Ćwiczenia nr 11, RP, 27.5.2020
Prawa wielkich liczb i szeregi zmiennych losowych
Zadanie 1. Niezależne zmienne losowe X1, X2, . . . mają rozkład jednostajny na [−1, 1]. Wykazać, że X1 · X2· · · Xn
−−→ 0.p.n.
Zadanie 2. Udowodnij tzw. słabe prawo wielkich liczb Bernoulliego (skorzystaj z nierówności Czebyszewa):
jeśli Sn∼ Bern(n, p), ε > 0, to
n→∞lim P
|Sn
n − p| ¬ ε
= 1.
Zadanie 3. Udowodnij tzw. mocne prawo wielkich liczb Bernoulliego: jeśli (Xn) jest ciągiem niezależnych prób Bernoulliego, P(Xi= 1) = p = 1−P(Xi= 0), Sn= X1+X2+. . .+Xn, toSnn → p z prawdopodobieństwem 1. (Skorzystaj (a) z nierówności Bernsteina: P |Snn − p| > ε ¬ 2e−nε2/4. (b) albo z twierdzenia o dwu szeregach. )
Zadanie 4. Rozważmy ciąg paraminiezależnych zdarzeń A1, A2, . . .. Oznaczmy pk = P(Ak), Nn =Pn i=11Ai. Wykazać, że
Nn
n −p1+ p2+ . . . + pn n
−→ 0.P
Zadanie 5. Udowodnij, że jeśli zmienne losowe (Xn) mają wspólnie ograniczoną wariancję, a ponadto Cov(Xi, Xj) = 0 dla |i − j| > 1, to ciąg (Xn) spełnia SPWL.
Zadanie 6. Niech (Xn) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie jednostajnym na [0, 1].
Wykazać, że
X1X2+ X2X3+ . . . + XnXn+1
n + 2020 jest zbieżny p.n. i oblicz jego granicę.
Zadanie 7. Niech (Xn) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie wykładniczym z para- metrem λ = 1. Wykazać, że ciąg
X1+ X2+ . . . + Xn− 6√ n X12+ . . . + Xn2+ n jest zbieżny p.n. i oblicz jego granicę.
Zadanie 8. Niech (Xn) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie P(Xn= 1) = 1/2, P(Xn= 0) = 1/2 − 1/n2, P(Xn= n) = 1/n2. Wykazać, że ciąg X1+...+Xn n jest zbieżny p.n. i obliczyć jego granicę.
Zadanie 9. Zmienne (Xn) są niezależne, Xn ∼ U ([1/n, 1]). Udowodnij, że ciąg X1+...+Xn n jest zbieżny p.n. i oblicz jego granicę.
Zadanie 10. Niech (Xn) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie takich, że EX14< ∞. Wykazać, że (Xn) spełnia mocne prawo wielkich liczb, t.j.
P({ω :
X1(ω) + . . . + Xn(ω)
n → EX1}) = 1.
Zadanie 11. Niech (Ω, F , P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Rozważamy ciąg σ-ciał Fn ⊂ F oraz tzw.
σ-ciało resztowe
F∞=
∞
\
n=1
σ(Fn, Fn+1, . . .).
Udowodnij, że jeśli zmienna losowa X jest mierzalna względem F∞, to X jest stała p.n.
Zadanie 12. (Xn) jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie (a) P(Xn= 2−n) =12 = P(Xn= 0);
1
(b) P(Xn= 1) = 1n = 1 − P(Xn= 0).
Sprawdź zbieżność szeregu P∞
n=1Xn w obu przypadkach.
Zadanie 13. (Xn) jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie, a ponadto P(Xn6=
0) > 0 dla każdego n. Udowodnij, że P∞
n=1Xn jest rozbieżny p.n.
Zadanie 14. (Xn) jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie
P(Xn = n) = 1
n3 = P(Xn= −n), P(Xn= 0) = 1 − 2 n3. Udowodnij, żeP∞
n=1Xn jest zbieżny p.n. mimo, żeP∞
n=1Var Xn = ∞.
Zadanie 15. (εn) jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie P(εn = 1) = 12 = P(εn = −1).
Znajdź warunek konieczny i wystarczający na ciąg liczbowy (an) na to, byP∞
n=1anεn był zbieżny p.n.
Zadanie 16. [Tw. Bernsteina] Jeśli istnieje C, że Var Xn ¬ C dla każdego n oraz współczynnik korelacji ρ(Xi, Xj) → 0 przy |i − j| → 0, to (Xn) spełnia SPWL.
Zadanie 17. (Xn)n2 niezależne zmienne losowe, P(Xn = n) = n ln n1 = P(Xn= −n), P(Xn= 0) = 1 −n ln n2 . Udowodnij, że (Xn) spełnia SPWL, ale nie spełnia MPWL.
Zadanie 18. Niech f : [0, 1] → R będzie funkcją ciągłą. Oblicz granice:
(a) √1nR1 0
R1 0 . . .R1
0 px21+ . . . x2ndx1. . . dxn; (b) R1
0
R1 0 . . .R1
0 f (x1+...+xn n)dx1. . . dxn; (c) R1
0
R1 0 . . .R1
0 f (√n
x1· x2· . . . · xn)dx1. . . dxn;
Zadanie 19. Niech (εn) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o tym sam rozkładzie εn∼ pδ1+ (1 − p)δ−1, Sn= ε1+ . . . + εn. Udowodnij, że:
(a) Jeśli p > 1/2, to P(lim Sn = +∞) = 1;
(b) Niech a, b ∈ N, ra= P(∃nSn = a, S1, S2, . . . , Sn−1> −b). Jeśli p = 1/2, to r = a+bb . Jeśli zaś p 6= 12, to ra =(p/q)1−(p/q)a−(p/q)c c, gdzie c = a + b.
Zadanie 20. Mamy 20 zł, a na powrót do domu potrzebujemy 40 zł. Idziemy do kasyna i gramy w ruletkę amerykańską z szansą wygranej pojedynczej kolejce równej p = 18/38. Rozważamy dwie strategie:
(a) (ostrożna) Stawiamy po 1 zł i liczymy, że w końcu uzbieramy 40zł na powrót do domu.
(b) (odważna) Od razu stawiamy 20 zł.
Która ze strategii jest lepsza (daje większe prawdopodobieństwo sukcesu)?
Zadanie 21. Pijak (i to pijany) stoi 3 kroki od przepaści. Szansa wykonania kroku w kierunku przepaści wynosi 1/3, w przeciwnym — 2/3, kroki są niezależne. Jaka jest szansa ocalenia?
Zadanie 22. (Xn) niezależne zmienne losowe, P(Xn = 2n) = 12 = P(Xn = −2n). Udowodnij, że ciąg ten nie spełnia SPWL.
Zadanie 23. (Xn) są zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie, EX1 < ∞, niekoniecznie niezależnymi.
Czy musi istnieć granica limX1+X2+...+Xn n p.n.?
Zadanie 24. Niech (an) będzie ciągiem liczb dodatnich, a (Xn) ciągiem niezależnych zmiennych losowych, Xn∼ U ([0, an]). Udowodnij, żeP∞
n=1e−3Xn jest zbieżny p. n. wtedy i tylko wtedy, gdyP∞
n=11/an< ∞.
Zadanie 25. (Xn) niezależne zmienne losowe, Xn∼ U ([−n, n]). Dla jakich p > 0 szeregP∞ n=1
Xn
np jest zbieżny?
2
