• Nie Znaleziono Wyników

Procesy stochastyczne 5. Łańcuchy Markowa — zadania do samodzielnego rozwiązania

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Procesy stochastyczne 5. Łańcuchy Markowa — zadania do samodzielnego rozwiązania"

Copied!
1
0
0

Pełen tekst

(1)

Procesy stochastyczne

5. Łańcuchy Markowa — zadania do samodzielnego rozwiązania

Zad. 5.1 (J. S., Zad. 3a str. 272) Niech (Un) będzie ciągiem i.i.d., P (Un= 1) = P (Un= −1) = 12. Pokazać, że Xn = Un· Un+1 jest łańcuchem Markowa.

Zad. 5.2 (J. S., Zad. 4 str. 272) Podać przykład łańcucha Markowa X0, X1, ... i dowolnej funkcji borelowskiej f , takich że f (X0), f (X1), ... nie jest łańcuchem Markowa.

Zad. 5.3 (J. S., Zad. 6a str. 273) Niech Xn będzie błądzeniem losowym na prostej, X0 = 0.

Pokazać, że ciąg (Yn) zdefiniowany wzorem

Yn = |Xn| jest łańcuchem Markowa i znaleźć macierz przejścia.

Zad. 5.4 (J. S., Zad. 7 str. 273) Niech X i Z będą łańcuchami Markowa o wartościach całkowi- toliczbowych. Czy X + Z musi być łańcuchem Markowa?

Zad. 5.5 (J. S., Zad. 8 str. 273) Seminarium probabilistyczne jest organizowane przez matematy- ków z Torunia, Warszawy i Wrocławia. Na zakończenie każdego spotkania losuje się z równy- mi prawdopodobieństwami miejsce następnego spośród dwóch pozostałych ośrodków. Podać macierz przejścia odpowiedniego łańcucha Markowa, obliczyć prawdopodobieństwo znalezie- nia się w poszczególnych stanach w chwili n i ich granice przy n → ∞. Uwzględnij sytuacje, gdy gospodarz pierwszego seminarium został wybrany losowo oraz, gdy był nim jeden usta- lony wcześniej ośrodek np. Warszawa.

Zad. 5.6 (J. S., Zad. 13 str. 273) Niech X, Y będą niezależnymi łańcuchami Markowa, oba z ma- cierzą przejścia P . Udowodnić, że Z = (X, Y ) jest łańcuchem Markowa z macierzą przejścia pij,hk = pihpjk.

Zad. 5.7 Niech Xnopisuje stan linii telefonicznej w chwili n. Xn= 0, gdy linia jest wolna, Xn = 1, gdy linia jest zajęta. Prawdopodobieństwo, że ktoś zajmie linię jest równe p ∈ (0, 1), a że ktoś zwolni linię jest równe q ∈ (0, 1). Przyjmujemy, że w chwili początkowej linia jest wolna.

Niech

τ = inf

n­1{Xn= 0}.

Oblicz Eτ .

Zad. 5.8 (J. S., Zad. 18 str. 274)

Funkcje harmoniczne. Jeśli (Xn) jest łańcuchem Markowa o przestrzeni stanów S i ma- cierzy przejścia (pij), to funkcja harmoniczną nazywamy taką funkcję f : S → R, że istnieje stała λ, dla której zachodzi równość

λf (i) = X

j∈S

pijf (j).

Wykazać, że jeśli f jest funkcją harmoniczną na łańcuchu Markowa (Xn) o skończonej prze- strzeni stanów, to ciąg (λ−nf (Xn), σ(X1, ..., Xn)) jest martyngałem.

Cytaty

Powiązane dokumenty

Zbadać zbieżność ciągu (a n ) określonego podanym wzorem; obliczyć granice ciągów zbieżnych, rozstrzygnąć czy ciągi rozbieżne mają granicę niewłaściwą.. 165.. Zadania

Wyznacz rozkład stacjonarny tego łańcucha oraz znajdź średnią częstość przebywania łańcucha w każdym z

Procesy z czasem ciągłym — zadania do samodzielnego

Zad. 310) Wykaż, że jeśli W jest procesem Wienera, to procesami Wienera są

Zad. 373) Niech W będzie procesem Wienera. 310) Wykaż, że jeśli W jest procesem Wienera, to procesami Wienera są

Dla każdej funkcji z poprzedniego zadania napisz tożsamość Parse-

1.3 Opisz algebrę i σ-algebrę podzbiorów N generowane przez wszystkie zbiory jed-

Całkowanie ciągów funkcyjnych (wstęp) – zadania do samodzielnego