PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

(1)

1

Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

POZIOM ROZSZERZONY

Instrukcja dla zdającego

1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 14 stron (zadania 1–17).

2. Rozwiązania zadań wpisuj w miejscu na to przeznaczonym.

3. Pamiętaj, że pominięcie argumentacji lub istotnych obliczeń w rozwiązaniu zadania otwartego może spowodować, że za to rozwiązanie nie otrzymasz pełnej liczby punktów.

4. Pisz czytelnie i używaj tylko długopisu lub pióra z czarnym tu- szem lub atramentem.

5. Nie używaj korektora, a błędne zapisy wyraźnie przekreśl.

6. Pamiętaj, że zapisy w brudnopisie nie będą oceniane.

7. Możesz korzystać z zestawu wzorów matematycznych, cyrkla i linijki oraz kalkulatora prostego.

PRZED MATURĄ MAJ 2016

Czas pracy:

180 minut

Liczba punktów

do uzyskania: 50

(2)

Po usunięciu niewymierności z mianownika ułamka 1 4 2

3

− otrzymamy:

A. − 16 − 32 2 − 4

3 3

B. − 2 − 4 2 − 2

3 3

C. 4 2 2

3

+

D. − 16 2 4 4 + +

4

3 3

Zadanie 2. (0–1)

Liczba 234 jest największą liczbą spełniającą nierówność |m – 3x| ≤ 14, gdzie m jest parame- trem. Zatem m jest liczbą podzielną przez:

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

Zadanie 3. (0–1)

Który z poniższych rysunków przedstawia wykres funkcji f x ( ) sin =  x −

  

 

2 3

π , x ∈ 〈–π, π〉?

Y

X 1

–1

0 π

−π π

π 2

−2

A.

^Y

X 1

–1

0 π

−π π

π 2

−2

B.

Y

X 1

–1

0 π

−π π

π 2

−2

C.

^Y

X 1

–1

0 π

−π π

π 2

−2

D.

y = f(x)

y = f(x) y = f(x)

y = f(x)

Zadanie 4. (0–1)

Jedno z rozwiązań równania 2x

²

+ 9x – 5 = 0 jest pierwszym wyrazem, zaś drugie ilorazem pewnego nieskończonego ciągu geometrycznego zbieżnego. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa:

A. –10 B.

¹

12

C. 2

¹

2

D. –

¹

8

Zadanie 5. (0–1)

W trójkącie ABC dane są: |BC| = 6 oraz |BAC| =

²

3

π . Promień koła opisanego na tym trójkącie jest równy:

A. 4

2

B. 6 C. 3

2

D. 2 3

(3)

3

BRUDNOPIS

(4)

Oblicz lim

n

n n

n

→∞

 −

  

  ( + )

+ + + + ( + )

1 3 4 2 1

3 5 7 ... 2 1 . Zakoduj kwadrat otrzymanej granicy, podając cyfrę jed- ności i dwie cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego tej liczby.

Zadanie 7. (0–2)

Dane są zdarzenia A, B ⊂ Ω. Wiadomo, że P(A ∩ B′) = P(B ∩ A′), P(A ∪ B) = 0,48

i P(A ∩ B) = 0,12. Oblicz P(A). Zakoduj otrzymany wynik, podając trzy kolejne cyfry po prze-

cinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanej liczby.

(5)

5 Zadanie 8. (0–3)

Na czworokącie ABCD opisano okrąg o(O, r). Dwusieczna kąta BAD przecina okrąg w punkcie K, zaś dwusieczna kąta BCD przecina okrąg w punkcie L (zobacz rysunek obok). Wykaż, że punkty K, L, O są współliniowe.

A B C

D K

O

L

(6)

Napisz w postaci kierunkowej równanie prostej zawierającej dwusieczną kąta ostrego wyzna- czonego przez proste o równaniach k: y = 0 oraz l: y = x.

Odpowiedź ...

(7)

7 Zadanie 10. (0–3)

Wykaż, że jeśli x i y są liczbami dodatnimi, to

x² + y² > ³ x³ + y³

.

(8)

Podstawą ostrosłupa prostego ABCS jest trójkąt prostokątny równoramienny ABC, w którym przeciwprostokątna AC ma długość 2a (a > 0). Każda krawędź boczna ostrosłupa ma dłu- gość 3a. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Odpowiedź ...

(9)

9 Zadanie 12. (0–4)

Bok AB jest podstawą trójkąta równoramiennego ABC. Środkowe AE i BF przecinają się pod kątem prostym. Oblicz cos a, gdzie a = |ACB|.

Odpowiedź ...

(10)

W prostokątnym układzie współrzędnych zaznacz zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, któ-

rych współrzędne (x, y) spełniają warunek log

_y–1

(8x – x

²

) = 2.

(11)

11 Zadanie 14. (0–4)

Liczba naturalna jest podzielna przez 8 wtedy i tylko wtedy, gdy trzy ostatnie cyfry tej liczby (tj. cyfry: setek, dziesiątek i jedności) są zerami lub przedstawiają liczbę podzielną przez 8.

Ile jest różnych liczb dziesięciocyfrowych podzielnych przez 8, w których zapisie cyfra 0 wy- stępuje pięć razy, cyfra 2 występuje cztery razy, a cyfra 4 – jeden raz?

Odpowiedź ...

(12)

Na rysunku obok przedstawione są parabole będące wykresami dwóch funkcji:

f(x) = –

¹

4

x

²

+ 1 oraz g(x) = x

²

– 4x + 6.

Napisz równania wszystkich wspólnych stycznych do tych pa- rabol.

Odpowiedź ...

X

y = g(x)

y = f(x)

1 1 0

(13)

13 Zadanie 16. (0–5)

Dany jest wielomian W(x) = 2x

³

+ (m – 2)x

²

+ (8 – m)x – 8, gdzie parametr m jest liczbą cał- kowitą. Wyznacz wszystkie te wartości parametru, dla których dany wielomian ma trzy różne pierwiastki x

1

, x

2

, x

3

spełniające warunek:

^{x x x}

x₁¹ x²₂ x³₃ 1 2

⋅ ⋅

+ + >

.

Odpowiedź ...

(14)

W kwadracie ABCD o boku długości 2 zawiera się łuk okręgu o środku w punkcie A i promie- niu AB. Rozważamy wszystkie odcinki spełniające jednocześnie dwa warunki:

1) Odcinek jest styczny do danego łuku w dowolnie wybranym na tym łuku punkcie E (E ≠ B i E ≠ D).

2) Jeden koniec odcinka należy do boku BC, zaś drugi do boku DC.

Wykaż, że najkrótszy odcinek spełniający warunki zadania ma długość 4 (

²