Kryteria zbie»no±ci szeregów

Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr¦cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa.

Wykªad 2. Szeregi liczbowe.

Denicje i podstawowe twierdzenia

Denicja Szeregiem liczbowym nazywamy wyra»enie postaci

a₁+ a₂+ a₃+ · · · + a_n+ . . . ,

zapisywane tak»e w formie

∞

X

n=1

an, gdzie an ∈ R dla n ∈ N. Liczb¦ an nazywamy n-tym wyrazem,

za± sum¦ Sn= a1+ a2+ · · · + an =

n

X

k=1

ak nazywamy n-t¡ sum¡ cz¦±ciow¡ szeregu.

Denicja Mówimy, »e szereg liczbowy

∞

X

n=1

a_n jest zbie»ny, gdy istnieje wªa±ciwa granica ci¡gu sum cz¦±ciowych {Sn}_n∈N. T¡ granic¦ nazywamy sum¡ szeregu i oznaczamy j¡ tym samym symbolem, co szereg

n→∞lim S_n= lim

n→∞

n

X

k=1

a_k=

∞

X

n=1

a_n.

Je±li lim

n→∞Sn = ∞ (lub lim

n→∞Sn = −∞), to mówimy, »e szereg

∞

X

n=1

an jest rozbie»ny do ∞ (lub

do −∞, odpowiednio). Je±li granica sum cze±ciowych nie istnieje, to mówimy, »e szereg

∞

X

n=1

anjest rozbie»ny.

Reszt¡ (dokªadniej n-t¡ reszt¡) szeregu zbie»nego

∞

X

n=1

a_n nazywamy liczb¦ Rn =

∞

X

k=n+1

a_k.

Uwaga Je»eli szereg ma wyrazy nieujemne, to jest zbie»ny albo rozbie»ny do ∞.

Przykªady Znale¹¢ sumy cz¦±ciowe podanych szeregów i nast¦pnie zbada¢ ich zbie»no±¢:

1.

∞

X

n=2

n − 1 n! , 2.

∞

X

n=1

√ 1

n + 1 +√ n.

Twierdzenie Niech szeregi

∞

X

n=1

an i

∞

X

n=1

bn b¦d¡ zbie»ne oraz niech α, β ∈ R. Wtedy

∞

X

n=1

(αa_n+ βb_n) = α

∞

X

n=1

a_n+ β

∞

X

n=1

b_n.

Fakt Szereg zbie»ny z pogrupowanymi w dowolny sposób wyrazami ma t¦ sam¡ sum¦, co szereg wyj±ciowy.

Uwaga Nie wolno grupowa¢ wyrazów szeregu rozbie»nego, gdy» mo»na otrzyma¢ szeregi zbie»ne o ró»nych sumach. Na przykªad

(1 − 1) + 1 2+1

2 −1 2 −1

2

 + 1

3 +1 3 +1

3−1 3 −1

3 −1 3



+ · · · = 0,

1 −

 1 − 1

2−1 2



− 1 2 +1

2−1 3 −1

3 −1 3



− 1 3 +1

3 +1 3− . . .



− · · · = 1,

Nie jest dopuszczalna zmiana kolejno±ci sumowania niesko«czenie wielu wyrazów nawet dla szere- gów zbie»nych, np. szereg

1 −1 2 +1

3−1 4 +1

5 −1 6+1

7 −1 8 +1

9− 1

10+ · · · = ln 2, a po przestawieniu niesko«czenie wielu skªadników otrzymamy

1 +1 3 −1

2+1 5 +1

7 −1 4+1

9 + 1 11−1

6 + · · · = 3 2ln 2.

Fakt Szereg geometryczny

∞

X

n=0

xⁿ= 1 + x + x²+ x³+ . . .

jest zbie»ny dla |x| < 1 i rozbie»ny dla |x| ≥ 1. Ponadto dla |x| < 1 suma tego szeregu wynosi

∞

X

n=0

xⁿ= 1 1 − x.

Uwaga Przyjmujemy konwencj¦, »e dla x = 0 i n = 0 mamy xⁿ= 1

Warunek konieczny zbie»no±ci szeregu Je»eli szereg

∞

X

n=1

a_n jest zbie»ny, to lim

n→∞a_n = 0.

Równowa»nie powy»sze twierdzenie mo»na zapisa¢ w postaci:

Je»eli lim

n→∞an6= 0 lub lim

n→∞an nie istnieje, to szereg

∞

X

n=1

an jest rozbie»ny.

Kryteria zbie»no±ci szeregów

Kryterium caªkowe zbie»no±ci szeregów

Niech funkcja f b¦dzie nieujemna i nierosn¡ca na przedziale [n0, ∞), gdzie n0∈ N.

Wtedy szereg

∞

X

n=n₀

f (n) i caªka niewªa±ciwa

∞

Z

n0

f (x) dx s¡ jednocze±nie zbie»ne albo jednocze±nie rozbie»ne (do ∞).

Uwaga Reszta szeregu, czyli Rn=

∞

X

k=n+1

f (k)speªnia oszacowanie

∞

Z

n+1

f (x) dx ≤ Rn≤

∞

Z

n

f (x) dx.

Przykªady Korzystaj¡c z kryterium caªkowego, zbada¢ zbie»no±¢ podanych szeregów.

1.

∞

X

n=1

1

n²+ 4, 2.

∞

X

n=2

ln n n² .

Fakt Szereg

∞

X

n=1

1

n^p = 1 + 1 n+ 1

n² + 1 n³. . . jest zbie»ny dla p > 1 i rozbie»ny do ∞ dla p ≤ 1.

Kryterium porównawcze

Niech 0 ≤ an ≤ bn dla ka»dego n ≥ n0. Wówczas:

1. Je»eli szereg

∞

X

n=1

bn jest zbie»ny, to tak»e szereg

∞

X

n=1

an jest zbie»ny.

2. Je»eli szereg

∞

X

n=1

an jest rozbie»ny, to tak»e szereg

∞

X

n=1

bn jest rozbie»ny.

Uwaga Analogiczne twierdzenie jest prawdziwe dla szeregów o wyrazach niedodatnich.

Kryterium ilorazowe

Niech an, bn> 0 (lub an, bn < 0) dla ka»dego n ≥ n0 oraz niech

n→∞lim an

b_n = k, gdzie k ∈ (0, ∞).

Wówczas szeregi

∞

X

n=1

anoraz

∞

X

n=1

bns¡ jednocze±nie zbie»ne lub jednocze±nie rozbie»ne do ∞ (−∞).

Uwaga Zaªo»enie, »e wyrazy obu szeregów s¡ dodatnie (ujemne) jest istotne. Przykªadowo, szereg

∞

X

n=1

a_n =

∞

X

n=1

(−1)ⁿ

√n jest zbie»ny, szereg

∞

X

n=1

b_n =

∞

X

n=1

 1

n+(−1)ⁿ

√n



jest rozbie»ny, podczas gdy

n→∞lim a_n bn

= 1.

Przykªady Korzystaj¡c z kryterium porównawczego lub ilorazowego, zbada¢ zbie»no±¢ podanych szeregów:

1.

∞

X

n=1

√n²+ 1 n²+ 2 , 2.

∞

X

n=1

3ⁿ+ n n 3ⁿ+ 2ⁿ, 3.

∞

X

n=1

eⁿ− 1 3ⁿ− 1. Kryterium d'Alemberta

Niech q = lim

n→∞

an+1

a_n   

. Wówczas, je»eli q < 1 to szereg

∞

X

n=1

a_n jest zbie»ny, a gdy q > 1, to szereg

∞

X

n=1

a_n jest rozbie»ny.

Kryterium Cauchy'ego Niech q = lim

n→∞

p|an n|. Wówczas, je»eli q < 1 to szereg

∞

X

n=1

an jest zbie»ny, a gdy q > 1, to szereg

∞

X

n=1

a_n jest rozbie»ny.

Uwaga Je±li granica q = 1, to ani kryterium d'Alemberata, ani kryterium Cauchy'ego nie roz- strzyga czy badany szereg jest zbie»ny (czy te» rozbie»ny).

Przykªad Korzystaj¡c z kryterium d'Alemberta lub z kryterium Cauchy'ego, zbada¢ zbie»no±¢

podanych szeregów

1.

∞

X

n=1

n!

nⁿ, 2.

∞

X

n=1

nⁿ πⁿn!, 3.

∞

X

n=1

2ⁿ+ 3ⁿ 3ⁿ+ 4ⁿ, 4.

∞

X

n=1

arccosⁿ 1 n².

Przykªad Wykaza¢ zbie»no±¢ odpowiedniego szeregu, a nast¦pnie na podstawie warunku koniecz- nego zbie»no±ci szeregów uzasadni¢ podane równo±ci:

1. lim

n→∞

n²⁰¹⁵

3ⁿ = 0, 2. lim

n→∞

nⁿ n! = ∞.

Zbie»no±¢ bezwzgl¦dna i zbie»no±¢ warunkowa

Denicja Mówimy, »e szereg

∞

X

n=1

an jest zbie»ny bezwzgl¦dnie, gdy szereg

∞

X

n=1

|an| jest zbie»ny.

Mówimy, »e szereg

∞

X

n=1

anjest zbie»ny warunkowo, gdy jest zbie»ny, ale nie jest zbie»ny bezwzgl¦d- nie.

Twierdzenie Szereg zbie»ny bezwzgl¦dnie jest zbie»ny.

Uwagi

1. Je»eli szereg badany przy pomocy kryterium d'Alemberta lub Cauchy'ego jest zbie»ny, to kry- teria te gwarantuj¡ jednocze±nie jego zbie»no±¢ bezwzgl¦dn¡.

2. Szereg zbie»ny bezwzgl¦dnie jest zbie»ny do tej samej sumy przy dowolnym przestawieniu ko- lejno±ci wyrazów.

Twierdzenie Leibniza o szeregu naprzemiennym

Je±li ci¡g {bn}_n∈Njest nierosn¡cy od pewnego n0∈ N oraz lim

n→∞b_n = 0, to szereg naprzemienny

∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹bn = b1− b2+ b3− b4+ . . .

jest zbie»ny.

Ponadto, dla ka»dego n ≥ n0 prawdziwe jest oszacowanie reszty szeregu

|Rn| = |S − Sn| =     

S −

n

X

k=1

(−1)^k+1bk

≤ bn+1,

gdzie S oznacza sum¦ tego szeregu.

Przykªad Korzystaj¡c z twierdzenia Leibniza, uzasadni¢ zbie»no±¢ podanych szeregów naprze- miennych:

1.

∞

X

n=4

(−1)ⁿtgπ n, 2.

∞

X

n=1

(−1)ⁿp

n²+ 1 − n .