Sołbut Adam Białystok 2016 str. 1
Maszyny prądy stałego – dynamika
Dla maszyny prądu stałego, wykorzystywanej jako element automatyki, wyznaczmy wybrane transmitancje. Sygnałem wejściowym może być np. napięcie twornika (dla maszyny obcowzbudnej) a sygnałem wyjściowym prędkość obrotowa. Równanie Kirchhoffa dla obwodu twornika możemy napisać w podstaci:
dt L di k
i R
u t t t t t
(1) Równanie dynamiki dla ruchu obrotowego:
o t
o
e M k i M
dt M
J d
(2) Przyjmijmy, że moment obciążenia jest równy zeru, otrzymamy:
i
tdt k
J d
(3)Wartość chwilowa prądu jest zatem równa:
dt d k
i
tJ
(4) Po wstawieniu tego równania (4) do (1) otrzymamy:
) ( dt
d k
J dt L d dt k
d k R J
u
t t t
(5)2 2
dt d k L J dt k
d k R J
u
t t t
(6)Dokonując transformaty Laplace'a (przy założeniu zerowych warunków początkowych) otrzymamy:
) ( )
( )
( )
( s
2s
k L J s
k s
k s R J s
u
t t t
(7)Sołbut Adam Białystok 2016 str. 2
Transmitancję wyznaczamy zatem z zależności:
k k s
R J k s
L J s
u s s
G
t
t t
2
1 )
( ) ) (
(
(8)
Po przekształceniach:
1 1
) (
) ) (
(
2 2
2
k s R J k s
L J
k s
u s s
G
t t t
(9)
Jeśli oznaczymy stałą czasową obwodu twornika (elektromagnetyczna stała czasowa) jako Te:
t t
e
R
T L
(10)TM jest elektromechaniczną stałą czasową
2k T
M JR
t(11)
Wzmocnienie oznaczmy literą k:
k k 1
(12)Transmitancję maszyny obcowzbudnej prądu stałego możemy przedstawić w postaci::
) 1
( 2
s T s
T T s k
G
M M
e
(13)Przebieg wartości prędkości kątowej przy skokowej zmianie napięcia zależy od biegunów transmitancji. Wartość biegunów transmitancji ma postać zależną od wartości:
e M
M
T T
T
2 4
(14)Sołbut Adam Białystok 2016 str. 3
Jeśli 0 to bieguny mają tylko część rzeczywistą o wartościach:
e M M
T T s T
2
2
, 1
(15) Przebieg prędkości ma wówczas charakter aperiodyczny, natomiast w przypadku gdy:
0
2
4
T
MT
MT
e
(16)przebieg prędkości ma charakter oscylacyjny tłumiony. Wartość biegunów można wyznaczyć wg. zależności:
e M M
T T
j s T
2
2
, 1
(17) Oscylacyjna przebieg prędkości kątowej występuje, gdy spełniona jest zależność:
e
M
T
T 4
(18)Bardzo często równania dynamiki maszyn prądu stałego wygodnie jest przedstawić w wielkościach względnych. Jako podstawę analizy przyjmijmy równania obwodu twornika:
dt L di e
i R R
u
t (
t
d)
t
t
t t(19) I obwodu wzbudzenia:
dt L di i
R R
u
w (
w
wd)
w
w w(20) Wartość siły elektromotorycznej wynikającej z obrotów wirnika:
k
e
t (21)Moment elektromagnetyczny wytworzony w maszynie:
t
e
k i
M
(22)Jako wielkości odniesienia przyjmijmy następujące wielkości:
- znamionowe napięcie twornika Uo=Un
- znamionowy prąd twornika Io=Itn
Sołbut Adam Białystok 2016 str. 4
- znamionową wartość strumienia ko= kn
n tn
k U
0
(23) Wielkość odniesienia dla prędkości jest równa prędkości idealnego biegu jałowego dla silnika obcowzbudnego:
0
nU
tnk
(24)
Oczywiście dla innych typów maszyn przyjmowana jest wielkość wyznaczona według wzoru:
n
tn t tn
n
I R k U
Przy takim wyborze wielkości odniesienia otrzymamy:
0
0
tn tn
t
tn tn
t tn
tn t tn
d t
tn t
U k dt
I d i U I
L I
I i U
R R
U
u
(25)Oznaczając poszczególne wielkości jako:
tn t
U u u
(26)
tn tn
n I
R U
(27)
n d t
R R r R
(28)
n t
R l L
(29)
Sołbut Adam Białystok 2016 str. 5
0
(30)
k n
k
(31) Otrzymamy równanie twornika w postaci:
dt l di ri
u
Taka postać równania jest praktyczna, gdyż wszystkie wielkości występujące w równaniach, w zakresie od biegu jałowego do warunków znamionowych, mają wartości z zakresu 01.
Parametry występujące w równaniach mają wielkości niemianowane, a porównanie różnych maszyn ze sobą jest łatwiejsze. Równanie obwodu wzbudzenia w wielkościach względnych przyjmuje postać odpowiednio:
dt I d i U I
L I
I i U
R R
U
u wn
w
wn wn
w wn
w wn wn
wd w
wn
w
(32)
dt l di i
r
u m w m w m
(33)
wn wn
w
I
R
0U
(34)
wn wd w
w
R
R r R
(35)wn w
w
R
l L
(36)
Sołbut Adam Białystok 2016 str. 6
Równanie momentu:
i
m
(37)Jednym z podstawowych komplikacji analiz maszyn elektrycznych jest fakt nieliniowej zależności strumienia od prądu magnesującego, stąd dla przybliżonego uwzględnienia zjawisk nasyceniowych można aproksymować charakterystykę magnesowania w wielkościach względnych.
Pomijając zjawisko histerezy magnetycznej można stosować wzór aproksymujący w postaci:
) 1
( a i
a
i
m m
(38) Przy czym:
65 . 0 55 .
0
a
(39)Nie jest to jedyne przybliżenie charakterystyki magnesowania. Często stosowany jest opis w postaci funkcji:
i a i
a
a
0arctan(
1)
2
Stosuje się także wielomiany lub inne funkcje aproksymujące:
bH B aH
1
(40)a0.00273; b0.00149 (41)
...
1
...
2 2 1
2 2 1
0
H b H
b
H a H
a B a
(42)
B k
B k k
H [ 1 exp( 2 2 ) 3 ]
(43)Sołbut Adam Białystok 2016 str. 7
Należy przy tym pamiętać, że jest to jedynie przybliżenie zjawisk występujących w rzeczywistej maszynie. Równanie dynamiki dla ruchu obrotowego w wielkościach względnych przyjmuje postać:
0 0
0 m m
dt d I
k J
e tn
n
(44)m 0
dt m
j d
(45) gdzie:
tn n
tn
I k j JU 2
(46) Równania dla silnika obcowzbudnego równania przyjmują postać:
dt l di i
r
u m w m w m
(47)
dt l di ri
u
(48)i
m
(49)Dla znamionowego prądu wzbudzenia lub maszyn o magnesach trwałych =1 i m=1.
W takim przypadku:
dt l di ri
u
(50)W stanie ustalonym, przy stałej prędkości kątowej:
Sołbut Adam Białystok 2016 str. 8
u ri
(51) Przy znamionowym prądzie wzbudzenia:
ri
u
(52)rm
u
(53)W silniku szeregowym:
i i m
W tym przypadku nie ma odrębnego równania dla obwodu wzbudzenia. Równanie obwodu twornika ma postać:
dt l di ri
u
(54) W maszynie szeregowej niezbędne jest uwzględnienie nasycenia obwodu magnetycznego np.
w postaci aproksymacji:
) 1
( a i
a
i
(55) Przy czym:
n
d wsz
t
R
R R
r R
(56)n w t
w
R
L l L
(57)Wartość strumienia zależy tu od prądu twornika, stąd z zakresie liniowej części charakterystyki magnesowania możemy napisać dla stanu ustalonego:
i
(58)Sołbut Adam Białystok 2016 str. 9
i ri
u
(59)i r u
(60)
i 2
m
(61)W silniku bocznikowym napięcie zasilające obwód wzbudzenia jest równe napięciu twornika, stąd:
dt l di ri
u
(62)dt l di i
r
u w m w m
(63)
