Szkice rozwiązań – Zestaw I

Szkice rozwiązań – Zestaw I

Zadanie 1. Obliczamy współczynniki szeregu Fouriera funkcji f :

c_n = 1 2π

Z π

−π

x

2e^−inxdx = (−1)ⁿ⁺¹ 2in dla n 6= 0, c₀ = 0.

Widmo to ciąg postaci ^n_2πⁿ, cn

o

n∈Z, gdzie współczynniki cn zostały wyznaczone powyżej.

Widmo amplitudowe to ciąg postaci^n_2πⁿ, |c_n|^o

n∈Z, gdzie

|c_n| =







1

2|n| dla n 6= 0, 0 dla n = 0.

Widmo fazowe ma postać^n_2πⁿ, θ_n^o

n∈Z, gdzie

θ_n =











π

2 dla n dodatnich nieparzystych lub ujemnych parzystych,

−^π₂ dla n dodatnich parzystych lub ujemnych nieparzystych, 0 dla n = 0.

Zadanie 2.

1. Zapisujemy tożsamość Parsevala:

1 4 ·

8 π

2

+ 8 π²

∞

X

n=1

1

(1 − 4n²)² = 1 2π

Z π

−π

cos² x 2 dx.

Obliczamy

Z π

−π

cos² x 2 =

Z π

−π

cos x + 1

2 dx = π.

A zatem

∞

X

n=1

1

(1 − 4n²)² = π² 16− 2.

2. f jest ciągła na R, ma więc wahanie ograniczone na dowolnie wybranym oto- czeniu każdego punktu x ∈ R. Zachodzi zatem zbieżność

SN(f, x) → f (x) ∀_x∈R i f (x) = cos^x₂ dla x ∈ [−π, π].

3. W powyższej równości podstawiamy x = 0 i x = π.

Zadanie 3. Funkcje f₁(t) = _a2¹+t² i f₂(t) = _b2+t^{1 2} należą do L¹(R¹) ∩ L²(R¹). Na mocy twierdzenia Plancherela ich transformaty postaci f (ξ) = ^π_ae^−2πa|ξ| należą do L²(R¹) i zachodzi równość

hf₁, f₂i_L² = h ˆf , ˆqi_L², czyli

Z ∞ 0

dt

(a²+ t²)(b²+ t²) =1

2hf₁, f₂i_L² = 1

2h ˆf , ˆqi_L² = π² 2ab

Z

e^−2πa|ξ|e^−2πb|ξ|dξ =

=π² ab

Z ∞ 0

e^{−2πξ(a+b)}dξ = π 2ab(a + b).

Zadanie 4.

X_n = 1 N

N −1

X

k=0

x_kω_N^−nk = 1 N

N −1

X

k=0

(k + 1)(k + 2)ω_N^−nk.

Wyznaczmy sumę ciągu postaci (k + 1)(k + 2)q^k, gdzie q 6= 1.

N −1

X

k=0

(k + 1)(k + 2)q^k=

N −1

X

k=0

q^k+2

!⁰⁰

= q²1 − q^N 1 − q

!00

=

= 2q − q²− (N + 2)q^{N +1}+ (N + 1)q^{N +2} (1 − q)²

!0

=

=(2 − (N + 2)(N + 1)q^N)(1 − q)²+ 2(2q − q²− (N + 2)q^{N +1}+ (N + 1)q^{N +2})

(1 − q)³ .

Podstawiamy w miejsce q wyrażenie ω⁻ⁿ_N i korzystamy z własności, że ω_N^−nN = 1.

Otrzymujemy, że

Xn = ω_N⁻ⁿ(N + 1) − (N + 3) (1 − ω_N⁻ⁿ)² .