Fraktale Fraktale to struktury, składające się z samopowtarzających się części. Zwykle są one bardzo mocno nieregularne. Istniej wiele bardzo różnych typów fraktali.

Fraktale

Fraktale to struktury, składające się z samopowtarzających się części. Zwykle są one bardzo mocno nieregularne. Istniej wiele bardzo różnych typów fraktali.

Paproć Barnsley’a (fraktal liści paproci)

Fraktal ten wykorzystuje pseudo-losowe przesuwanie się punktu za pomocą funkcji widocznych poniżej. Kolekcja wielu kolejnych położeń tego punktu tworzy wzór przypominający liść paproci.

Położenie początkowe jest dowolne, na przykład zero. Wraz ze zwiększaniem liczby punktów obraz staje się coraz bardziej pełny. Położenie punktu w następnym kroku zależy od pozycji aktualnej i przedstawione za pomocą wzorów widocznych poniżej. Bardzo istotne jest, że istnieje kolekcja funkcji przejścia, które wybierane są w sposób losowy przy danym rozkładzie

prawdopodobieństwa. Określając liczbę punktów można wpłynąć na „zagęszczenie” i dokładność tego fraktala.

[x_start; y_start]=dowolna pozycja początkowa, na przykład [0; 0] ;

[x_t+1; y_{t +1}]= 0,85 x_t+0,04 y_t; −0,04 x_t+0,85 y_t+1,6 prawdopodobieństwo użycia= 85% ; [x_t+1; y_{t +1}]= −0,15 x_t+0,28 y_t; 0,26 x_t+0,24 y_t+0,44 prawdopodobieństwo użycia= 7% ; [x_t+1; y_{t +1}]= 0.20 x_t−0,26 y_t; 0,23 x_t+0,22 y_t+1,6 prawdopodobieństwo użycia= 7% ; [x_t+1; y_{t +1}]= 0 0,16 y_t prawdopodobieństwo użycia= 1% ;

Przykład:

1. początkowy punkt to [ x₁=0 ; y₁=0] ,

2. Następnie wylosowano 2. wzór, więc x₂=−0,15 x₁+0,28 y₁=0 , y₂=0,26 x₁+0,24 y₁+0,44=0,44 .

3. W następnym kroku wylosowano wzór 1., więc x₃=0,85 x₂+0,04 y₂=0,176 , y₃=−0,04 x₂+0,85 y₂+1,6=1,94 .

...

Warto zauważyć, że każdy liść i element liści jest podobny do całej paproci.

Trójkąt (uszczelka) Sierpińskiego

Fraktal ten można również nazwać fraktalem tworzonym w sposób geometryczny i rekurencyjny.

Figura ta tworzona jest na bazie figury podstawowej, na podstawie której rekurencyjnie tworzonych jest kilka mniejszych figur. Poprzez ograniczenie zagłębienia rekurencji można kierować

dokładnością tworzenia fraktala.

W wypadku trójkąta Sierpińskiego figurą bazową jest trójkąt, na podstawie tej figury tworzone są rekurencyjne 3 mniejsze trójkąty zawarte wewnątrz niego w sposób podany poniżej.

A B D

C

E F

C D

E A

F

B E

A B

D

E F D

D

F

I. Początkowa figura to trójkąt, na przykład foremny opisany przez punkty

A=[ x=−1; y=0] ; B=[ x=+1; y=0]; C=[0 ;√(3)] . Należy określić maksymalny poziom rekursji > 0.

II. Uruchamiana jest rekurencyjnie poniższa funkcja z parametrami (A; B; C; 1) : funkcja_trójkąt_sierpińskiego(A; B; C; rekur_akt)

1. Wyrysowanie trójkąta opisanego przez ABC.

2. Jeśli rekur_akt >= maksymalny poziom rekursji 2.a. Przerwij wykonywanie aktualnej funkcji.

3. Na podstawie ABC wylicz:

3.a. punkt D = idealnie pomiędzy A i C;

3.b. punkt E = idealnie pomiędzy A i B;

3.c. punkt F = idealnie pomiędzy C i D.

4. uruchom rekurencyjnie funkcja_trójkąt_sierpińskiego(D; F; C; rekur_akt + 1) 5. uruchom rekurencyjnie funkcja_trójkąt_sierpińskiego(A; E; D; rekur_akt + 1) 6. uruchom rekurencyjnie funkcja_trójkąt_sierpińskiego(E; B; F; rekur_akt + 1)

Przykład:

-1 -0.5 0 0.5 1

0 0.5

1 1.5

2

x

y

max. poziom rekurencji = 3

-1 -0.5 0 0.5 1

0 0.5

1 1.5

2

x

y

max. poziom rekurencji = 6

Warto zauważyć, że wraz ze wzrostem zagłębienia rekurencji tworzona jest bardziej skomplikowana figura.

Zbiór Julii

Fraktale te wykorzystują operacje związane ze liczbami zespolonymi. Działają one w ten sposób, iż tworzona jest siatka punktów o stałym, zadanym zagęszczeniu. Każdy punkt p określa w tej siatce jedną liczbę zespoloną. Położenie punktu p na osi 0X określa część rzeczywistą tego punktu, natomiast położenie punktu p na osi 0Y określa część urojoną tego punktu, p=x+ y⋅i . Parametrem kształtu zbioru Julii jest stała liczba zespolona c. Stwórzmy dla każdego p ciąg

z_start=p ; z_n+1=z_n²+c aż |^zn|≥2 lub n≥max_iter . Tworząc w ten sposób dla każdego punktu p ciąg z należy zmierzyć długość ciągu z i na tej podstawie wyznaczyć kolor i/lub jasność punktu p.

1. x_min, x_max = .. określony zakres części rzeczywistej punktu p., na przykład x_min, x_max = -1,3; +1,3,

y_min, y_max = .. określony zakres części urojonej punktu p., na przykład y_min, y_max = -1,2;

+1,2.

2. c = stała określająca kształt zbioru Julii, na przykład -0.1 + 0.65i max_iter = stała określająca max. długość ciągu z., na przykład 255

3. Stwórz siatkę punktów BMP o zadanej wielkości, na przykład siatka 300x300x1

4. Stwórz tablicę LUT dla osi OX o nazwie lut_x, ma ona mieć długość = szerokość BMP i wartości równomiernie rozłożone x_min .. x_max.

5. Stwórz tablicę LUT dla osi OY o nazwie lut_y, ma ona mieć długość = wysokość BMP i wartości równomiernie rozłożone y_min .. y_max.

6. Dla każdego indeksu jj = 1..wysokość(BMP) 6.1 y = lut_y(jj)

6.2 Dla każdego indeksy ii = 1..szerokość(BMP) 6.2.1 x = lut_x(ii)

6.2.2 p = x + y* i i to część urojona, p to liczba zespolona 6.2.3 z_akt = p; n = 1

6.2.4 Pętla wykonywana póki |^zakt|<2∧n< max_iter 6.2.4.1 z_akt=z_akt² +c

6.2.4.2 n+= 1

6.2.5 Na podstawie n należy ustalić kolor piksela BMP(y=jj; x=ii), na przykład BMP(y=jj; x=ii) = n

Obrazek powstały dla zbioru Julii: x =[-1.3..1.3]; y = [-1.2..1.2], c =-0.8+0.156i; sposób generowania jasności BMP (..) = log(n+1) * 50: