1
STATYSTYKA MATEMATYCZNA L W Z
KOLOKWIUM 2 - WZ ´OR
1A) (5 pkt) G¸esto´s˙c zmiennej losowej X ma posta˙c:
f (x) =
( ax , 0 < x < 4
0 dla pozosta lych x
a) Obliczy˙c sta l¸a a. b) Wyznaczy˙c P (X > 12). c) Obliczy´c warto´s´c oczekiwan¸a zmiennej losowej X.
1B) (5 pkt) G¸esto´s˙c zmiennej losowej X ma posta˙c:
f (x) =
( 1
2(2 − x) dla 0 < x < 2 0 dla pozosta lych x
a) Znale´z˙c dystrybuant¸e zmiennej losowej X. b) Znale´z´c kwantyl rz¸edu 34 zmiennej losowej X. c) Obliczy´c warto´s´c oczekiwan¸a zmiennej losowej X.
1C) (5 pkt) Obs luga dzia la artyleryjskiego ma 3 pociski. Prawdopodobie´nstwo trafienia do celu jednym pociskiem wynosi 0.6. Strzelanie ko´nczy si¸e w chwili trafienia do celu lub wyczerpania pocisk´ow. Niech X-liczba oddanych niezale˙znie strza l´ow. a) Znale´z˙c funkcj¸e prawdopodobie´nstwa zmiennej losowej X. b) Znale˙z˙c warto´s˙c oczekiwan¸a liczby oddanych strza l´ow. c) Znale´z˙c median¸e zmiennej losowej X.
2A) (5 pkt) B l¸ad pomiaru pewnym przyrz¸adem ma rozk lad normalny o warto´sci oczekiwanej 1 i odchyleniu standardowym r´ownym 6. Dokonano 12 pomiar´ow tym przyrz¸adem. Jakie jest prawdopodobie´nstwo, ˙ze wyniki dok ladnie 2 pomiar´ow b¸ed¸a co do modu lu mniejsze od 3 ?
2B) (5 pkt) Wiadomo, ˙ze ´srednio co pi¸ata osoba umie rozwi¸aza´c to zadanie. Ile os´ob trzeba wylosowa´c do badania aby z prawdopodobie´nstwem 0.98 w wylosowanej pr´obie mi¸edzy 18% a 22%
wylosowanych os´ob umia lo rozwi¸aza´c to zadanie. Zak ladamy, ˙ze badane osoby rozwi¸azuj¸a to zadanie niezale˙znie od siebie.
2C) (5 pkt) Wiadomo, ˙ze ´srednio co dziesi¸ata osoba uwielbia rozwi¸azywa´c zadania z Rachunku Prawdopodobie´nstwa. Zapytano 900 losowo wybranych os´ob czy uwielbiaj¸a rozwi¸azywa´c zadania z Rachunku Prawdopodobie´nstwa. Znale´z˙c tak¸a liczb¸e k, ˙ze z prawdopodobie´nstwem 0.8 liczba os´ob uwielbiaj¸acych rozwi¸azywa´c zadania z Rachunku Prawdopodobie´nstwa w badanej pr´obie jest pomi¸edzy k a 108. Zak ladamy, ˙ze osoby uwielbiaj¸a rozwi¸azywa´c zadania niezale˙znie od siebie.
3) (4 pkt) Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) ma rozk lad prawdopodobie´nstwa dany tabelk¸a:
@@
XY
−2 2
−2 −1 0 1 0.2 0.2 0 0 0.1 0.1 0.3 0.1
a) Obliczy˙c wsp´o lczynnik korelacji zmiennych X i Y . b) Czy zmienne losowe X i Y s¸a niezale˙zne?
c) Znajd´z prost¸a regresji Y wzgl¸edem X.
UWAGA! Kolokwium b¸edzie sk lada˙c si¸e z 3 zada´n. Jednego pierwszego, jednego drugiego i jednego trzeciego. Czas trwania - 60 minut.
ODPOWIEDZI:
1A) a) a = 18, b) 6364, c) 83; 1B) a) F (x) = 0 dla x < 0, F (x) = x − 14x2 dla 0 < x ≤ 2, F (x) = 1 dla x > 2, b) 1, c) 23; 1C) a) P (X = 1) = 0.6, P (X = 2) = 0.24, P (X = 3) = 0.16, b) 1.56, c) 1;
