Funkcja f : A → R jest ciągła, jeśli jest ciągła w każdym punkcie a ∈ A

28.4.2020, kl 2b

Własności funkcji ciągłych

Definicja. Funkcja f : A → R jestciągław punkcie a ∈ A, jeśli dla każdego ciągu x_n ∈ A takiego, że lim_n→∞x_n= a i takiego, że x_n 6= a przy każdym n, ciąg y_n := f (x_n) jest zbieżny do f (a). Funkcja f : A → R jest ciągła, jeśli jest ciągła w każdym punkcie a ∈ A.

Zadanie 1. Sformułuj definicję ciągłości funkcji f w terminach „-δ”.

Przyklad. . (a) y = b[c x] jest nieciągła w punktach x ∈ Z; (b) y = [(x − 1) bxc] jest nieciągła w x ∈ Z, x 6= 1; tg x jest ciągła (we wszystkich punktach dziedziny); (c) Funkcja charakterystyczna χ_Q zbioru liczb wymier- nych jest nieciągła w każdym punkcie. Zmodyfikuj ten przykład i podaj funkcję, której zbiorem punktów nieciągłości jest Q.

Zadanie 2. Funkcja f , określona na przedziale [0, 1], spełnia f (0) < 0 i f (1) > 0. Uzasadnij, że znajdą się takie liczby a, b ∈ [0, 1], że |a − b| <

0.001, f (a) ¬ 0 i f (b) ­ 0.

Zadanie 3. Funkcja f : [0, 1] → R jest ciągła i spełnia f (0) < 0, a f (1) > 0.

Uzasadnij, że znajdzie się liczba a ∈ [0, 1], że f (a) = 0.

Zadanie 4. Uzasadnij, że funkcja f , ściśle rosnąca, określona na odcinku [a, b], jest ciągła na tym przedziale wtedy i tylko wtedy, gdy przyjmu- je wszystkie wartości z przedziału [f (a), f (b)].

Zadanie 5. Udowodnij, że funkcja, określona i ciągła na przedziale [a, b] musi być ograniczona.

Zadanie 6. Udowodnij, że funkcja, określona i ciągła na przedziale [a, b]ma wartości największą i najmniejszą: jeśli f : [a, b] → R, to istnieją takie s, S ∈ [a, b], że dla każdego a ¬ x ¬ b mamy f (s) ¬ f (x) ¬ f (S).

Zadanie 7. Udowodnij, że wielomian stopnia nieparzystego o współczynni- kach rzeczywistych ma pierwiastek.

Zadanie 8. Funkcja f : [0, 1] → [0, 1] jest ciągła. Uzasadnij, że f mapunkt stały: istnieje takie x ∈ [0, 1], że f (x) = x.

Zadanie 9. Niech f (x) = 4x(1 − x). Znajdź liczbę rozwiązań równania (a) f (x) = x, (b) f (f (x)) = x, (c) układu równań







4x(1 − x) = y, 4y(1 − y) = z, 4z(1 − z) = x.

Zadanie 10. Udowodnij, że dowolna funkcja niemalejąca f : R → R jest ciągła w co najmniej jednym punkcie.

Zadanie 11. Udowodnij, że dowolna funkcja ciągła f : [a, b] → R spełnia warunek

∀>0∃δ>0∀x,x⁰∈[a,b]|x − x⁰| < δ =⇒ |f (x) − f (x⁰)| < .

Uzasadnij, że funkcja ciągła x 7→ x², x ∈ R, nie spełnia tego warunku.

Zadanie 12. Niech

f (x) = sin

log₂

2^x2+ cos log₂(x²+ 7)




2 + cosp1 + |x|

(x²+ 1)¹⁰

Udowodnij, że f : R → R ma wartość najmniejszą i największą.

Na majówkę

Zadanie 13. Pewna piłka nożna uszyta jest z pięciokątów i sześciokątów. W każdym pięciokącie spotyka się 5 sześciokątów, a w każdym sześciokącie spotykają się trzy pięciokąty i trzy sześciokąty. Ile ścian ma ta piłka?

Zadanie 14. Niech [n] = 11 . . . 1

| {z }

n jedynek

, [n]♣ := [1] · [2] · . . . · [n]. Udowodnij, że [n]♣ · [m]♣ dzieli liczbę [n + m]♣.

Zadanie 15. Oblicz sumę 100

99 +100 · 98

99 · 97 +100 · 98 · 96

99 · 97 · 95 + . . . +100 · 98 · . . . · 2 99 · 97 · . . . · 1. Zadanie 16. Znajdź takie liczby całkowite a, b, że 0, 999 < a + b√

2 < 1.

Zadanie 17. Dany jest ciąg dodatnich liczb . . . a₋₂ < a₋₁ < a0 < a1 <

a2 < . . . (a : Z → R). Definiujemy b^k, gdzie k ∈ N, jako najmniejszą liczbę całkowitą o własności: suma każdych k kolejnych wyrazów ciągu (ai) podzielona przez największy z nich nie przekracza bk. Udowodnić, że albo ciąg b1, b2, b3, . . . jest ciągiem liczb naturalnych 1, 2, 3, . . ., albo od pewnego miejsca jest ciągiem stałym.

Powodzenia !