Rachunek prawdopodobieństwa 4. Rodzaje zbieżności zmiennych losowych

Rachunek prawdopodobieństwa

4. Rodzaje zbieżności zmiennych losowych

Ćw. 4.1 Niech {Xn}_n∈N będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych, takich, że P (X_n= 1) = 1/n², P (X_n= 0) = 1 − 1/n².

Zbadaj zbieżność podanego ciągu do 0 według prawdopodobieństwa, prawie wszędzie i w przestrzeni L¹.

Ćw. 4.2 Dla każdego n ∈ N rozkład zmiennej Xn zadany jest następująco:

P (Xn = −n − 4) = 1

n + 4, P (Xn= n + 4) = 3

n + 4, P (Xn = −1) = 1 − 4 n + 4.

Wykaż, że ciąg {X_n}_n∈N jest zbieżny według prawdopodobieństwa, a E( lim

n→∞X_n) 6= lim

n→∞EX_n.

Ćw. 4.3 Niech {X_n}_n∈N będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie E(1).

Niech

Y_n= min{X₁, . . . , X_n}.

Pokaż, że ciąg {Y_n}_n∈N jest zbieżny do 0 według prawdopodobieństwa i prawie wszędzie.

Czy ciąg ten jest także zbieżny do 0 w przestrzeniach L¹ i L²?

Ćw. 4.4 Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na przedziale [0, 1]. Definiujemy Y_n =√

n1I_[0,1/n](X⁴).

Zbadaj zbieżność ciągu {Yn}_n∈N według prawdopodobieństwa, prawie wszędzie i w L¹.