VIII Podstawy teoretyczne projektowania elementów konstrukcji stalowych ze wzgl

Współczesna mechanika konstrukcji w projektowaniu inżynierskim

Modern structural mechanics

with applications to civil engineering Andrzej Garstecki, Wojciech Gilewski, Zbigniew Pozorski, eds.

VIII

Podstawy teoretyczne projektowania

elementów konstrukcji stalowych ze względu na kryteria stateczności

str. 205-234

VIII

Designing of steel structural elements with respect

to buckling criteria - theoretical basis

pp. 205-234

Jakub Marcinowski

Uniwersytet Zielonogórski

Wydział Budownictwa, Architektury i Inżynierii Środowiska Instytut Budownictwa

Słowa kluczowe: konstrukcje stalowe, stateczność, nośność wyboczeniowa, krzywe wyboczeniowe

Keywords: steel structures, stability, buckling resistance, buckling

resistance curves

VIII PODSTAWY TEORETYCZNE PROJEKTOWANIA ELEMENTÓW KONSTRUKCJI STALOWYCH ZE WZGLĘDU NA KRYTERIA STATECZNOŚCI

Jakub MARCINOWSKI

Wstęp

Użytkownik norm przedmiotowych z zakresu projektowania smukłych konstrukcji stalowych bardzo często spotyka się z zaleceniami sformułowanymi w taki sposób, że trudno się w nich doszukać racjonalnych przesłanek wynikających z reguł ogólnych mechaniki konstrukcji i znanych modeli materiałowych. Zaufanie do autorów norm wobec często zbyt pochopnie wypowiadanych słów krytyki jest niestety niewielkie. Jeśli nakłada się na to dodatkowa nieznajomość przesłanek teoretycznych, które legły u podstaw zapisów normowych, to zrozumiały jest dyskomfort przeciętnych użytkowników norm.

Głównym celem tego opracowania jest prezentacja podstaw teoretycznych zaleceń i rekomendacji projektowych zawartych w obowiązujących normach projektowania konstrukcji, a dotyczących stateczności. Rozdział zawiera jedynie wybrane problemy stateczności słupów, płyt i belek. Rozważania ograniczono do konstrukcji stalowych, gdyż zwłaszcza w przypadku tych konstrukcji występują elementy na tyle smukłe, że kryteria stateczności stają się decydujące w procesie oceny nośności przekrojów, elementów i całych konstrukcji.

Słowa kluczowe: konstrukcje stalowe, stateczność, nośność wyboczeniowa, krzywe wyboczeniowe.

1. Projektowanie słupów ze względu na kryterium stateczności giętnej

Do wieku XVIII w budownictwie nie występowały ściskane elementy smukłe. Słupy ceglane czy kamienne były na tyle krępe, ze problem utraty stateczności nie miał wpływu na ich nośność. Wzór Eulera na siłę krytyczną w pręcie ściskanym został przedstawiony w 1757 (por. [6]), wcześniej nim pojawiły się pierwsze, smukłe elementy ściskane.

Do najstarszych, bardzo smukłych elementów ściskanych zastosowanych w budownictwie zaliczyć należy słupy żeliwne wykorzystane do podparcia elementów zadaszenia wejścia do klasztoru w Portugalii w 1752 r. Były to słupy o długości ok. 2,75 m i średnicy 140 mm [1]. W wieku XIX pojawiła się stal, materiał o relatywnie wysokich

parametrach wytrzymałościowych, nie używany wcześniej do wykonywania całych elementów konstrukcyjnych. Pierwsze wyroby walcowane ze stali (były to szyny) wykonano w 1860 roku. Najstarsze tablice kształtowników walcowanych pochodzą z 1887 r. W ofercie Dorman Long & CO (por. [2]) znalazły się dwuteowniki o wymiarach 508×210 (wysokość×szerokość półki w mm) i masie 149 kg/mb, ale i dwuteowniki 76×36 o masie 7 kg/mb, a więc elementy bardzo smukłe.

Architekci i konstruktorzy mogli wykorzystywać elementy o smukłościach dotąd nie spotykanych. Stawiało to przed nimi nowe wyzwanie: problem utraty stateczności na skutek wyboczenia czy zwichrzenia stał się niezwykle aktualny. Pierwsze awarie stalowych mostów kratowych były spowodowane wyboczeniem elementów ściskanych.

Na ostatnie dekady dziewiętnastego wieku przypada okres budowy pierwszych obiektów kubaturowych ze stali. Budowa budynków mieszkalnych i przemysłowych w tej technologii została zapoczątkowana w Stanach Zjednoczonych i to stamtąd pochodzą pierwsze propozycje wymiarowania słupów z uwzględnieniem wyboczenia.

Pierwsze propozycje obliczeń wytrzymałościowych smukłych słupów z uwzględnieniem wyboczenia pochodzą od Wiliama Rankine’a i zostały przedstawione niemal 100 lat później (por. [1]).

Kryteria naprężeniowe projektowania słupów ściskanych nawiązywały oczywiście do wzoru Eulera. Ma on dobrze znaną postać:

2 2

eff

kr L

P ₌π EI

, (1.1)

gdzie: E – moduł Younga, I – moment bezwładności przekroju, L_eff =µ L – długość wyboczeniowa, µ – współczynnik długości wyboczeniowej, L – fizyczna długość pręta ściskanego.

Po podzieleniu siły krytycznej przez pole przekroju, otrzymujemy wyrażenie na naprężenie krytyczne

2 2 2

2 2 2

2

λ π π

σ π ^E

L r E A

I L

E

eff eff

kr = = = ^{, (1.2)}

gdzie:

A

r= I – promień bezwładności przekroju, a

r L_eff

λ = – smukłość pręta.

Wykres zależności σkr(λ) przedstawia rys. 1.1. Otrzymano go dla E= 210000 MPa.

Oczywiście wykres jest prawdziwy dla naprężeń nie przekraczających granicy plastyczności f_y. Można go przedstawić w postaci bezwymiarowej normując rzędne do f_y, a odcięte do smukłości porównawczej wynikającej z relacji:

y p

p

y f

E

f E λ π

λ

π _{⇒ =}

= ²₂ . (1.3)

W wyniku takiej transformacji otrzymujemy hiperbolę Eulera niezależną od granicy plastyczności materiału, a zatem prawdziwą dla wszystkich gatunków stali. Warto w tym miejscu przypomnieć, że moduł Younga E stali jest wartością stałą dla stali i wynosi 210 GPa.

Wprowadźmy pojęcia naprężeń krytycznych względnych oraz smukłości względnej:

p y

kr

kr f λ

λ λ

σ =σ , = . (1.4)

Podstawiając do wyrażenia (1.4) wielkości zdefiniowane w (1.3) i (1.2) otrzymujemy

2 2 2

2 2

2

2 1 1

1

π λ λ

π λ

λ

σ = π = =

y p y

y kr

f E E f

E

f ^(1.5)

Hiperbolę Eulera w postaci unormowanej przedstawia rys. 1.2.

Klasyczny wzór Eulera nie może stanowić podstawy obliczeń wytrzymałościowych z kilku powodów. Został wyprowadzony przy założeniu idealnej geometrii pręta, braku naprężeń residualnych (np. pochodzących od walcowania czy spawania) oraz, co najistotniejsze, jest prawdziwy dla materiału sprężystego. Zakres sprężysto plastyczny (smukłości poniżej smukłości porównawczej) wymaga korekty i takie propozycje pojawiły się dość wcześnie.

Rysunek 1.1. Hiperbola Eulera

Rysunek 1.2. Hiperbola Eulera po unormowaniu

Wzory Rankine’a i Gordon-Rankine’a (nazywany także wzorem Schwarza-Rankine’a, por. [9]) należą do najstarszych propozycji szacowania nośności prętów ściskanych z uwzględnieniem efektów wyboczenia (por. [2]).

Wzór Rankine’a na naprężenia krytyczne można przedstawić w postaci

1 λ2

σ a

f_y

kr = + ^(1.6)

gdzie: a – współczynnik zależny od materiału. Jego wartość dla materiałów stosowanych w drugiej połowie XIX wieku podano w tabl. 1.1.

Tablica 1.1. Współczynniki a do wzoru Rankine’a (1.6) [2]

Stal węglowa Stal zgrzewna Żeliwo

Współczynnik a

6000 1 9000

1 ÷

8000 1 9000

1 ÷

1800 1 2500

1 ÷

Kolejna propozycja to tzw. wzór amerykański wyrażający liniową zależność naprężeń krytycznych od smukłości:

) 1

( λ

σ_kr = f_y −e (1.7)

gdzie: e – współczynnik zależny od materiału. Jego wartość dla materiałów stosowanych w drugiej połowie XIX wieku podano w tabl. 1.2.

Tablica 1.2. Współczynniki e do wzoru (1.7) [2]

Stal węglowa Stal zgrzewna Żeliwo

Współczynnik e 0,0053 0,0053 0,0080

Inną propozycją liniowej zależności naprężeń krytycznych od smukłości jest wzór Goodmana [2]:

d L N

M _eff

kr = − /

σ (1.8)

gdzie: M i N – współczynniki wymiarowe zależne od materiału i kształtu przekroju poprzecznego, d – charakterystyczny wymiar przekroju poprzecznego.

Warto podkreślić, że do oszacowania nośności wyboczeniowej przyjmowano współczynniki bezpieczeństwa od 4 do nawet 6 (dla żeliwa) w ten sposób uwzględniając imperfekcje, naprężenia residualne i niejednorodność materiałową.

Autorami pierwszych badań doświadczalnych słupów ściskanych byli Bauschinger [3]

i Tetmajer [11]. Na krótkie omówienie zasługują badania Tetmajera.

Ludwik von Tetmajer urodził się w Krompach (obecnie Słowacja), a naukowo i zawodowo był związany z Zurichem i Wiedniem. Warto wspomnieć, że był spokrewniony ze znanymi polskimi artystami Kazimierzem (poetą) i Włodzimierzem (malarzem).

Tetmajer badał słupy o dużym zakresie smukłości wykonane z żeliwa szarego różnych odmian. Otrzymane wyniki zebrał na wykresie zależności σkr(λ). W wyniku analizy otrzymanych naprężeń krytycznych zaproponował następujące wzory na naprężenia krytyczne wyrażone w T/cm² (tony na cm²):

76 , 7 12

, 0 00053

,

0 ² − +

= λ λ

σ_kr ^(1.9)

2

9870

σ_kr = λ (1.10)

przy czym wzór (1.9) obowiązuje dla λ<80, a wzór (1.10) dla λ^>80.

Wykresy wg zależności (1.9) i (1.10) pokazano na rys. 1.3 na tle punktów obrazujących wyniki eksperymentów [9].

Wartości otrzymane ze wzorów (1.9) i (1.10) wymagają znacznej redukcji, a współczynnik bezpieczeństwa na poziomie 3÷4 jest wręcz pożądany.

Warto w tym kontekście wspomnieć o poważnej ekspertyzie kierowanej przez Tetmajera.

W 1891 roku doszło do największej w historii Szwajcarii katastrofy kolejowej w miejscowości Münchestein [8]. Most runął pod obciążeniem składu pociągu osobowego

Rysunek 1.3. Krzywe wyboczeniowe dla słupów żeliwnych wg L. Tetmajera [9].

złożonego z kilkunastu wagonów ciągnionych przez dwie lokomotywy (por. rys. 1.4). Zginęły 73 osoby, a 171 było rannych. Elementy tego mostu kratowego wykonane zostały ze stali zgrzewnej, a zaprojektował go Gustaw Eiffel.

Zdaniem Tetmajera przyczyną katastrofy była utrata stateczności ściskanych, bardzo smukłych elementów pasa górnego i krzyżulców. Wnioski z tej ekspertyzy powinny być ostrzeżeniem dla kolejnych pokoleń projektantów coraz smuklejszych konstrukcji prętowych i powłokowych.

Kolejną, wartą odnotowania propozycją oceny nośności słupa był wzór Moncrieffa [2].

Podstawą tej propozycji było założenie o istnieniu początkowego wygięcia pręta ściskanego o amplitudzie e₀ i formie

L e πx

0sin pokazanej na rys. 1.5. Pełna strzałka ugięcia, wywołana działaniem siły P jest opisana wzorem,

PE

P e e

= − 1

0 albo

E P

e e

σ

−σ

= 1

0 (1.10)

w którym P_E jest eulerowską siłą krytyczną, σ_P = P/A^, σ_E = P_E/A=π²E/λ² (por. wz.

(1.2)). Mianownik we wzorze (1.10) jest czynnikiem amplifikującym początkową strzałkę wygięcia słupa.

Wyprowadzenie wzoru (1.10) można znaleźć w wielu podręcznikach mechaniki i wytrzymałości materiałów (por. [12, 10]).

Maksymalne naprężenia w włóknach ściskanych, wywołane siłą P, opisuje wzór



 



 +

= +

= 1 ₂

r d e A d P I

e P A

σ P ^(1.11)

gdzie d jest odległością włókien ściskanych od środka ciężkości przekroju.

Rysunek 1.5. Pręt ściskany z początkowym wygięciem

Korzystając z wyrażenia (1.10) na całkowitą strzałkę wygięcia otrzymujemy dalej:







 + −

=

















− +

=

P E

E P

E P P

e r

d

σ σασ σ

σ σ σ

σ ¹

1

1 ₂ ⁰ , (1.12)

gdzie wprowadzono oznaczenie

2 0

r d

= e

α ^{. (1.13)}

Jako kryterium nośności elementu wybrano warunek naprężeniowy:

y P E

E

P = f







 + −

= σ σασσ

σ ^{1 . (1.14)}

Dalsze proste przekształcenia prowadzą do równań

(

) ⁽

⁾

P E

P E P

y f

f σ σ σ ασ σ

σ σ

σ σ

σ α ⇒ − − =

= −

− ^{. (1.15)}

Ostatnie równanie można zapisać w postaci:

( )

[

]

2 − _{P y} + + _E + _{E y} =

P σ f α σ σ f

σ ^{. (1.16)}

Jest to równanie kwadratowe na naprężenia σ_P = P/A^.

Mniejszy z pierwiastków tego równania jest poszukiwaną miarą nośności pręta ściskanego

( ) [ ( ) ]

{

}

P f α σ f α σ σ f

σ ^{1 1 4}

2

1 2

− +

+

− +

+

= ^{, (1.17)}

albo

y E

P σ f

σ =Φ− Φ²− ^{, (1.18)}

gdzie

( )

[

]

=

Φ 1

2

1 . (1.19)

Pozostaje jeszcze do ustalenia wartość bezwymiarowego parametru α określonego wzorem (1.13). W publikacjach z tego okresu sugerowane jest wstępne wygięcie słupów stalowych e₀ =L/960 i realne wartości współczynnika α = 0,05÷0,5.

Wykresy naprężeń σ_Punormowanych do granicy plastyczności fy pokazano na rys. 1.6.

Warto wspomnieć, że miara nośności słupa P_R wynikała z tak określonej wartości naprężeń σ_P = P/A z dodatkowym uwzględnieniem współczynnika bezpieczeństwa równym 3. Tak więc nośność słupa stalowego określano za pomocą wzoru:

3 P_{R =}σ^P A

(1.20)

Propozycja Moncrieffa była powszechnie stosowana w praktyce projektowej do lat 30- tych XX-go wieku.

Obowiązująca do niedawna norma brytyjska [N1] proponowała krzywe wyboczeniowe w następującej postaci:

y E

c σ f

σ =Φ− Φ²− ^(1.21)

gdzie

( )

[

]

=

Φ 1

2

1 (1.22)

gdzie η jest współczynnikiem Perry’ego

(

)

α

η= − (1.23)

fy

π E

λ0 =^0,2 (1.24)

Wartości stałej Robertsona α podano w tabl. 1.3.

Tablica 1.3. Wartości stałej Robertsona α.

Krzywa a b c d

α ^{2,0 3,5 5,5 8}

Doboru krzywej dokonuje się na podstawie Tablicy 23 z [N1].

Na rys. 1.7 porównano krzywe Moncrieffa po unormowaniu z krzywymi wyboczeniowymi normy brytyjskiej [N1].

Rysunek 1.6. Krzywe wyboczeniowe wg Moncrieffa.

Wprowadzone w normie [N2] (dalej przywoływanej skrótem: EC3) krzywe wyboczeniowe wyznaczono przy założeniu istnienia w pręcie wstępnego wygięcia i zakładając liniową krzywą interakcyjną między zginaniem a ściskaniem. Założono zatem, że sile osiowej towarzyszy moment wywołany faktycznym mimośrodem lub mimośrodem stanowiącym ekwiwalent odchyłek geometrycznych i naprężeń residualnych, istotnie zatem mamy do czynienia z kombinacją ściskania i zginania (por. rys. 1.8). Do dalszych rozważań przyjmuje się założenie liniowej zależności interakcyjnej pokazanej na rys. 1.8.

Jeśli przez Pg oznaczymy wartość graniczną siły osiowej, to równanie krzywej interakcyjnej przyjmie postać:

Rysunek 1.7. Krzywe wyboczeniowe wg [N1] na tle krzywych Moncrieffa.

Rysunek 1.8. Krzywa interakcyjna.

=1 +

y g y g

M e P P

P , (1.25)

gdzie P_y i M_y to siła uplastyczniająca przekrój oraz moment uplastyczniający przekrój, a równanie to zapisano dla najbardziej wytężonego przekroju.

W EC3 siłę graniczną jako miarę nośności elementu ściskanego definiuje się tak

y

g P

P =χ (1.26)

Ponadto mimośród całkowity e jest wyrażony wzorem (1.10)

E g

P P e e

−

= 1

0 (1.27)

Iloraz

E g

P

P zapiszmy tak:

λ2

χ

=

=

E y y g E g

P P P P P

P (1.28)

Równanie (1.21) przyjmie teraz taką postać:

1 ² 1

0 =

+ −

λ χ χ

χ ^e

M P

y

y , (1.29)

lub po kolejnych przekształceniach

( ) ( )

y y

M χ P λ χ

χ − =

− 1 ²

1 (1.30)

albo

0 1

1 ^{0 2}

2

2  + =









 + +

−χ λ

λ χ

y y

M P

e (1.31)

Postuluje się by

y y

M P e₀

było dodatnią, liniową funkcją λ (por. [5]):

(

)

0 =α λ −

y y

M P

e (1.32)

gdzie α jest parametrem kalibrującym zależnym od kształtu przekroju poprzecznego i technologii jego wykonania. Podaje go Tablica 6.4 z EC3 w korespondencji z tzw.

krzywymi wyboczeniowymi przypisanymi dla poszczególnych przypadków w Tablicy 6.5 EC3.

Wartości parametru kalibrującego α podano w tabl. 1.4 Tablica 1.4. Wartości parametru α wg Tablicy 6.4 z EC3.

Krzywa a₀ a b c d

α ^{0,13 0,21 0,34 0,49 0,76}

Po uwzględnieniu zależności (1.32) równanie (1.31) przyjmuje następującą postać:

[

]

2

2λ −χ +α λ − +λ + =

χ ^{. (1.33)}

Mniejszy z pierwiastków tego równania określa poszukiwaną miarę nośności pręta ściskanego,

( ) [ ( ) ]



 + − + − + − + −

= ₂ 1 0,2 ² 1 0,2 ^{2 2} 4 ² 2

1 α λ λ α λ λ λ

χ λ , (1.34)

albo

2 2 2

λ

χ =^{Φ− Φ −}λ , (1.35)

lub w postaci podanej w EC3

2 2

1 χ λ

− Φ +

=Φ ^{, (1.36)}

gdzie

( )

[

]

2

1 +α λ − +λ

=

Φ ^{. (1.37)}

Na rys. 1.9 przedstawiono krzywe wyboczeniowe wg EC3 otrzymane z równań (1.36) i (1.37) dla wszystkich pięciu wartości parametru α^.

Na rys. 1.10 przedstawiono wyniki obszernej serii badań na tle proponowanych w EC3 krzywych wyboczeniowych. To tylko niewielka część bardzo wielu badań weryfikujących poprawność normowych propozycji oszacowania nośności wyboczeniowej słupów stalowych.

Rysunek 1.9. Krzywe wyboczeniowe wg EC3.

2. Miejscowa utrata stateczności

Dążenie do projektowania coraz lżejszych konstrukcji skutkowało pojawieniem się kolejnego problemu związanego ze statecznością. Problemem tym była niestateczność miejscowa objawiająca się zafalowaniem poszczególnych ścianek cienkościennego elementu zginanego lub ściskanego. Pod wpływem działania naprężeń ściskających wzdłużnych smukłe ścianki przekroju ulegają wyboczeniu. Na skutek zmiany geometrii dochodzi do redystrybucji naprężeń. Części przekroju w sąsiedztwie krawędzi wewnętrznych zwiększają swój udział w przenoszeniu obciążenia wzdłużnego o wartości korespondujące z częścią przenoszoną pierwotnie przez ścianki przed wyboczeniem.

Na rys. 2.1 pokazano symulacje numeryczne miejscowej utraty stateczności oraz zdjęcie przedstawiające to zjawisko w realnym elemencie konstrukcyjnym.

Podstawą do wyjaśnienia zjawiska utraty stateczności ścianki ściskanej jest równanie różniczkowe stateczności płyty w znanej postaci (por. [10, 16]:

y x N w y N w x N w y

w y

x w x

D w _x^{o o}_{y xy}^o

∂

∂

− ∂

∂

− ∂

∂

− ∂

=













∂ +∂

∂

∂ + ∂

∂

∂ ²

2 2 2

2 4

4 2 2

4 4

4

2

2 , (2.1)

gdzie N^o_x,N^o_y,N_xy^o to obciążenia w płaszczyźnie środkowej płyty (por. rys. 2.2), a wielkość

) 1 (

12 ²

3

ν

= E−t

D , (2.2)

to tzw. sztywność płytowa, gdzie t to grubość płyty.

Najprostszym przypadkiem jest płyta ściskana w jednym kierunku (por. rys. 2.2.b).

Równanie różniczkowe (2.1) przyjmuje w tym przypadku postać:

Rysunek 1.10. Krzywe wyboczeniowe wg EC3. Weryfikacja doświadczalna [5].

2 2 4

4 2 2

4 4

4

2 x

N w y

w y

x w x

D w ^o_x

∂

− ∂

=













∂ +∂

∂

∂ + ∂

∂

∂ . (2.3)

W przypadku płyty przegubowo podpartej na krawędziach, rozwiązania tego równania poszukuje się wśród funkcji o postaci:

b x n a

x A m

y x

w π π

sin sin

) ,

( = ^{, (2.4)}

gdzie: m i n to liczba półfal sinusoidalnych w kierunku x i y odpowiednio, a A to nieznana amplituda tej funkcji, a a i b to wymiary płyty w kierunku x i y odpowiednio.

Równanie (2.2) będzie spełnione gdy

2

2 2 2

2 2 2

2 









 +

= b

n a m m D a

N^o_x π ^{. (2.5)}

Oczywiście poszukiwana jest najmniejsza wartość siły ściskającej. Otrzymamy ją dla najmniejszej liczby półfal w kierunku poprzecznym do działania siły N_x^o , czyli dla n=1.

Mamy zatem

2 2

2







 +

= m

m b

N_x^o D η

η

π , (2.6)

a) b) c)

Rysunek 2.1. Symulacje numeryczne wyboczenia ścianek kształtowników zimnogiętych (a) i b)) oraz wyboczenie miejscowe w realnej konstrukcji (c)).

gdzie: η ^{= a/b.}

Wyrażenie na siłę krytyczną możemy zapisać w postaci:

ν σ

π k

b t N_x^o_kr E _{2 2}

3 2 ,

1 ) 1 ( 12 −

= , (2.7)

albo po przejściu do naprężeń

ν σ

σ π ^k

b t

o E

kr x

2 2 2

, 12(1 ) 



 





= − ^{, (2.8)}

gdzie k_σ zależy od stosunku boków a/b płyty oraz od liczby półfal m w kierunku wzdłużnym i wyraża się wzorem

2







 +

= η

σ η m

k m . (2.9)

Wartość funkcji k_σ dla ustalonej wartości m zależy od stosunku boków η ^{= a/b.}

Znajdźmy ekstremum tej funkcji z warunku

=0 η^σ d

k

d . (2.10)

Względnie proste rachunki prowadzą do wyniku:

=m

η ^(2.11)

Dla tych wartości stosunku boków η, dla ustalonej wartości m, otrzymujemy lokalne minimum funkcji k_σ

4 ) 1 1

( ²

2 min

,  = + =







 +

=

=m

m k m

η

σ η η

(2.12) Rysunek 2.2. Prostokątna płyta ściskana: a) przypadek ogólny, b) płyta ściskana w jednym

kierunku.

Zbadajmy jeszcze punkty wspólne krzywych ^k_σ (η) dla sąsiednich wartości m.

Z warunku

2

2 1

1 







 + +

= +







 +

η η

η

η ^m

m m

m , (2.13)

dostaniemy

(

)

= m m

η ^(2.14)

Na rys. 2.3 przedstawiono wykresy funkcji ^k_σ (η) dla różnych wartości liczby półfal m.

Najmniejsze wartości k_σ dla ustalonego stosunku boków a/b płyty tworzą krzywą girlandową. Wartością, którą należy wstawić do wzoru (2.8) jest zawsze najniższa wartość dla danego stosunku boków a/b płyty i możliwych dla tego zakresu wartości m. Warto zwrócić uwagę, że wartości odpowiadające krzywej girlandowej zmierzają asymptotycznie do wartości 4,0 w miarę wzrostu wartości parametru η ^{= a/b.}

Na rys. 2.4 przedstawiono całą rodzinę funkcji ^k_σ(η) dla innych przypadków warunków brzegowych. Dla relatywnie długiej, ściskanej płyty przegubowo podpartej na trzech krawędziach k_σ zmierza do wartości 0,46, a dokładniej do wartości

2

425 ,

0 



 

 +

= a

k_σ b (por.

[13]).

Prezentowane na rys. 2.3 i 2.4 dotyczą równomiernego obciążenia ścianki krótszej płyty.

Środnik belki zginanej pracuje w innych warunkach. Jego ścianka jest ściskana w górnej części i rozciągana w dolnej, a w stanie sprężystym, rozkład naprężeń pochodzących od zginania jest liniowy (por. rys. 2.5). Taki rozkład naprężeń też może doprowadzić do utraty stateczności i przypadek ten był szczegółowo rozważany przez wielu autorów (por. [12, 16]).

Analogicznie jak w przypadku wcześniej rozważanych płyt ściskanych, naprężenia krytyczne określić można za pomocą wzoru

Rysunek 2.3. Zależność k_σ od stosunku boków płyty η^=a/b.

Rysunek 2.4. Zależności k_σ od stosunku boków płyty a/b dla różnych warunków podparcia krawędzi płyty.

2 2 2 2

2

, 12(1 ) 



 





= −

= b

t k E

t b k D

o kr

x ν

π

σ _σ π _σ . (2.15)

Współczynnik k_σ zależy od stosunku boków a/b płyty i liczby półfal w kierunku ściskania. Wartości minimalne tworzą krzywą girlandową, która zmierza do granicy 23,9 dla

płyt długich (por. rys. 2.6).

Inne przypadki obciążenia płyt można także sprowadzić do wzoru postaci (2.14). W tabl.

2.1 zestawiono współczynniki k_σ dla trzech najbardziej typowych przypadków płyt długich, tzn. płyt spełniających warunek a/b>3.

Tablica 2.1. Współczynniki wyboczeniowe płyt

kσ 4,0 0,46 23,9

Wykres zależności naprężeń krytycznych σ^o_x,kr od stosunku (b/t)² byłby hiperbolą drugiego stopnia, która dla małych wartości b/t zmierzałaby do ∞. Niezbędna jest tu korekta analogiczna do tej zastosowanej w przypadku prętów. Zdefiniujmy bezwymiarowe naprężenia krytyczne płyty:

Rysunek 2.5. Płyta w stanie zginania tarczowego.

Rysunek 2.6. Zależność k_σ od stosunku boków płyty a/b dla różnych liczb półfal m.

2 2

2 2

, 1

) 1 (

12 _p

y y

o kr x

kr b

t E f

k

f ν λ

σ π

σ ^σ  ≡



 





= −

= , (2.16)

gdzie wielkość

σ

ν λ π

k E f t

b y

p

) 1 ( 12

1 − ²

= (2.17)

jest smukłością płytową.

Zależność (2.17) można przedstawić tak

ε σ

λ t k

b

p 28,43

= 1 , (2.18)

gdzie

fy

= 235

ε , (por. [N4]).

Wartości współczynnika k_σ dla różnych przypadków ścianek ściskanych lub częściowo ściskanych i częściowo rozciąganych podano w Tablicach 4.1 i 4.2 Normy [N4]. Są wśród nich także współczynniki podane w tabl. 2.1.

Na rys. 2.7 przedstawiono wykresy nośności wyboczeniowej płyt w funkcji umownej smukłości płytowej. Klasyczna, sprężysta nośność wyboczeniowa wynikająca ze wzoru (2.16) zaniża nośność w zakresie dużych smukłości. Nośność płyt wolnych od wstępnych wygięć i od naprężeń residualnych jest dużo wyższa. Podstawą projektowania może być krzywa otrzymana dla płyt z naprężeniami residualnymi i wstępnie zakrzywionych.

Normy projektowania stalowych elementów cienkościennych operują pojęciem przekroju efektywnego. Na skutek wyboczenia ścianki-płyty przekroju takiego elementu naprężenia są przejmowane przez strefy usztywnione ścianką sąsiednią lub innym elementem

Rysunek 2.7. Sprowadzona nośność wyboczeniowa płyty.

usztywniającym (np. żebrem podłużnym). Sposób redukcji przekroju ścianki do obszaru efektywnego przedstawiono w pp. 4.4 i 4.5 Normy [N4], do której odwołują się normy [N2]

oraz [N3].

Pojęcie przekroju efektywnego wprowadzono do norm po to, by uwzględnić efekt lokalnej utraty stateczności. W tym celu wprowadzono także podział na klasy. Elementy klasy czwartej (por. [N2]) są narażone na miejscową utratę stateczności i to w ich przypadku należy dokonać redukcji przekroju faktycznego do przekroju efektywnego by poprawnie oszacować nośność na ściskanie czy zginanie na poziomie przekroju.

Klasa przekroju jest definiowana przez graniczną smukłość ścianki, a granice podziału na poszczególne klasy wynikają z rozwiązania problemu stateczności ścianki obciążonej w określony sposób i spełniającej konkretne warunki brzegowe.

Granicę klasy 4 otrzymamy z warunku

y o

kr

x f

b t

k E  =



 





= −

2 2 2

, 12(1 ν )

σ _σ π ^{, (2.19)}

z którego

y

y f

E k

E f

k t

b 235

) 1 ( 23512 )

1 (

12 ² π ν²

π ^σ ν ^σ

= −

= − , (2.20)

albo

ε ^kσ

t

b = 28,42 ^{, (2.21)}

gdzie

fy

= 235

ε .

W szczególności, dla przypadków pokazanych w tabl. 2.1, otrzymamy graniczne smukłości: 56,8ε^{, 19,3}ε ^{i 138,9}ε. Wartości te różnią sią od granicznych smukłości podanych w Normie [N2]: 42ε^{, 14}ε ^{i 124}ε, a różnice te są efektem badań wielu autorów, którzy w rozważaniach swych uwzględnili także wpływ początkowych imperfekcji i naprężeń residualnych. Granice klas 1 i 2 wyznaczono drogą analiz numerycznych i badań doświadczalnych (por. [7]).

Pojęcie klasy przekroju występowało w wielu normach krajowych jeszcze przed wprowadzeniem eurokodów, choć graniczne smukłości definiujące poszczególne klasy różniły się dość znacznie. Ujednolicono je dopiero w EC3.

Płyty, w przeciwieństwie do prętów ściskanych, wykazują zdolność do przenoszenia obciążenia, także w zakresie pokrytycznym. Cecha ta jest wykorzystywana w projektowaniu, a dodatkowy wzrost nośności ponad poziom krytyczny zależy od smukłości płyty, sposobu podparcia i granicy plastyczności materiału płyty.

Charakterystykę ^N0_x(δ) dla płyty idealnej oraz wstępnie zakrzywionej pokazano na rys.

2.7. Płyta idealna wykazuje stateczny symetryczny punkt bifurkacji, natomiast płyta ze wstępnym zakrzywieniem charakteryzuje się zależnością Nx⁰(δ) w postaci pokazanej na rys.

2.7 linią przerywaną. Punkt bifurkacji znika, a w pobliżu siły krytycznej można zaobserwować jedynie gwałtowny przyrost przemieszczeń. Całkowite wyczerpanie nośności następuje na dużo wyższym poziomie obciążenia.

Płyta poddana czystemu ścinaniu także ulega wyboczeniu. Naprężenia krytyczne w ścinanej płycie swobodnie podpartej na obwodzie wyrażają się wzorem (por. [4, 12, 16]):

ν τ

τ π ^k

b t E

kr

2 2 2 0

) 1 (

12 



 





= − ’ (2.22)

gdzie współczynnik k_τ zależy od proporcji boków płyty a/b.

Warto zwrócić uwagę, że i tym razem wyrażenie na naprężenia krytyczne przyjmują postać funkcji hiperbolicznej stosunku b/t, który może być traktowany jako parametr smukłości. Żeby uniezależnić wyrażenie na naprężenia krytyczne od granicy plastyczności definiuje się unormowane naprężenia krytyczne

2 2

2 2 0

0 3 1

) 1 ( 12 3

1 y w

y kr

kr b f

t E k

f ν λ

π

τ τ ^τ  ≡



 





= −

= ^(2.23)

gdzie współczynnik λ_w jest względną smukłością płytową przy ścinaniu.

Współczynnik k_τ dla przypadku płyty swobodnie podpartej, w sposób przybliżony, może być wyrażony tak (por. [4, 13]):

1 gdy

00 , 4 34 , 5

2

≥



 

 + 

= b

a a

k_τ b (2.24)

lub

1 gdy

00 , 4 34

, 5

2

<

+



 



= 

b a a

k_τ b (2.25)

Analogiczne wzory na współczynniki k_τ po stosownej korekcie uwzględniającej obecność elementów usztywniających zostały podane w załączniku A3 Normy [N4].

Rysunek 2.8. Płyta w stanie pokrytycznym.

Dla długich płyt swobodnie podpartych można przyjąć k_τ =5,34. Smukłość względną płyty przy ścinaniu λ_w można określić ze wzoru definicyjnego (2.23)

λ ε

t b

w =86,4 (2.26)

gdzie ε = 235/ f_y ^.

Dla innych przypadków płyt ścinanych, z tej samej równości definicyjnej (2.23) otrzymamy:

ε τ

λ t k

b

w =37,4 (2.27)

Wyrażenia (2.26) i (2.27) korespondują ze wzorami (5.5) i (5.6) Normy [N4].

Na rys. 2.9 pokazano zależność współczynnika k_τ od stosunku boków płyty a/b. Na rysunku tym pokazano także formy wyboczenia płyt ścinanych o różnych proporcjach boków.

Nośność obliczeniową ścianki prostokątnej (płyty) poddanej ścinaniu określa się ze wzoru (por. [N4]):

3 _M1 y w Rd

t b V f

γ

= χ (2.28)

Rysunek 2.9. Zależność k_τ od stosunku boków płyty a/b [4] oraz formy wyboczenia.

gdzie χ_w jest współczynnikiem redukującym nośność plastyczną ścianki ścinanej o szerokości b i grubości t wykonanej ze stali o granicy plastyczności f_y. γ_M1 ^jest częściowym współczynnikiem bezpieczeństwa ze względu na utratę stateczności.

Współczynnik χ_w jest definiowany w Tablicy 5.1 Normy [N4] w zależności od smukłości względnej płyty przy ścinaniu λ_w , gatunku stali oraz od sposobu usztywnienia krawędzi końcowych płyty ścinanej. Charakterystykę χw

( )

Koresponduje ona z danymi z Tablicy 5.1. Krzywa 1 dotyczy ścianek z usztywnionymi krawędziami końcowymi, a krzywa 2 - ścianek bez takich usztywnień. Linią przerywaną pokazano teoretyczną charakterystykę wyboczeniową. Zalecenia normowe podnoszą nośność wyboczeniową ścianek ścinanych w zakresie dużych smukłości λ_w , natomiast obniżają do poziomu nośności plastycznej w zakresie małych smukłości.

3. Zwichrzenie belek

Rozważania na temat zwichrzenia belek rozpoczniemy od wyprowadzenia wzoru na krytyczny moment zginający wywołujący zwichrzenie belki zginanej względem mocniejszej osi (por. rys. 3.1). Belka jest zginana stałym momentem zginającym M.

Układ równań równowagi zginania i skręcania w chwili utraty płaskiej postaci zginania (w chwili zwichrzenia) ma znaną postać (por. [10, 12-16]):

η ϕ x M d J d

E _z ² ₂ = − (3.1)

x d M d x d J d x E d I d

G _T ϕ ϕ η

ω =

− ³ ₃ (3.2)

Rysunek 2.10. Zależność współczynnika redukcyjnego χ_w od smukłości względnej λ_w ^{wg [N4].}

gdzie: I_T – moment bezwładności przekroju pręta przy swobodnym skręcaniu, G – moment sztywności postaciowej stali, J_ω – wycinkowy moment bezwładności przekroju, ϕ ^{– kąt} skręcenia przekroju, η – przemieszczenie w kierunku poziomym (por. rys. 3.1).

Dla przegubowego podparcia widełkowego rozwiązanie tego układu równań różniczkowych przyjmuje postać półfal sinusoidalnych

L x θ π x

ϕ^{( )}= ^{sin , (3.3)}

L x δ π x

η^{( )}= ^sin , (3.4)

gdzie θ – amplituda (wartość w środku rozpiętości belki swobodnie podpartej) kąta skręcenia

przekroju, δ – amplituda przemieszczenia poziomego.

Podstawienie funkcji (3.3) i (3.4) do równania (3.1) prowadzi do zależności:

2 2/ L J

E M

zπ θ

δ ₌

, (3.5)

a podstawienie do równania (3.2) daje wynik w postaci wyrażenia na poszukiwany moment krytyczny (moment wywołujący zwichrzenie) M_cr :











 +

= ₂² ₂²

J L E GI J L E

M_cr π _{z T} π

ω . (3.6)

Tę wartość można traktować jako wartość odniesienia. Dla innych warunków podparcia belki i dla innych rozkładów momentu zginającego na długości, wartość momentu krytycznego modyfikuje się korzystając z odpowiednich współczynników korekcyjnych.

Rozważmy teraz problem zginania i skręcania belki z początkowym zakrzywieniem poziomym η₀ i początkowym skręceniem ϕ₀. Przyjmijmy te imperfekcje w postaci:

L x δ πx

ϕ₀^{( )}= ₀^{sin (3.7)}

Rysunek 3.1. Zwichrzenie belki.

L x δ πx

η₀^{( )}= ₀^{sin (3.8)}

Równania równowagi zginania i skręcania (odpowiednik równań (3.1) i (3.2)) przyjmą postać:

)

( ₀

2

2η _{= −} ϕ ₊ϕ

y

z M

x d J d

E (3.9)







 −

=

− dx

d x d M d x d J d x E d I d

G _{T 3 y} ⁰

3ϕ η η

ϕ ω (3.10)

gdzie M – moment zginający belkę względem osi mocnej; jest to moment M_y, czyli moment o wektorze zgodnym z osią y przekroju (por. rys. 3.1).

Rozwiązania równań (3.9) i (3.10) poszukuje się w postaci (3.3) i (3.4), przy czym amplitudę funkcji wygięcia poziomego oraz amplitudę funkcji skręcenia należy przyjąć w postaci:

cr y

cr y

M M

M M

/ 1

/

0 −

= δ

δ ^{, (3.11)}

cr y

cr y

M M

M M

/ 1

/

0 −

= θ

θ ^{. (3.12)}

Mnożniki występujące w tych wyrażeniach mają charakter amplifikujący i wynikają z uwzględnienia efektów drugiego rzędu.

Naturalną konsekwencją związku (3.5) jest przyjęcie

2 2 0

0

/ L J

E M

z cr

θ π δ ₌

. (3.13)

Maksymalne naprężenia w przekroju rozważanej belki otrzymamy z zależności, która uwzględnia zarówno efekt zginania względem osi y jak i zginania względem osi z oraz skręcania

( )

2 / 2

2

, ,

max

2 /

L f z

el z y

el y

dx d d

W EJ W

M η ϕ

σ = − ⁺ . (3.14)

Podstawienie do tego wyrażenia wcześniej zdefiniowanych wielkości prowadzi do zależności

cr y

cr y cr

f z z

el z

L M M

M M M

L d EJ

W L EJ

/ 1 / / 2

/ ^{2 2}

0 0 ,

2 2

max  −









 +

+

= σ π δ δ π

σ , (3.15)

gdzie przez σ_L oznaczono dopuszczalne naprężenia od momentu zginającego. Warunek graniczny przyjmuje postać:

fy max =

σ . (3.16)

Z (3.16) i (3.15) otrzymujemy

cr y

cr y cr

z f cr z

el z cr y

L M M

M M M

d N W

f N

/ 1

/

1 2 ^,

0 , ,

 −







 +

−

= δ

σ ^{, (3.17)}

gdzie ₂

2

, L

N_{crz =} π EJ^z

Aby przejść od naprężeń do momentów zginających, pomnóżmy obustronnie (3.17) przez

y

Wel_, . Otrzymamy

cr y

y cr

z cr f z

el y el cr

z cr pl

y

y M M

M M

d N W

W M M N

M 1 2 ^, 1 /

, , , 0

,  −







 +

−

= δ ^{, (3.18)}

gdzie M_y,pl = f_yW_el,y jest momentem zginającym wywołującym uplastycznienie włókien skrajnych.

Jeśli przez η oznaczymy







 +

=

cr z cr f z

el y el cr

z cr

M d N W

W M

N _,

, , ,

0 1 2

δ

η ^{, (3.19)}

to otrzymamy ostatecznie następujące równanie kwadratowe na poszukiwaną, dopuszczalną wartość momentu M _y

cr y

y pl

y

y M M

M M

M = ^, −η1− / ^{, (3.20)}

albo

(

)(

)

cr

yM M M M M

M = _, − −

η ^{. (3.21)}

Wprowadźmy definicję współczynnika redukcyjnego nośności:

pl y

y

M M

,

χ = ^{. (3.22)}

Po podzieleniu obu stron równania (3.21) przez M_y,pl oraz uwzględnieniu wprowadzonego oznaczenia otrzymamy

( ) (

)

cr M M

M 1 χ χ _,

χ

η = − − , (3.23)

a po kolejnych przekształceniach

pl y cr

pl y cr

cr M M M M

M χ _, χ χ² _,

χ

η = − − + . (3.24)

Wprowadźmy wielkość, którą będziemy interpretowali jako smukłość przy zginaniu

cr pl y

M M _,

λ= ^{. (3.25)}

Podzielmy obie strony równania (3.24) po raz kolejny przez M_y,pl. Otrzymamy

2 2 2

2

1 1

1 χ

χλ λ χ

χλ

η = − − + (3.26)

i ostatecznie, następujące równanie kwadratowe na poszukiwany współczynnik redukcyjny χ

(

)

2

2λ −χ +λ +η + =

χ ^(3.27)

Mniejszy pierwiastek tego równania możemy zapisać w postaci:

( ) ( )



 



 + + − + + −

= ₂ ² 1 ^{2 2 2}

4 1 1

2 1

1 λ η λ η λ

χ λ ^{. (3.28)}

Jeśli wprowadzimy oznaczenie

(

)

=

Φ 1 ²

2

1 , (3.29)

wtedy

[

]

2

1 λ

χ=λ Φ − Φ − (3.30)

albo

2 2

1 χ λ

− Φ +

=Φ (3.31)

Znajomość współczynnika redukcyjnego χ pozwala określić dopuszczalną wartość momentu zginającego w belce wstępnie wygiętej i skręconej

pl y

y M

M =χ _, (3.32)

gdzie M_y,pl = f_yW_el,y.

Wyprowadzone wyżej wzory trafiły do EC3 po pewnej modyfikacji. W EC3 współczynnik η zależny od wartości imperfekcji i kształtu geometrii belki jest definiowany jako liniowa funkcja smukłości względnej λ_LT

(

)

=α_LT λ_LT

η ^{, (3.33)}

gdzie α_LT jest współczynnikiem imperfekcyjnym zależnym od kształtu przekroju poprzecznego i sposobu wykonania kształtownika. Jego wartość określa się na podstawie Tablic 6.3 i 6.4 z Normy [N2].

Smukłość względna przy zwichrzeniu jest zdefiniowana tak:

cr y y

LT M

f

= W

λ ^{. (3.34)}

gdzie W_y f_y jest nośnością plastyczną przekroju zginanego z uwzględnieniem stateczności miejscowej (klasa 3 i 4).

Wzór (3.30) przyjmuje ostatecznie postać zgodną z propozycją zawartą w p. 6.3.2.2 Normy [N2].

( )

(

)

2

1 +α λ − +λ

=

Φ (3.35)

Nośność obliczeniową elementu zginanego nie zabezpieczonego przed zwichrzeniem określa się z zależności

1 ,

M y y LT Rd b

f M W

χ γ

= , (3.36)

gdzie

2 2

1

LT

LT λ

χ =Φ + Φ − ^{, (3.37)}

a γ_M1 jest częściowym współczynnikiem bezpieczeństwa stosowanym w oszacowaniu nośności w elementach zagrożonych utratą stateczności.

Na rys. 3.2 przedstawiono porównanie wyników badań eksperymentalnych zwichrzenia belek dwuteowych z zaleceniami normy [N2] (por. [14]).

4. Podsumowanie

Obowiązujące zapisy normowe dotyczące stateczności wynikają z rozwoju mechaniki i są efektem zmian ewolucyjnych, które dokonały się na przestrzeni ostatnich 120–150 lat.

Przykładem może być sposób oceny nośności wyboczeniowej prętów wrażliwych na wyboczenie giętne. Propozycje Ayrtona i Perry’ego z 1886 roku, po modyfikacjach Moncrieffa z 1901 roku i późniejszych Robertsona trafiły do norm brytyjskich i obowiązywały przez wiele lat w krajach całej Korony Brytyjskiej (por. [14]). Obowiązująca obecnie propozycja zawarta w EC3 pośrednio nawiązuje do wersji Moncrieffa z 1901 roku.

Kolejne zmiany wprowadzane do wzorów normowych zawsze miały charakter ewolucyjny i były efektem naukowych dyskusji w inżynierskich gremiach eksperckich skupionych wokół narodowych oddziałów europejskiej komisji normalizacyjnej CEN.

Świadome korzystanie z norm wymaga pełnego zrozumienia ich zapisów. Pełnemu zrozumieniu służą komentarze do norm, po które niestety projektanci nie sięgają zbyt chętnie.

Rysunek 3.2. Porównanie zaleceń normy [N2] z wynikami badań [14].

Zaufanie do zapisów normowych będzie pełne, jeśli użytkownik pozna przesłanki, które legły u podstaw poszczególnych zaleceń.

Zasadniczym celem rozważań przedstawionych w tym rozdziale było przybliżenie użytkownikowi norm, podstaw teoretycznych zapisów i zaleceń, które podane w postaci finalnej często budzą uzasadnione wątpliwości. Uważna lektura trzech poprzednich podrozdziałów powinna te wątpliwości rozwiać i zachęcić do ewentualnych dalszych studiów materiałów dotyczących podstaw teoretycznych projektowania z uwzględnieniem kryteriów stateczności.

Problemy związane ze statecznością pojawiają się w wielu innych normach z grupy EN 1993, a także w normach dotyczących konstrukcji żelbetowych, drewnianych czy aluminiowych. W tym relatywnie krótkim rozdziale nie sposób było omówić wszystkie zagadnienia, które dotyczą stateczności i w mniejszym czy większym zakresie trafiły do norm projektowania. Godna polecenia, współautorska monografia [14] porusza wiele innych problemów związanych ze statecznością w zapisach normy EN 1993 i liczy aż 490 stron.

Dociekliwy inżynier znajdzie w niej wyjaśnienie kwestii nie omówionych w niniejszym rozdziale.

Bibliografia

[1] Addis B: Building: 3000 Years of Design Engineering and Construction, Phaidon Press, 2007.

[2] Bates W.: Historical Steelwork Handbook, Published by The British Constructional Association Limited, London, 4th impression, 1991.

[3] Bauschinger J.: Mittheilung XVIII: Zerknikungsversuche. Mittheilungen aus dem mechanisch- technischen Laboratorium der k. Technischen Hochschule in München, Heft 15,1887.

[4] Bleich F.: Buckling strength of metal structures, McGraw-Hill Book Company, Inc. New York, 1952.

[5] Feldmann M., Naumes J., Sedlacek G.: Biegeknicken und Biegedrillknicken aus der Haupttragebene, Stahlbau 78 (2009), Heft 10, ss. 764÷776.

[6] Gautschi W.: Leonhard Euler: His Life, the Man, and HisWorks, SIAM Review Vol. 50, No. 1, pp. 3–33, 2008.

[7] Hancock, G.J. and Harrison, H.B. (1972) A general method of analysis of stresses in thin-walled sections with open and closed parts, Civil Engineering Transactions, Institution of Engineers, Australia, CE14, No. 2, pp. 181–188.

[8] http://en.wikipedia.org/wiki/M%C3%BCnchenstein_rail_disaster.

[9] König B., Klingsch W.: Untersuchungen zur Erarbeitung eines Sicherheitskonzeptes für historische gußeiserne Stützen, Fraunhofer IRB Verlag, 1994.

[10] Rykaluk K.: Zagadnienia stateczności konstrukcji metalowych, Dolnośląskie Wydawnictwo Edukacyjne, Wrocław 2012.

[11] Tetmajer L.: Die Gesetze der Knickungs- und der zusammengesetzten Druckfestigkeit. Deuticke- Verlag, Leipzig,1903.

[12] Timoszenko S. K., Gere J. M.: Teoria stateczności sprężystej. Wydawnictwo Arkady, 1963.

[13] Trahair N.S.: Flexural-Torsional Buckling of Structures. CRC Press, Boca Raton 1993.

[14] Trahair N.S., Bradford M. A., Nethercot D. A., Gardner L.: The Behaviour and Design of Steel Structures to EC3, Taylor&Francis, London and New York, 2008.

[15] Weiss S., Giżejowski M.: Stateczność konstrukcji metalowych. Układy prętów. Arkady, Warszawa 1991.

[16] Wolmir A. S.: Ustojcziwost dieformurijemych sistiem (po rosyjsku), Nauka, Moskwa, 1992.

Normy

[N1] BRITISH STANDARD BS 5950-1:2000: Structural use of steelwork in building - Part 1: Code of practice for design - Rolled and welded sections.

[N2] PN-EN 1993-1-1:2006. Projektowanie konstrukcji stalowych. Część 1-1: Zasady ogólne.

Reguły ogólne i reguły dla budynków.

[N3] PN-EN 1993-1-3:2008. Projektowanie konstrukcji stalowych. Część 1-3: Reguły ogólne.

Reguły uzupełniające dla kształtowników i blach profilowanych na zimno.

[N4] PN-EN 1993-1-5:2008. Projektowanie konstrukcji stalowych. Część 1-5: Blachownice.