• Nie Znaleziono Wyników

Funkcje wielu zmiennych

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Funkcje wielu zmiennych"

Copied!
29
0
0

Pełen tekst

(1)

Funkcje wielu zmiennych

(2-zmiennych)

Rachunek różniczkowy – pochodne cząstkowe Rachunek całkowy – całki podwójne

Równania różniczkowe cząstkowe

(2)

Rachunek różniczkowy funkcji 2-ch zmiennych

(3)

Przypomnienie

Warunki ograniczające dziedzinę funkcji:

𝑥 𝑥 ≥ 0 ln 𝑥 𝑥 > 0

1

𝑥 𝑥 ≠ 0

Rzadziej: tg(x), ctg(x), tgh(x), ctgh(x), arcsin(x), arccos(x)

(4)
(5)

Różniczkując po x traktuj y jako stałą

Różniczkując po y traktuj x jako stałą

(6)
(7)

Ekstremum (minimum lub maksimum) lokalne

(8)

hesjan

(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)

Znajdź najmniejszą i największą wartość funkcji z=f(x,y) w obszarze D.

Najmniejsza i największa wartość może być wewnątrz obszaru lub na jego brzegu.

Wewnątrz obszaru szukamy za pomocą pochodnych cząstkowych, na brzegu obszaru za pomocą pochodnej funkcji jednej zmiennej.

Na koniec wybieramy wartość najmniejszą i największą.

(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
(22)
(23)
(24)
(25)
(26)

Gradient, laplasjan

𝐷𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑘𝑐𝑗𝑖 𝑑𝑤ó𝑐ℎ 𝑧𝑚𝑖𝑒𝑛𝑛𝑦𝑐ℎ:

𝑁𝑖𝑒𝑐ℎ 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦) 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑧 = 𝛻𝑧 = [𝜕𝑧

𝜕𝑥 ,𝜕𝑧

𝜕𝑦]

∆𝑧 = 𝜕2𝑧

𝜕𝑥2 + 𝜕2𝑧

𝜕𝑦2 − 𝑙𝑎𝑝𝑙𝑎𝑠𝑗𝑎𝑛

𝐷𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑘𝑐𝑗𝑖 𝑡𝑟𝑧𝑒𝑐ℎ 𝑧𝑚𝑖𝑒𝑛𝑛𝑦𝑐ℎ:

𝑁𝑖𝑒𝑐ℎ 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑢 = 𝛻𝑢 = [𝜕𝑢

𝜕𝑥 ,𝜕𝑢

𝜕𝑦 ,𝜕𝑢

𝜕𝑧]

∆𝑢 = 𝜕2𝑢

𝜕𝑥2 + 𝜕2𝑢

𝜕𝑦2 + 𝜕2𝑢

𝜕𝑧2 − 𝑙𝑎𝑝𝑙𝑎𝑠𝑗𝑎𝑛

(27)

Ważna własność:

Gradient to wektor prostopadły do izolinii.

Wskazuje kierunek najszybszego wzrostu/spadku wartości funkcji.

Wykorzystujemy do przybliżonego znajdowania min/max funkcji wielu zmiennych.

(28)

Metoda największego gradientu

(29)

0 2 4 6 8 10 12

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Regresja logistyczna

Jak dobrać parametry a, b, c funkcji logistycznej

𝑓 𝑡 = 𝑎

1 + 𝑏𝑒

−𝑐𝑡

tak by zminimalizować błąd przybliżenia ?

Wykorzystamy narzędzie Solver z programu Excel.

Cytaty

Powiązane dokumenty

Łatwo się domyśleć, że dla funckji dla dwóch zmiennych też zachodzi Twierdzenie o 3

Nie spotyka się natomiast większych (niepodzielnych) obszarów badań, jak państwo czy grupa państw. Głównym tego powodem jest mała istotność takich porównań dla

Wykazaliśmy, że ciąg liczb naturalnych, który ma skończoną granicę musi być od pewnego miejsca stały, więc granica jest równa pewnym wyrazom ciągu.. Jest to niezgodne z

Zamiast zakładać, że funkcja / jest klasy Cr, wystarczy założyć tylko ciągłość funkcji / oraz tych jej pochodnych, które otrzymuje się przy kolejnym

Znaleźć kąt przecięcia się krzywych: a). Wyznaczyć przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji określonych wzorami:..

Mimo tych mankamentów, na podstawie uzyskanych modeli dokonano wy- ceny akcji, której wyniki porównano z rzeczywistymi wartościami uwzględnio- nych charakterystyk (tab. Wartość akcji

Najczęstszą formą ich mocowania, wynikającą z kształtu przekroju poprzecz- nego, jest łączenie za pomocą tylko jednego ramienia, przy użyciu jednej lub większej liczby śrub..

Wniosek: całka podwójna to objętość „krzywopowierzchniowego” prostopadłościanu... Całka podwójna