• Nie Znaleziono Wyników

X XX X XX X XXXXXXXXXXXXXX X XXX XX X

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "X XX X XX X XXXXXXXXXXXXXX X XXX XX X"

Copied!
2
0
0

Pełen tekst

(1)

11. Zadania do wykładu Wstęp do matematyki dyskretnej

1. Szachownica o wymiarach 4 × 5 ma pewne pola zabronione jak na rysunku poniżej.

y1 y2 y3 y4 y5

x1

X

x2

X X

x3

X X X

x4

X

5

Chcemy umieścić na szachownicy jak największą liczbę nie atakują- cych się wież. Narysować graf dwudzielny związany z tym zagadnie- niem. Pokazać, że zbiór krawędzi M = {{x1, y1}, {x2, y4}, {x4, y2}}

jest skojarzeniem. Znaleźć skojarzenie maksymalne.

2. Dla szachownicy poniżej wyznaczyć graf dwudzielny G i znaleźć 6 pól, w których można umieścić nie atakujące się wieże.

X X

X X

X X

X X X X X X

X X

3. Rozważmy szachownicę z zadania 1, której pola zostały pomalowane na przemian na biało i czarno. Oznaczamy nie zabronione białe pola symbolami b1, b2, . . . , b7 a czarne pola symbolami c1, c2. . . , c6 tak jak na rysunku.

b1

X

b2 c1 b3

c2 b4

X

b5

X

X

c3

X

c4

X X

b6 c5 b7 c6

Chcemy położyć na szachownicy jak największą liczbę kostek domino.

Narysować graf dwudzielny związany z tym zagadnieniem. Pokazać, że M = {{b1, c2}, {b3, c1}, {b6, c3}, {b7, c4}} jest skojarzeniem. Znaleźć skojarzenie maksymalne.

(2)

4. Wyznaczyć dominowy graf dwudzielny dla szachownicy z zadania 2.

Znaleźć skojarzenie złożone z 10 krawędzi i związane z nim doskonałe pokrycie szachownicy kostkami domino.

5. Pokazać, że przykład 4 osób starających się o 5 posad, omówiony na wykładzie jest równoważny zagadnieniu z zadania 1. Narysować odpo- wiednią szachownicę.

6. Szachownica ma wymiar m × n, przy czym przynajmniej jedna z liczb m lub n jest parzysta oraz m, n ­ 2. Pokazać, że jeśli dokładnie jedno pole białe i jedno czarne są zabronione, to otrzymana szachownica posiada doskonałe pokrycie kostkami domino (porównać z zadaniem 1 z listy 1).

7. G = (X, ∆, Y ) jest grafem dwudzielnym o własności, że każdy wierz- chołek z X należy do przynajmniej p krawędzi oraz każdy wierzchołek z Y należy do co najwyżej p krawędzi. Poprzez przeliczenie krawędzi pokazać, że |Y | ­ |X|.

8. Graf dwudzielny G = (X, ∆, Y ) nazywamy regularnym stopnia p, jeśli każdy wierzchołek należy do dokładnie p krawędzi. Pokazać, że jeśli graf G jest regularny oraz |X| = |Y | = n, to istnieje skojarzenie M złożone z n krawędzi. Takie skojarzenie nazywamy doskonałym.

9. Rozważmy szachownicę n × n z pewnymi zabronionymi polami, o wła- sności, że każdy wiersz i każda kolumna ma dokładnie p nie zabronio- nych pól. Pokazać, że na szachownicy można umieścić n nie atakują- cych się wież.

Cytaty

Powiązane dokumenty

Dla parametrycznego wektora ograniczeń w pierwszej tabeli [8-t, 4+t, 3-2t] obliczyć wektor ograniczeń w ostatniej, wskazać, dla jakich t baza pozostaje dopuszczalna i

and three prototypes per lass sele ted with respe t to the referen e ones (i.e.. The training times of the E k P method attained on one rossvalidation fold in se onds. Two

(….) dr Agnieszka Domagała-. Kręcioch I Pedagogika/PEiZ

Proszę się z nimi zapoznać i według tych wzorów oraz własnych spostrzeżeń i przemyśleń proszę obliczyć pochodne funkcji zawartych w tematach

Ile jest trójkątów o wierzchołkach w zaznaczonych na rysunku punktach, jeżeli wszystkie boki trójkąta są nierównoległe do linii siatki?. Jaką miarę ma kąt

Odwołując się do znajomości Zemsty, nazwij rodzaje występującego komizmu oraz podaj do każdego z nich odpowiedni przykład z utworu... Niektórzy - czyli

Na schematach przedstawiono dwa rodzaje tkanki okrywającej. Gromadzi materiały zapasowe i występuje głównie w podziemnych częściach rośliny. Posiada żywe komórki, chloroplasty

Następnie szuka się takiej wartości p, dla której logarytm funkcji wiarygodności ma największą wartość.... Gdy rozkład jest normalny to 1,5 IQR odpowiada wartości