AKADEMIA G ´ORNICZO-HUTNICZA im. Stanis̷lawa Staszica w Krakowie OLIMPIADA
”O DIAMENTOWY INDEKS AGH” 2012/13 MATEMATYKA - ETAP II
ZADANIA PO 10 PUNKT ´OW 1. Rozwia𝜄˙z r´ownanie (5√
2 − 7)𝑥−1 = (5√
2 + 7)3𝑥.
2. Jedna z krawe𝜄dzi bocznych ostros̷lupa jest prostopad̷la do jego pod- stawy, be𝜄da𝜄cej prostoka𝜄tem o bokach d̷lugo´sci 5 cm i 12 cm. Najd̷lu˙zsza krawe𝜄d´z boczna jest nachylona do p̷laszczyzny podstawy pod ka𝜄tem 60𝑜. Oblicz pole powierzchni bocznej ostros̷lupa.
3. Wyznacz dziedzine𝜄 funkcji okre´slonej wzorem
𝑓 (𝑥) =√log𝜋−1(2𝑥 − 1) − log𝜋−1(5 − 3𝑥).
4. Oblicz granice𝜄 cia𝜄gu (𝑎𝑛), gdzie
𝑎𝑛 = 3 + 6 + 9 + . . . + 3𝑛 (2𝑛 + 1)2 .
ZADANIA PO 20 PUNKT ´OW 5. Wyka˙z, ˙ze (2𝑛 + 2)-cyfrowa liczba 11 . . . 1
| {z }
𝑛
22 . . . 2
| {z }
𝑛+1
5 jest kwadratem liczby naturalnej (dla dowolnego 𝑛).
6. Dane sa𝜄 punkty 𝐴 = (−5, 0), 𝐵 = (−3, −4), 𝐶 = (3, 4), 𝑀 = (7, 1).
Z punktu 𝑀 poprowadzono styczne 𝑘 i 𝑙 do okre𝜄gu opisanego na tr´ojka𝜄- cie 𝐴𝐵𝐶. Oblicz pole tr´ojka𝜄ta 𝐾𝐿𝑀 , gdzie 𝐾 i 𝐿 sa𝜄 punktami stycz- no´sci prostych 𝑘 i 𝑙 z tym okre𝜄giem.
7. Rzucamy moneta𝜄𝑛 razy (𝑛 ≥ 2). Oblicz prawdopodobie´nstwa zdarze´n:
𝐴: reszka wypad̷la dok̷ladnie 𝑘 razy;
𝐵: reszka wypad̷la wie𝜄cej razy ni˙z orze̷l;
𝐶: przynajmniej dwa razy pod rza𝜄d moneta upad̷la ta𝜄 sama𝜄 strona𝜄.
