy, jeśli jeden blok jest nadrzędnym w stosunku do innych, przez co należy rozumieć większą wagę przypisywaną połączeniom od tego bloku do innych bloków;

– satelicki, jeśli można zbudować model zawierający kluczowe dla opisywanej rzeczywistości mechanizmy (model trzonowy), do którego następnie dołą- czane są inne modele, wykorzystujące wejścia i wyjścia modelu trzonowego.

Modele bazujące na powiązaniach typu poziomego lub pionowego są trudne do skonstruowania, albowiem zakładają równoczesne modelowanie zaga- dnień z zakresu wszystkich dziedzin. Modele satelickie mają budowę modułową. Oznacza to, że moduły odpowiadające kolejnym dziedzinom mogą być budowane i dołączane etapami. Dołączenie wszystkich modułów nie jest warunkiem koniecznym wykorzystania modelu. Konstrukcja typu satelickiego wydaje się szczególnie atrakcyjna przy budowie wielkich, kompleksowych modeli. Cechą charakterystyczną tej grupy jest połączenie cech modeli o piono- wej i poziomej strukturze powiązań. Praktyka wykazała, że próby modelowego odzwierciedlenia wszystkich zagadnień z zakresu systemów e-e z jednakową dokładnością napotykają na liczne przeszkody, z których największe znaczenie mają dostępność danych statystycznych potrzebnych do modelu oraz koszty związane z budową. Stąd też często konstruktorzy modeli koncentrują się jedynie na wybranych zagadnieniach (modułach). Moduły te tworzą trzon modelu i są powiązane pionowo z pozostałymi modułami, pomiędzy którymi występują powiązania poziome.

Wymiary czasowe

Wymiar czasowy modelu e-e może być rozpatrywany ze względu na horyzont czasowy i częstotliwość zmiennych.

Horyzont czasowy w modelach e-e, czyli okres, którego dotyczą analizy prowadzone na podstawie modeli, może obejmować zarówno krótki (do roku), jak średni (od roku do pieciu lat) i długi okres (pięć i więcej lat).

Częstotliwość zmiennych modelu pochodzących z różnych bloków wynosi od jednego dnia do roku.

Wymiary przestrzenne

Wymiary przestrzenne modeli są zróżnicowane w zakresie zasięgu przestrzennego i rozdzielczości przestrzennej.

Pod względem zasięgu przestrzennego wyróżnia się modele regionalne, narodowe i globalne, a pod względem rozdzielczości przestrzennej różnią się liczbą i wielkością wyróżnionych regionów.

(25)

Jednostki i skala pomiaru

Zmienne modelu mogą być wyrażone w różnych jednostkach. Chodzi tu głównie o rozróżnienie pomiędzy skalą naturalną, np. gdy zmienne wyrażone są w jednostkach wagi, objętości, energii itp., a skalą będącą wynikiem transfor- macji oryginalnej skali pomiarowej, np. gdy zmienne są wyrażone wartościowo, tzn. w jednostkach pieniężnych. Transformacje takie mogą być wykorzystywane w celu powiązania różnych zmiennych. Ze względu na warunki użycia określo- nych metod modelowania ważne jest wyodrębnienie następujących rodzajów skal:

– nominalnej (jakościowej);

– porządkowej (jakościowej);

– interwałowej (ilościowej);

– ilorazowej (ilościowej).

Dostępność danych

Dostępność danych do modelu może być rozważana z punktu widzenia źródła i dokładności informacji.

Źródłem informacji mogą być urzędy statystyczne, wyniki eksperymentów kontrolowanych, spisy, badania panelowe, ekspertyzy.

Dokładność informacji można rozpatrywać przez pryzmat ich wiarygodnoś- ci (dane dokładne i szacunkowe) oraz ich mierzalności (dane mierzalne i niemierzalne).

Narzędzia matematyczne wykorzystane w modelu

Modele różnią się między sobą narzędziami matematycznymi używanymi podczas ich budowy i wykorzystania, którymi mogą być:

– metody optymalizacyjne;

– analiza i-o;

– metody statystyczne lub ekonometryczne;

– metody symulacyjne;

– teoria podejmowania decyzji.

Cel badania i analiz

Wyróżnia się dwa rodzaje celów budowy modeli e-e:

– rozwój metodologii, tzn. rozwój narzędzi matematycznych lub samych modeli służących jako narzędzie integracji różnych modułów modelu;

– zastosowania praktyczne, np. do analiz strukturalnych i symulowania rzeczy- wistości.

(26)

Kryteria oceny modeli e-e

Wśród modeli e-e można znaleźć zarówno bardzo proste modele teoretyczne, których zadaniem jest zilustrowanie ogólnych zasad działań systemu, jak i modele bardzo szczegółowe, dokładnie odzwierciedlające rzeczywistość. Dlatego też do oceny modeli e-e konieczne są przynajmniej trzy kryteria (zob. Costanza i in. 1995):

– realizm – zachowanie cech jakościowych systemu w symulacjach na modelu;

– precyzja (dokładność) – zachowanie cech ilościowych systemu w symulacjach na modelu (modele analityczne);

– ogólność – przedstawienie w jednym modelu wielu różnych zachowań sytemu.

Oczywiście najlepiej byłoby posługiwać się modelem odtwarzającym cechy jakościowe i ilościowe systemu (a więc realistycznym i precyzyjnym), a ponadto przedstawiającym wszystkie zachowania systemu (a więc modelem ogólnym).

Niestety, nie da się w ramach jednego modelu maksymalizować wszystkich trzech kryteriów jednocześnie (Holing 1964). Wybór dominującego kryterium zależy od celów stawianych modelowi. Pomiędzy realizmem, dokładnością i ogól- nością modelu konieczny jest kompromis.

Aby osiągnąć wysoki stopień ogólności, konieczne jest zmniejszenie stopnia realizmu modelu lub jego dokładności. W modelach takich związki przyjmują uproszczoną formę, a możliwość rozróżnienia szczegółów jest ograniczona (ograniczona „rozdzielczość”). Na przykład najprostszy model zdolnoś- ci asymilacyjnych środowiska (Bergh 1996) zawiera zaledwie dwie zmienne:

poziom jakości środowiska i poziom aktywności gospodarczej, a związki pomię- dzy nimi są wyidealizowane. W tym przypadku celem modelu nie były dokład- ność ani realizm, ale pokazanie niezwykle ważnego, ujawniającego się z dużym opóźnieniem ograniczenia możliwości ekspansji systemów gospodarczych, wynikającego z ograniczonej pojemności środowiska.

Niejednokrotnie celem modelu jest wysoka precyzja. Można ją osiągnąć, utrzymując wysoki stopień rozdzielczości przestrzennej modelu, ale w zamian za to upraszczając postać związków pomiędzy zmiennymi modelu i operując w ramach krótkiego okresu. Jako przykład może posłużyć model opisany przez F. Duchin (1988). Głównym celem tego modelu jest wskazanie ścieżki rozwoju systemów produkcji przemysłowej umożliwiającej efektywną redukcję ilości odpadów i ponownego ich wykorzystania. Duże modele ekonometryczne (np.

Klein 1975) należą również do modeli tej klasy, albowiem konstruowane są w sposób zapewniający maksymalne dopasowanie do danych kosztem ogól- ności i realizmu.

W tej pracy rozważane są modele, które odzwierciedlają funkcjonowanie gospodarek narodowych, a także regionów obejmujących pojedyncze państwa lub ich grupy. Modele tego typu konstruowane są na ogół z myślą o ich

(27)

ogólności i precyzji. Realizm w takich modelach stawiany jest na dalszym miejscu, gdyż w kontekście znacznego zasięgu przestrzennego tych modeli praktycznie niemożliwe staje się pogodzenie postulatu zachowania cech jakoś- ciowych gospodarki i środowiska z jednoczesnym uwzględnieniem zróżnicowania ich wewnętrznych zachowań i wzajemnych oddziaływań. Przeszkodą jest tu nie tylko ilość wyłaniających się problemów, generujących ogromną liczbę danych, ale także dostępność danych do modelowania. Precyzja w modelach gospodarek narodowych rozumiana jest tutaj jako uwzględnienie w modelach szczegółów w postaci wyodrębnienia różnych uczestników życia gospodarczego, w tym zwła- szcza sektorów gospodarki. Zachowania całego systemu ekonomicznego i wynik- ające z nich skutki dla środowiska są więc sumą zachowań sektorów wyróż- nionych w modelu.