Analiza Matematyczna Wykład 4
Ci¸ agłość funkcji Definicja.
Funkcja f : A → R określona na zbiorze liczb rzeczywistych jest ci¸ agła w punkcie a ∈ A, jeśli dla każdego ci¸ agu (a n ) ∞ n=1 elementów zbioru A , z warunku lim n→∞ a n = a wynika, że lim n→∞ f n = f (a).
Twierdzenie
Jeśli pewien przedział (a − δ, a + δ),(δ > 0) jest zawarty w A , to ci¸ agłość w punk- cie a jest równoważna warunkowi lim x→ f (x) = f (a) Jeśli [a, a + δ) ⊂ A, to z ci¸ agłości funkcji f : A → R w punkcie a wynika że lim x→a+f (x) = f (a).
Jeśli ((a−δ, a] ⊂ A, to z ci¸ agłości f : A → R w punkcie a wynika,że lim x→a−f (x) = f (a).
Dowód. Załóżmy, że f (a) nie jest granic¸ a funkcji f w punkcie a. Istnieje wówczas
> 0 takie, że w każdym przedziale (a − n 1 , a + n 1 ) można wskazać a n , dla którego
|f (a) − f (x)| ≥ . Mamy wówczas lim n→∞ a n = a, ale lim n→∞ f (a n ) 6= f (a), a wi¸ec funkcja nie jest ci¸ agła w a. Załóżmy teraz, .ze lim x→a = f (a) i niech lim n→∞ a n = a.
Jeżeli > 0, istnieje liczba 0 < γ < δ,dla której można wskazać takie N , że dla n ≥ N ,
|f (a) − f (a n )| < . To oznacza, że lim n→∞ f (a n ) = f (a). Co kończy dowód.
Innymi słowy funkcja f jest ci¸ agła w punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy a jest argu- mentem funkcji i zachodzi jedna z dwu możliwości:
(i) a nie jest punktem skupienia dziedziny funkcji f ;
(ii)a jest punktem skupienia dziedziny funkcji f, która ma granic¸e w punkcie a i ta granica jest równa wartości funkcji w punkcie a : lim x→a f (x) = f (a).
Funkcja f : A → R jest ci¸ agła, jeśli jest ci¸ agła w każdym punkcie zbioru A.
Przykłady: Funkcje f 1 (x) = log(x), f 2 (x) = a x , f 3 (x) = x α , α ∈ R s¸ a ci¸ agłe na zbiorach, na których s¸ a określone. Z własności działań arytmetycznych na granicach ci¸ agów wynika następuj¸ ace twierdzenie:
Twierdzenie
Suma, iloczyn, oraz iloraz funkcji ci¸ agłych jest funkcj¸ a ci¸ agł¸ a na zbiorze, na którym jest określona.
Złożenie funkcji ci¸ agłych jest funkcj¸ a ci¸ agła na zbiorze, na którym to złożenie jest okre- ślone. Udowodnimy ostatni¸ a tez¸e tego twierdzenia.
1
Niech funkcje f : A → B, g : B → R, funkcja f jest ci¸ agła w punkcie a, g jest ci¸ agła w punkcie f (a). Jeśli lim n→∞ = a, to lim n→∞ f (a n ) = f (a) = b, zatem lim n→∞ g(f (a n ) = g(f (a)) = g(b) sk¸ ad wynika ci¸ agłość złożenia g ◦ f : A → R w punkcie a.
Z twierdzenia tego, wynika, że jeżeli f : A → (0, +∞) jest funkcj¸ a ci¸ agł¸ a przyjmuj¸ ac¸ a wartości dodatnie oraz funkcja g : A → R jest ci¸ agła, to funkcja h(x) = f (x) g(x) okre- ślona na A jest też ci¸ agła, bo h(x) = f (x) g(x) = e g(x) ln(f (x)) = exp(g(x)ln(f (x))).
Przykłady 1.Funkcja
f (x) = x · sin 1 x , dla x 6= 0
0, dla x = 0
jest ci¸ agła.
Dowód
Zakładamy, że funkcja f jest ci¸ agła w x = 0. Wtedy lim x→0 f (x) = f (0), czyli lim x→0 f (x) = 0.
Opieraj¸ ac si¸e bezpośrednio na definicji Heine granicy funkcji
^ (x n )( lim
n→∞ x n = 0, x n 6= 0, n = 1, 2, . . .) ⇒ lim
n→∞ x n · sin 1 x n = 0
Niech wi¸ec dany b¸edzie ci¸ ag (x n ), taki, że x n → 0 i x n 6= 0 dla n =1,2,. . . . Mamy dowieść, że x n · sin x 1
n
→ 0. Zauważmy, że dla każdego n 0 ≤
x n sin 1 x n
= |x n |
sin 1 x n
≤ |x n |
Stosujemy twierdzenie o trzech ci¸ agach: 0 → 0, |x n | → 0, wi¸ec
x n sin x 1
n
→ 0, a st¸ ad x n sin x 1
n
