02DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa część 2
Ω – zbiór zdarzeń elementarnych. Gdy |Ω| < ∞ oraz P({ω}) = |Ω|1 , dla każdego ω ∈ Ω (tzn. każde zdarzenie elementarne jest równo prawdopodobne), to
P (A) = |A|
|Ω|
Przydatne wzory kombinatoryczne:
• n! = n · (n − 1) · . . . · 2 · 1:
– na tyle sposobów możemy ustawić n elementów w rzędzie.
• nk:
– tyle jest k–elementowych ciągów o wyrazach ze zbioru n–elementowego (elementy mogą się powtarzać w ciągu);
– na tyle sposobów możemy wybrać kolejno ze zwracaniem k elementów ze zbioru n–elementowego;
– na tyle sposobów możemy wybrać kolejno ze zwracaniem k razy jeden element ze zbioru n–elementowego;
• (n)k= n · (n − 1) · . . . · (n − k + 1) = (n−k)!n! :
– tyle jest k–elementowych ciągów o wyrazach ze zbioru n–elementowego, w których elementy nie mogą się powtarzać;
– na tyle sposobów możemy wybrać kolejno bez zwracania k elementów ze zbioru n–elementowego;
– na tyle sposobów możemy wybrać kolejno bez zwracania k razy jeden element ze zbioru n–elementowego;
– na tyle sposobów możemy wybrać kolejno k różnych elementów ze zbioru n–elementowego;
• nk =(n)k!k = (n−k)!k!n! :
– tyle jest k–elementowych zbiorów o wyrazach ze zbioru n–elementowego;
– na tyle sposobów możemy wybrać jednocześnie/na raz k elementów ze zbioru n–elementowego;
– na tyle sposobów możemy wybrać k elementów ze zbioru n–elementowego, jeśli kolejność wyborów nie jest istotna;
A Zadania na ćwiczenia
Zadanie A.1. 15 osób wsiada na parterze do windy. Każda z nich wysiada na jednym z 20 pięter (wybranym dowolnie).
Jaka jest szansa, że
a. na każdym piętrze wysiądzie co najwyżej jeden pasażer?
b. na ostatnim piętrze wysiądzie dokładnie 7 osób?
c. na dziesiątym piętrze wysiądą dokładnie 4 osoby, a na ostatnim dokładnie 7 osób?
d. na ostanim piętrze wysiądzie przynajmniej jeden pasażer?
e. na dziesiątym lub ostatnim piętrze nikt nie wysiądzie?
f. zarówno na dziesiątym, jak i na ostatnim piętrze ktoś wysiądzie?
g. na pewnym piętrze wysiądzie 7 osób, na innym 5, a na trzech po 1 osobie?
Zadanie A.2. Talia składa się z 16 figur i 36 blotek. Dobrze potasowane karty rozdajemy 4 graczom, każdemu po 13.
Która z poniższych liczb jest równa prawdopodobieństwu, że każdy z graczy otrzyma dokładnie 4 figury i 9 blotek.
a) 1344 / 5216
b) 1644 / 5213
c) 134 9 4
5
4/ 5216 36 16
20 16
d) (16 · 15 · 14 · 13)/164 e) 134−4
Zadanie A.3. W kapeluszu jest 36 różnych losów o wartości wygranej odpowiednio: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, . . . , 9, 9, 9, 9.
Losujemy kolejno, bez zwracania 6 z nich. Oblicz prawdopodobieństwo, że : a) pierwsze trzy losy mają wartość 1;
b) wylosowaliśmy 3 losy o jednej wartości i 3 o drugiej (np. 2, 3, 3, 2, 3, 2);
c) w sumie wylosowaliśmy dokładnie dwie różne wartości wygranych (np. 1, 5, 5, 5, 5, 1);
d) nie wylosowaliśmy żadnego losu o wartości 1;
1
e) wylosowaliśmy co najmniej jeden los o wartości 1;
f) każdy wylosowany los ma inną wartość.
Zadanie A.4. Jaś ma trzy klocki z numerem 1, cztery klocki z numerem 2 i 5 klocków z numerem 3. Ustawia je w losowy sposób w rządku. Jakie jest prawdopodobieństwo, że numery klocków utworzą liczbę parzystą?
Zadanie A.5. (zadanie 23 §1.5) W klasie jest 10 dziewcząt i 10 chłopców, którym przydzielono arbitralnie i losowo miejsca w 10 dwuosobowych ławkach. Jaka jest szansa, że w każdej ławce będzie siedziała dziewczynka i chłopiec?
Zadanie A.6. (zadanie 7 §1.5) Przy okrągłym stole siadają losowo Ania, Bartek i jeszcze sześć osób. Jaka jest szansa, że Ania i Bartek znajdą się obok siebie?
Zadanie A.7. W szafie znajduje się 10 par butów. Wybieramy z nich losowo 8 butów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród wybranych butów
a. nie ma ani jednej pary?
b. znajduje się dokładnie jedna para?
B Zadania domowe
ZADANIA PODSTAWOWE
Zadanie B.1. Jak zmienią się wyniki w zadaniu A.3 przypadku zmiany doświadczenia na losowanie ze zwracaniem ? Zadanie B.2. Ustawiamy losowo w rzędzie 10 par małżeńskich (mąż nie musi stać koło swojej żony). Oblicz prawdopodo- bieństwo następujących zdarzeń:
a. 10 pierwszych osób to kobiety, b. każdy mąż stoi obok swojej żony.
Zadanie B.3. Z tradycyjnej talii 24 kart wybieramy pięć. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania następujących układów:
jedna para (i nic więcej), dwie pary (i nic więcej), strit, full, poker.
Zadanie B.4. Do n różnych urn wrzucamy losowo k różnych kulek. Jakie jest prawdopodobieństwo, że (a) w każdej urnie będzie co najwyżej jedna kulka (zakładamy tutaj, że k ¬ n) ?
(b) w pierwszej urnie będą co najwyżej 2 kule ? (c) w ostatniej urnie będą co najmniej 2 kule ?
Zadanie B.5. Z cyfr 1, 2, . . . , 9 losujemy kolejno 10 ze zwracaniem i zapisujemy w otrzymanej kolejności. Oblicz prawdopodobieństwo, że największa z wylosowanych cyfr jest równa 7.
Zadanie B.6. Dzielimy talię 52 kart na dwie równe części. Oblicz prawdopodobieństwo, że:
a. w obu częściach będą po 2 asy, b. w jednej części będą 3 asy.
Zadanie B.7. Z 52 kart wybieramy 13. Jaka jest szansa, że otrzymamy a. dokładnie 7 kart pewnego koloru?
b. dokładnie 6 kart pewnego koloru?
Zadanie B.8. Ulicą spaceruje n (n > 3) zadbanych psów, które pcheł oczywiście nie posiadają. Tą samą ulicą spaceruje t głodnych pcheł (t > 4). W pewnym momencie każda z nich wskakuje na losowo wybranego psa (to oznacza, że będziemy zakładać, że każdy możliwy rozkład tych t pcheł na n psach jest jednakowo prawdopodobny; zakładamy również, że zarówno psy jak i pchły są rozróżnialne). Jakie jest prawdopodobieżstwo, że :
a) na pierwszym psie wylądują dokładnie 3 pchły ? b) na ostatniego psa wskoczy przynajmniej jedna pchła ? c) pierwszy lub drugi pies pozostanie szczęśliwie bez pcheł ?
d) zarówno na pierwszym, jak i na drugim psie znajdzie się przynajmniej jedna pchła ? ZADANIA DLA TYCH, KTÓRZY MIELI PROBLEM Z PODSTAWOWYMI
Zadanie B.9. Tasujemy talię kart i otrzymujemy permutację, która ma takie samo prawdopodobieństwo jak dowolna inna permutacja ze zbioru wszystkich 52! permutacji. Oblicz prawdopodobieństwa następujących zdarzeń.
2
a) Wśród pierwszych dwóch kart jest przynajmniej jeden as.
b) Wśród pierwszych pięciu kart jest przynajmniej jeden as.
c) Pierwsze dwie karty stanowią parę o tej samej wartości (wartości to: A, K, D, W, 10, 9, . . . , 2).
d) Pierwszych pięć kart to kiery.
e) Wśród pierwszych pięciu kart są dwie figury tej samej wartości i trzy blotki tej samej wartości. (Figury: A, K, D, W ; blotki: 10, 9, 8, . . . , 2).
Zadanie B.10. Rzucamy n razy (n 9) standardową kostką do gry. Jaka jest szansa, że wypadnie dokładnie sześć jedynek, trzy czwórki i poza tym inne wartości?
Zadanie B.11. (zadanie 11 §1.5) Rozdano 52 karty czterem graczom, po 13 kart każdemu. Jaka jest szansa, że każdy ma asa?
Zadanie B.12. (zad 22 §1.5) Leszek i Olek decydują o tym, kto zapłaci za obiad. Leszek wziął dwie krótkie i dwie długie zapałki i kazał koledze wylosować (bez zwracania) dwie, mówiąc „ jeśli wylosujesz krótszą i dłuższą, to płacisz, a w przeciwnym razie – ja”. Jaka jest szansa, że Olek zapłaci za obiad?
Zadanie B.13. (Zadanie 3 §1.5) W urnie są 2 kule białe i 4 czarne. Losujemy 2 kule bez zwracania. Co jest bardziej prawdopodobne, wyciągnięcie a) kul tego samego koloru; b) różnych kolorów?
Zadanie B.14. Oblicz prawdopodobieństwo wypadnięcia k orłów w n rzutach symetryczną monetą.
Zadanie B.15. Rzucamy 5 razy kostką. Oblicz prawdopodobieństwo, że uzyskamy dokładnie dwie różne wartości (np.
2,4,2,2,4).
C Zadania dla chętnych
Zadanie C.1. (Zad 13 §1.5) W Toto-Lotku losuje się 6 liczb z 49. Jaka jest szansa, że żadne dwie nie będą kolejnymi?
Zadanie C.2. W wyborach startuje dwóch kandydatów. Do urny wrzucono 100 głosów na pierwszego i 100 głosów na drugiego kandydata. Losowo wybieramy z urny próbkę 99 głosów (losowo oznacza, że z jednakowym prawdopodobieństwem otrzymujemy każdy możliwy podzbiór 99-elementowy). Oblicz prawdopodobieństwo, że większość w próbce stanowią głosy oddane na pierwszego kandydata. UWAGA: nie chodzi o wynik w postaci sumy.
Zadanie C.3. Czy prawdopodobieństwo, że rzucając 100 razy symetryczną monetą, wyrzucimy więcej orłów niż reszek, wynosi 1/2?
Zadanie C.4. Z cyfr 1, 2, . . . , 9 losujemy kolejno 5 ze zwracaniem i zapisujemy w otrzymanej kolejności. Oblicz prawdo- podobieństwo, że
a. otrzymana liczba 5-cyfrowa jest podzielna przez 3.
b. iloczyn cyfr jest podzielny przez 10.
Zadanie C.5. Oblicz prawdopodobieństwo, że wybierając kolejno, z powtórzeniami trzy liczby x, y, z spośród 0, 1, . . . , 10, otrzymamy rozwiązanie równania x + y + z = 10.
Zadanie C.6. Rzucamy dziesięcioma sześciennymi kostkami do gry. Następnie rzucamy ponownie tymi kostkami, na których nie wypadła ani jedynka, ani dwójka. W trzeciej rundzie rzucamy tymi kostkami, na których do tej pory nie wypadła ani jedynka, ani dwójka. W czwartej rundzie rzucamy tymi kostkami, na których do tej pory nie wypadła ani jedynka, ani dwójka, i tak dalej. Oblicz prawdopodobieństwo, że po siedmiu rundach na każdej z kostek będzie jedynka lub dwójka.
3
Odpowiedzi do niektórych zadań
B.1 a) 913 b) (92)(63)
96 c) (92)(26−2)
96 d) 8966 e) 1 −9866 f) (9)966 B.2 a) 10!10!20! b) 10!220!10
B.3 6(42)(53)43
(245) , (62)(42)216 (245) , 2·45
(245) (zakładamy, że poker też jest stritem), 6(43)5(42) (245) , 2·4
(245)
B.4 (a) (n)nkk (b) (n−1)
k+k(n−1)k−1+(k2)(n−1)k−2
nk (c) nk−(n−1)kn−k(n−1)k k−1
B.5 7109−61010
B.6 (a) (42)(4824)
(5226) (b)(41)(2548)+(43)(4823)
(5226) = 2(41)(4825) (5226)
B.7 a) 4(137)(396)
(5213) b) 4(136)(397)
(5213) - 4226(136)(136) (5213)
B.8 a) (3t)(n−1)t−3
nt b) 1 −(n−1)nt t c) 2(n−1)nt t −(n−2)nt t d) 1 − (2(n−1)nt t −(n−2)nt t) B.9 a) 1 −(48)52!250! b) 1 −(48)52!547! c) 13·(4)52!2·50! d) (13)52!5·47! e) 4·(42)·9·(43)·5!·47!
52! = 4·9·(52)·(4)2·(4)3·47!
52!
B.10 (n6)(n−63 )4n−9
6n
B.13 a) 7/15 b) 8/15
B.14 (nk)
2n
B.15 (62)(25−2)
65
4
