Funkcje wielu zmiennych
(2-zmiennych)
Rachunek różniczkowy – pochodne cząstkowe Rachunek całkowy – całki podwójne
Równania różniczkowe cząstkowe
Rachunek różniczkowy funkcji 2-ch zmiennych
Przypomnienie
Warunki ograniczające dziedzinę funkcji:
𝑥 𝑥 ≥ 0 ln 𝑥 𝑥 > 0
1
𝑥 𝑥 ≠ 0
Rzadziej: tg(x), ctg(x), tgh(x), ctgh(x), arcsin(x), arccos(x)
Różniczkując po x traktuj y jako stałą
Różniczkując po y traktuj x jako stałą
Ekstremum (minimum lub maksimum) lokalne
hesjan
Znajdź najmniejszą i największą wartość funkcji z=f(x,y) w obszarze D.
Najmniejsza i największa wartość może być wewnątrz obszaru lub na jego brzegu.
Wewnątrz obszaru szukamy za pomocą pochodnych cząstkowych, na brzegu obszaru za pomocą pochodnej funkcji jednej zmiennej.
Na koniec wybieramy wartość najmniejszą i największą.
Gradient, laplasjan
𝐷𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑘𝑐𝑗𝑖 𝑑𝑤ó𝑐ℎ 𝑧𝑚𝑖𝑒𝑛𝑛𝑦𝑐ℎ:
𝑁𝑖𝑒𝑐ℎ 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦) 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑧 = 𝛻𝑧 = [𝜕𝑧
𝜕𝑥 ,𝜕𝑧
𝜕𝑦]
∆𝑧 = 𝜕2𝑧
𝜕𝑥2 + 𝜕2𝑧
𝜕𝑦2 − 𝑙𝑎𝑝𝑙𝑎𝑠𝑗𝑎𝑛
𝐷𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑘𝑐𝑗𝑖 𝑡𝑟𝑧𝑒𝑐ℎ 𝑧𝑚𝑖𝑒𝑛𝑛𝑦𝑐ℎ:
𝑁𝑖𝑒𝑐ℎ 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑢 = 𝛻𝑢 = [𝜕𝑢
𝜕𝑥 ,𝜕𝑢
𝜕𝑦 ,𝜕𝑢
𝜕𝑧]
∆𝑢 = 𝜕2𝑢
𝜕𝑥2 + 𝜕2𝑢
𝜕𝑦2 + 𝜕2𝑢
𝜕𝑧2 − 𝑙𝑎𝑝𝑙𝑎𝑠𝑗𝑎𝑛
Ważna własność:
Gradient to wektor prostopadły do izolinii.
Wskazuje kierunek najszybszego wzrostu/spadku wartości funkcji.
Wykorzystujemy do przybliżonego znajdowania min/max funkcji wielu zmiennych.
Metoda największego gradientu
0 2 4 6 8 10 12
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Regresja logistyczna
Jak dobrać parametry a, b, c funkcji logistycznej
𝑓 𝑡 = 𝑎
1 + 𝑏𝑒
−𝑐𝑡tak by zminimalizować błąd przybliżenia ?
Wykorzystamy narzędzie Solver z programu Excel.